高等数学习题全解(上册)
习题1?1
1?设A?(????5)?(5???)?B?[?10? 3)?写出A?B?A?B?A\\B及A\\(A\\B)的表达式? 解A?B?(??? 3)?(5???)? A?B?[?10??5)?
A\\B?(????10)?(5???)? A\\(A\\B)?[?10??5)?
2?设A、B是任意两个集合?证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC? 证明因为
x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC? x?AC ?BC? 所以(A?B)C?AC ?BC?
3?设映射f?X?Y?A?X?B?X?证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)?
(2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明因为
y?f(A?B)??x?A?B?使f(x)?y
?(因为x?A或x?B) y?f(A)或y?f(B) ? y?f(A)?f(B)?
所以f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为
y?f(A?B)??x?A?B?使f(x)?y?(因为x?A且x?B) y?f(A)且y?f(B)? y? f(A)?f(B)? 所以f(A?B)?f(A)?f(B)?
4?设映射f?X?Y?若存在一个映射g?Y?X?使g?f?IX?f?g?IY?其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射?即对于每一个x?X?有IXx?x?对于每一个y?Y?有IYy?y?证明?f是双射?且g是f的逆映射?g?f?1?
证明因为对于任意的y?Y?有x?g(y)?X?且f(x)?f[g(y)]?Iyy?y?即Y中任意元素都是X中某元素的像?所以f为X到Y的满射?
又因为对于任意的x1?x2?必有f(x1)?f(x2)?否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)]? x1?x2? 因此f既是单射?又是满射?即f是双射?
对于映射g?Y?X?因为对每个y?Y?有g(y)?x?X?且满足f(x)?f[g(y)]?Iyy?y?按逆映射的定义?g是f的逆映射?
5?设映射f?X?Y?A?X?证明?
(1)f?1(f(A))?A?
(2)当f是单射时?有f?1(f(A))?A?
证明(1)因为x?A ?f(x)?y?f(A)?f ?1(y)?x?f?1(f(A))? 所以f?1(f(A))?A?
(2)由(1)知f?1(f(A))?A?
另一方面?对于任意的x?f?1(f(A))?存在y?f(A)?使f?1(y)?x?f(x)?y?因为y?f(A)且f是单射?所以x?A?这就证明了f?1(f(A))?A?因此f?1(f(A))?A? 6?求下列函数的自然定义域? (1)y?3x?2?
解由3x?2?0得x??2?函数的定义域为[?2, ??)?
33 (2)y?12?
1?x解由1?x2?0得x??1?函数的定义域为(????1)?(?1? 1)?(1???)? (3)y?1?1?x2?
x解由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1?0)?(0?1]? (4)y?1? 4?x2解由4?x2?0得 |x|?2?函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx?
解由x?0得函数的定义D?[0???)? (6) y?tan(x?1)?
解由x?1??(k?0??1??2????)得函数的定义域为x?k????1 (k?0??1??2????)?
22 (7) y?arcsin(x?3)?
解由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]? (8)y?3?x?arctan1?
x解由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?
解由x?1?0得函数的定义域D?(?1???)?
(10)
1y?ex?
解由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0???)?
7?下列各题中?函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2?g(x)?2lg x? (2) f(x)?x?g(x)?x2?
(3)f(x)?3x4?x3?g(x)?x3x?1? (4)f(x)?1?g(x)?sec2x?tan2x? 解(1)不同?因为定义域不同?
(2)不同?因为对应法则不同?x?0时?g(x)??x? (3)相同?因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同?因为定义域不同?
?|sinx| |x|???3?求?(?)??(?)??(??)??(?2)?并作出函数y??(x)的图 8?设?(x)???464?0 |x|?3?形?
解?(?)?|sin?|?1??(?)?|sin?|?2??(??)?|sin(??)|?2??(?2)?0? 442442662 9?试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)y?x? (??? 1)?
1?x (2)y?x?ln x? (0???)?
证明 (1)对于任意的x1?x2?(??? 1)?有1?x1?0? 1?x2?0?因为当x1?x2时?
y1?y2?x1xx1?x2?2??0? 1?x11?x2(1?x1)(1?x2)所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的?
1?x(2)对于任意的x1?x2?(0???)?当x1?x2时?有
y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?lnx1?0? x2所以函数y?x?ln x在区间(0???)内是单调增加的?
10?设f(x)为定义在(?l?l)内的奇函数?若f(x)在(0?l)内单调增加?证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?
证明对于?x1?x2?(?l? 0)且x1?x2?有?x1??x2?(0?l)且?x1??x2? 因为f(x)在(0?l)内单调增加且为奇函数?所以
f(?x2)?f(?x1)??f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1?x2?(?l? 0)?有f(x1)? f(x2)?所以f(x)在(?l? 0)内也单调增加? 11?设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l?l)上的?证明? (1)两个偶函数的和是偶函数?两个奇函数的和是奇函数?
(2)两个偶函数的乘积是偶函数?两个奇函数的乘积是偶函数?偶函数与奇函数的乘积是奇函数?
证明 (1)设F(x)?f(x)?g(x)?如果f(x)和g(x)都是偶函数?则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)?
所以F(x)为偶函数?即两个偶函数的和是偶函数? 如果f(x)和g(x)都是奇函数?则
F(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??F(x)?
所以F(x)为奇函数?即两个奇函数的和是奇函数? (2)设F(x)?f(x)?g(x)?如果f(x)和g(x)都是偶函数?则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)?
所以F(x)为偶函数?即两个偶函数的积是偶函数? 如果f(x)和g(x)都是奇函数?则
F(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数?即两个奇函数的积是偶函数? 如果f(x)是偶函数?而g(x)是奇函数?则
F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??F(x)?
所以F(x)为奇函数?即偶函数与奇函数的积是奇函数?
12?下列函数中哪些是偶函数?哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y?x2(1?x2)? (2)y?3x2?x3?
2 (3)y?1?x2?
1?x (4)y?x(x?1)(x?1)? (5)y?sin x?cos x?1?
x?xa?a (6)y?? 2解(1)因为f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)?所以f(x)是偶函数? (2)由f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数?
1?(?x)21?x2??f(x)?所以f(x)是偶函数? (3)因为f(?x)?221?x1???x?(4)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)?所以f(x)是奇函数?
(5)由f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1可见f(x)既非奇函数又非偶函数?
(?x)?(?x)?xxa?aa?a(6)因为f(?x)???f(x)?所以f(x)是偶函数?
2213?下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数?指出其周期? (1)y?cos(x?2)?
解是周期函数?周期为l?2?? (2)y?cos 4x?
解是周期函数?周期为l???
2 (3)y?1?sin ?x?
解是周期函数?周期为l?2? (4)y?xcos x? 解不是周期函数?
(5)y?sin2x?
解是周期函数?周期为l??? 14?求下列函数的反函数? (1)y?3x?1?
解由y?3x?1得x?y3?1?所以y?3x?1的反函数为y?x3?1? (2)y?1?x?
1?x1?y解由y?1?x得x??所以y?1?x的反函数为y?1?x?
1?y1?x1?x1?x (3)y?ax?b(ad?bc?0)?
cx?d?dy?b解由y?ax?b得x??所以y?ax?b的反函数为y??dx?b?
cy?acx?dcx?dcx?a
