高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较
强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 an?1?an?f(n)
解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列?an?满足a1?12，a?a1n?1n?n2?n，求an。 解：由条件知：a111n?1?an?n2?n?n(n?1)?n?1n?1
分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)
?(1?12)?(12?13)?(13?1114)????????(n?1?n)
所以a1n?a1?1?n
?a?12，?a11311n?2?1?n?2?n
变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）
已知数列{akn}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5；
（II）求{ an}的通项公式.
解：?a2k?a2k?1?(?1)k，a2k?1?a2k?3k
?ak2k?1?a2k?3?a2k?1?(?1)k?3k，即a2k?1?a2k?1?3k?(?1)k ?a3?a1?3?(?1)，
a5?a3?32?(?1)2
…… ……
a2k?1?a2k?1?3k?(?1)k
将以上k个式子相加，得
a2k?1?a1?(3?32?????3k)?[(?1)?(?1)2?????(?1)k]?32(3k?1)?12[(?1)k?1]将a1?1代入，得
即
a2k?1?a2k1k?11?3?(?1)k?1， 2211?a2k?1?(?1)k??3k?(?1)k?1。
22?1n?1?1n212??3??(?1)?1(n为奇数)?22经检验a1?1也适合，?an??
nn?1?32?1?(?1)2?1(n为偶数)?2?2类型2 an?1?f(n)an 解法：把原递推公式转化为例:已知数列?an?满足a1?解：由条件知之，即
an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an2nan，求an。 ，an?1?3n?1an?1n，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘?ann?1aaa2a3a4123n?11??????????n????????????n?
na1a2a3an?1234a1n22，?an? 33n3n?1an (n?1)，求an。 例:已知a1?3，an?1?3n?2又?a1?解：an?3(n?1)?13(n?2)?13?2?13?1???????a1
3(n?1)?23(n?2)?23?2?23?23n?43n?7??3n?13n?4526??3?853n?1。
?
变式（:2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1
(n≥2)，则{an}的通项an??n?1?1
n?2___?解：由已知，得an?1?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?nan，用此式减去已知式，得 当n?2时，an?1?an?nan，即an?1?(n?1)an，又a2?a1?1，
?a1?1,aaa2an!?1,3?3,4?4,???,n?n，将以上n个式子相乘，得an?(n?2)
2a1a2a3an?1类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.
解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且
q，再利用1?pbn?1an?1?3??2.bnan?3所以?bn?是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1,所以
an?2n?1?3.
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________ （key:an?2n?1?3）
变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*). （I）求数列?an?的通项公式； （II）若数列{bn}滿足4142（Ⅲ）证明：
b?1b?14bn?1?(an?1)bn(n?N*),证明：数列{bn}是等差数列；
an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12（I）解：
an?1?2an?1(n?N*),
?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列
?an?1?2n.
即 an?2?1(n?N). （II）证法一：
n*4k1?14k2?1...4kn?1?(an?1)kn.
?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.
?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ① 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,
nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.
③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,
即 bn?2?2bn?1?bn?0,
?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),
??bn?是等差数列
证法二：同证法一，得 (n?1)bn?1?nbn?2?0 令n?1,得b1?2.
设b2?2?d(d?R),下面用数学归纳法证明 bn?2?(n?1)d. （1）当n?1,2时，等式成立
（2）假设当n?k(k?2)时，bk?2?(k?1)d,那么
k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d. k?1k?1k?1k?1这就是说，当n?k?1时，等式也成立 bk?1?根据（1）和（2），可知bn?2?(n?1)d对任何n?N都成立
*bn?1?bn?d,??bn?是等差数列
（III）证明：
ak2k?12k?11?k?1??,k?1,2,...,n, ak?12?12(2k?1)22
?aa1a2n??...?n?. a2a3an?12
ak2k?11111111?k?1??????.k,k?1,2,...,n, k?1kkak?12?122(2?1)23.2?2?2232?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?12322223223
an1aan???1?2?...?n?(n?N*). 23a2a3an?12变式:递推式：an?1?pan?f?n?。解法：只需构造数列?bn?，消去f?n?带来的差异． 类型4 an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 （或
an?1?pan?rqn,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：
an?1pan1???引入辅助数列qn?1qqnq?bn?（其中bn?annq），得：bn?1?p1bn?再待定系数法解决。 qq511n?1,an?1?an?()，求an。 63211n?12nn?1n?1解：在an?1?an?()两边乘以2得：2?an?1?(2?an)?1
32322n令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,解之得：bn?3?2()
33b1n1n?3()?2() 所以an?nn232例:已知数列?an?中，a1?变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列?an?的前n项的和Sn?412an??2n?1?，n?1,2,3,333
n2n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,Sn解：（I）当n?1时，a1?S1?当
，证明：
?T?2
ii?13442a1???a1?2； 333n?2时，
an?Sn?Sn?1?412412an??2n?1??(an?1??2n?)333333，即
。 an?4an?1?2n，利用an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）
