《圆锥曲线》
三、解答题
x2y21.如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆C
ab于A、B两点，点A、B在直线G:x?a2上的射影依次为点D、E。 （1）若抛物线x2?43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点
N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
????????a2?1,0)为x轴上一点,求证:AN??NE （文）若N(2解：（1）易知b?3?b2?3,又F(1,0) ?c?1?a2?b2?c2?4
x2y2?1 ?椭圆C的方程为?43 （2）?F(1,0),k?(a2,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对
a2?1,0) 称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且N(2a2?1,0) 猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(2 证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1)，当m变化时首先AE过定点N
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?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?0....8分2222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)?y1?y2又KAN?2,KEN?a?11?a2?my122a2?1(y1?y2)?my1y2而KAN?KEN?222?01?aa?1(?my1)22a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?22a?m2b2a?m2b2(a2?1)?(mb2?mb2)??0)222a?mb
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
a2?1,0) ∴AE与BD相交于定点N(2(文)解：（1）易知b?3?b2?3,又F(1,0) ?c?1?a2?b2?c2?4
x2y2?1 ?椭圆C的方程为?43（2）(文)?F(1,0),k?(a,0) 设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2)
2?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?02222 ?bx?ay?ab?0 ??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)又KAN?而KAN?y1?y2,K?ENa2?11?a2?my122 a2?1(y1?y2)?my1y2?KEN?222?01?aa?1(?my1)22- 2 -
a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?2 22222a?mba?mb(a2?1)?(mb2?mb2)??0)222a?mb???????? ∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线?AN??NE
2.如图所示，已知圆C:(x?1)2?y2?8,定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0，点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足
FG??FH,求?的取值范围。
解：（1）?AM?2AP,NP?AM?0. ∴NP为AM的垂直平分线， ∴|NA|=|NM|
又?|CN|?|NM|?22, ?|CN|?|AN|?22?2. ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为2a?22,焦距2c?2.?a?
2,c?1,b2?1.
x2?y2?1. ∴曲线E的方程为2x22（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y?kx?2,代入椭圆方程?y?1,
213?k2)x2?4kx?3?0.由??0得k2?. 22
?4k3设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1?x2?又?FH??FH, ,x1x1?11?k2?k222
得(2?(x1,y1?2)??(x2,y2?2) ?x1??x2, ?x1?x2?(1??)x2,x1x2??x2
?(x1?x22xx?4k232)?x2?12()?,
11??? 122?k?k222?(1??)- 3 -
1616316(1??)22?4??. 整理得 ?k?,?3132 ??33(2?1)2k22k 1611.解得???3.又?0???1, ????1.
?333
11又当直线GH斜率不存在，方程为x?0,FG?FH,??.
3311????1,即所求?的取值范围是[,1) 33?4????2?1x2y23.设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点y A作垂直于AF的直线abA 交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且
⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
AP?8PQ 5F O P Q x l： x?3y?5?0相切，求椭圆C的方程.
解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） （0，b）知FA?(c,b),AQ?(x0,?b)
b28b258,y1?b ?FA?AQ,?cx0?b?0,x0?设P(x1,y1),由AP?PQ，得x1?13c135c
28b225()(b)213c?13?1 因为点P在椭圆上，所以
a2b2整理得2b=3ac，即2(a－c)=3ac，2e2?3e?2?0,故椭圆的离心率e=
2
2
2
1 2b23⑵由⑴知2b?3ac，得?a；c22又13c11于是F（－a，0）， Q(a,0) ?，得c?a，
22a221|a?5|11△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a 所以2?a，解得a=2，∴c=1，
222b=3，
x2y2??1 所求椭圆方程为43x2y224.设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e=
2ab- 4 -
（1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和
为4,求椭圆的方程.
（2）求b为何值时，过圆x+y=t上一点M（2，2）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而
且OQ1⊥OQ2．
2
2
2
x2y2??1 （1）椭圆的方程为42（2）解: 过圆x2?y2?t2上的一点M（2,2）处的切线方程为2x+2y－6=0.
令Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2), 则??2x?2y?6?0
?222??x?2y?2b
化为5x－24x+36－2b=0, 由⊿>0得：b?322
10
52436?2b218?4b2x1?x2?,x1x2?,y1y2?2x1x2?6(x1?x2)?18?
555由OQ1?OQ2知，x1x2?y1y2?0?b2?9,
即b=3∈（310,+∞），故b=3
55.已知曲线c上任意一点P到两个定点F1(-3，0)和F2(3，0)的距离之和为4． （1）求曲线c的方程；
（2）设过(0，-2)的直线l与曲线c交于C、D两点，且OC?OD?0(O为坐标原点），求直线
l的方程．
解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，其中a?2，则b?a2?c2?1． c?3，x2所以动点M的轨迹方程为?y2?1．
4（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?2，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，
????????∵OC?OD?0，∴x1x2?y1y2?0． ∵y1?kx1?2，y2?kx2?2，
∴y1y2?k2x1?x2?2k(x1?x2)?4．∴ (1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4?0．? ①
?x2216k??y?1,22由方程组?4得?1?4k?x?16kx?12?0．则x1?x2?，21?4k?y?kx?2.?
x1?x2?121216k21?k??2k??4?0． ，代入①，得??1?4k21?4k21?4k2即k2?4，解得，k?2或k??2．所以，直线l的方程是y?2x?2或y??2x?2．
y26.已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、
bC作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；
2- 5 -
