例9:f(x),g(x)是非零多项式，证明存在自然数N,当n1,n2?N时，
(fn1(x),g(x))?(fn2(x),g(x)). 例10：证明：当p为素数时，f(x)?1?2x?x2例11：证明：f(x)?1?x?2! ?(p?1)xp?2在有理数域上不可约。
xn?没有重因式。 n!例12：设a1,a2,,an是不同的整数，证明：f(x)?(x?a1)(x?a2)(x?an)?1在
有理数域上不可约。
例13：设f(x)?anxn?an?1xn?1?均是奇数，那么f(x)没有整数根
(四)、多项式的根与有理系数多项式知识点
一、多项式的根
1、余数定理：f(x)?(x??)q(x)?c,c?f(?) 2、根与一次因式的关系：f(?)?0?(x??)|f(x) 3、根的个数：
(1)f(x)?P[x],?(f(x))?n(n?0),f(x)在P[x]中根的个数不超过n个 (2) ?(f(x))?n,?(g(x))?n,而它们在n?1个不同的值上有相同的函数值，则
f(x)?g(x)
证明：如果f(0),f(1)?a1x?0a是整系数多项式，
4、重根的判定：
(1) ?是f(x)的k重根?(x??)是f(x)的k重因式 (2) ?是f(x)的k重根?f'(?)?f(?)?0 (3) ?是f(x)的k重根??是(f(x),f'(x))的根。 (3)(f(x),f'(x))?1?f(x)无重根。 5、有理根
(1) f(x)?anxn?an?1xn?1?
r?a1x?a0?Z(x),是f(x)的一个有理根(r,s)?1
s6
?s|an,r|a0
r(2)整系数多项式有理根的求法：是f(x)?Z[x]的一个有理根?
s?f(x)?(sx?r)g(x),g(x)?Z[x];? r?f(x)?(x?)q(x),q(x)?Z[x].?s?(3) f(x)?Z[x],a,b?Z，则(a?b()|f()afb())?根。
6、根与系数关系式：设f(x)?anxn?an?1xn?1?结合反证法用来证明f(x)无有理
?a1x?a0(n?1,an?0)，如果它的
n个根记为x1,x2,an?1?x?x??x??n?12an??an?2xx?xx??xx??1213n?1nan xn，则????na0xxx?(?1)n?12an?
二、有理系数多项式
f(x)=kg(x), f(x)?Q(x), k?Q, g(x)?Z(x)
有理系数多项式在Q的分解及根的问题可转化为整系数多项式在Q的分解及根的问题
1、本原多项式：系数互素的整系数多项式
(1) ?f(x)?Q(x)?f(x)=kg(x),k?Q,g(x)为本原多项式 (2)若f(x)=kg(x)?k1g1(x)?k??k1,g(x)??1g1(x). 2、高斯定理：本原多项式的乘积为本原多项式。 3、整系数多项式的可约性
(1)定理：非零整系数多项式f(x)在有理数域上可约?f(x)在整数环上可约 (2)推论：f(x),g(x)?Z(x),g(x)本原，若f(x)?g(x)h(x),h(x)?Q(x)
?h(x)?Z(x)。
4、艾森斯坦因判别方法：设f(x)?anxn?an?1xn?1??a1x?a0?Z(x)，若存在素
7
数p满足：(1)p|an;(2)p|an?1,p|an?2,,p|a0;.(3)p2|a0.
注1：有理数域Q上有任意次不可约多项式，例如xn+2 注2：艾森斯坦因不可约判别法：充分不必要
注3：整系数多项式在有理数域Q上不可约的证明方法： (1) 利用艾森斯坦因找素数p
(2) 做变换x?ay?b，(其中a,b为整数且a?0),再用艾森斯坦因判别方法判别 (3) 反证法
例14：证明：f(x)?Z[x],a,b为一奇一偶，f(a),f(b)为奇数，则f(x)无整数根。 例15：设f(x)?xn?a1xn?1?则f(x)无有理根。
例16：设f(x)为P[x]上的不可约多项式，证明：若c与c-1为f(x)的根，b为f(x)的
任一根，则b也是f(x)的根。
-1
?an?1x?an?Z(x)，n为偶数，a1,a2an均为奇数，
高等代数与解析几何易忠主编课后典型习题
例题1：设f(x)，g(x),h(x)?R[x]，如果f2(x)?xg2(x)?xh2(x)，则
f(x)=g(x)?h(x)?0。如果f(x)，g(x),h(x)?C[x]，上述结论是否还正确？试举
例说明。（课本P166）
例题2：设f1(x)?0，g1(x)g2(x)|f1(x)f2(x)，试证明：如果f1(x)|g1(x)，则
（课本）P172 g2(x)|f2(x)。试问：若g1(x)|f1(x)成立，是否必有g2(x)|f2(x)。
例题3：试证：xd-1|xn-1?d|n。（课本P172）
x)?f(xu)(x)g(xvx?)()例题4：若d(且d(x)是f(x)与g(x)的公因式，则d(x)是
f(x)与g(x)的一个最大公因式。（课本P181）
例题5：设f(x)与g(x)不全为零且f(x)?d(x)q1(x),g(x)?d(x)q2(x)，试证：则
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（课本d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式当且仅当(q1(x),q2(x))?1。
P181）
例题6：设f(x)与g(x)不全为零，ad?bc?0，试证：
(f(x),g(x))?af(x)?bg(x),cf(x)?dg(x)（课本P181）
例题7：设p(x)?K[x]且?(p(x))?0，如果对于K[x]中任意多项式f(x)与g(x)， 只要p(x)|f(x)g(x)，就有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，试证：p(x)不可约。（课本P181）
例题8：利用因式分解定理证明：g(x)|f(x)?g2(x)|f2(x)。（课本P181）
例题9：若(f(x),g(x))?1，试证：(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。（课本P181）
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