2.2.2 对数函数及其性质
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.
1．对数式loga?2(5?a)?b中，实数a的取值范围是 （ ）
A．(??,5) B．(2,5) C．(2,??) D． (2,3)?(3,5)
（ ） abc532．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 A．x=a+3b－c B．x?3ab5c C．x? D．x=a+b3－c3
3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则
（ ） A．M∪N=R
B．M=N C．M?N
D．M?N
（ ） ?? ?4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 A．?0,??3??3??3??3 B． C． D．(??,0]?0,0,?,???????4??4?4??4?5．下列函数图象正确的是
（ ）
A B C D 6．已知函数g(x)?f(x)?1f(x)，其中log2f(x)=2x，x?R，则g(x) （ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
7．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全
部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数
45
据：1．1=1．46，1．1=1．61) ( )
A．10% B．16．4% C．16．8% D．20% 8．如果y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是
（ ）
1
A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2 C．a??2 D．1?a?
二、填空题：请把答案填在题中横线上. 9．函数y?log122
(2?x)的定义域是 ，值域是 . 210．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .
11．将函数y?2的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为 .
12．函数y=log
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．已知函数f(x)?logx?12x12(x?4x?12) 的单调递增区间是 . 2x?1?log2(x?1)?log2(p?x).
(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.
14．设函数f(x)?lg(x?x?1).
2(1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性；
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
2
(4)求函数f(x)的反函数.
15．现有某种细胞100个，其中有占总数
12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂
成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3?0.477,lg2?0.301）.
16．如图，A，B，C为函数y?log12x的图象
上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t?1). (1)设?ABC的面积为S 求S=f (t) ； (2)判断函数S=f (t)的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.
3
17．已求函数y?loga(x?x)(a?0,a?1)的单调区间.
参考答案
一、DCCB BDBD 二、9． ?12． (??,?2)；
三、
13． 解：(1)函数的定义域为(1，p).
(2)当p＞3时，f (x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)； 当1＜p?3时，f (x)的值域为(－?，1+log2(p+1)).
?x?14．解： (1)由??22?2?1?1,??2， ?0,???； 10．0； 11．y?log2(x?1)?1；
?x?1?02得x∈R，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2∈R，
??x?1?0且x1＜x2，
4
则
f(x1)?f(x2)?lgx1?x2?x1?1x2?122. 令t?x?x?1，
2则t1?t2?(x1?=(x12x1?1)?(x2?x2?1)
22x2?1).
2?x2)?(x1?1?=(x1?x2)?(x1?x2)(x1?x2)
x1?1?2x2?12=
(x1?x2)(x1?1?x?1?2212x2?1?x1?x2x?1222
2∵x1－x2＜0，x1?1?x1?0，x2?1?x2?0，x1?1?2x2?1?0，
2∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0?t1t2?1，
∴f (x1)－f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，∴ 函数f(x)在R上是单调增函数. (4)反函数为y?102x?1x(x?R).
2?1015．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为1?100?1?100?2?2232?100；
942小时后，细胞总数为1?3?100?221212?3294?100?2??100；
3小时后，细胞总数为1?9?100?24??100?2?278?100；
4小时后，细胞总数为1?27?100?2812?278?100?2?8116?100；
x可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为： y?100??3?，x?N
???2?x?x由100??3??1010，得?3??108，两边取以
?????2??2?10为底的对数，得xlg32?8，
∴x?8lg3?lg2， ∵
8lg3?lg2?80.477?0.301?45.45，
∴x?45.45.
答：经过46小时，细胞总数超过10个.
10 5
16．解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1， 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.
t?4t132?log(t?2)2?log3(1?4t?4t2)
（2）因为v=t2?4t在[1,??)上是增函数,且v?5,
4v在?5.???上是减函数，且1 93（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1) ?log25?2?log35 17．解：由x?x2>0得0 1a所以，当0 2函数y?loga(x?x)的值域为?loga1,????; ??4当a>1时, loga(x?x)?log221a4? 1?4??函数y?loga(x?x)的值域为????,log a2?1??1?当0 ?2???2??1?2?1?当a>1时，函数y?loga(x?x)在?上是增函数，在,1?上是减函数. ?0,?2???2?? 6
