第4讲 数列的通项的求法
★ 知 识 梳理 ★
数列通项的常用方法：
⑴利用观察法求数列的通项.
（n?1)?S1⑵利用公式法求数列的通项：①an??；②?an?等差、等比数列?an?公式.
S?S(n?2)n?1?n ⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①an?1?an?f(n)；②an?1?anf(n). ⑶构造等差、等比数列求通项：
① an?1?pan?q；②an?1?pan?q；③an?1?pan?f(n)；④an?2?p?an?1?q?an.
n
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法. 2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点 求数列的通项公式 题型1 利用公式法求通项
【例1】已知Sn为数列?an?的前n项和，求下列数列?an?的通项公式： ⑴ Sn?2n2?3n?1； ⑵Sn?2?1.
n【解题思路】已知关系式f(Sn,an,n)?0，可利用an??个重要公式.
（n?1)?S1?Sn?Sn?1(n?2)，这是求数列通项的一
【解析】⑴当n?1时，a1?S1?2?1?3?1?1?4， 当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2n22?3n?1)?2(n?1)?3(n?1)?1?4n?1.
?2?而n?1时，4?1?1?5?a1，?an???4(n?1)?4n?1(n?2).
⑵当n?1时，a1?S1?2?1?3， 当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?1.
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而n?1时，21?1?1?a1，?an???3(n?1)?2n?1(n?2).
【名师指引】任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an???S1(n?1)?Sn?Sn?1(n?2)
若a1适合an，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.
题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
【例2】⑴已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式； ⑵已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?n?an，求数列?an?的通项公式.
2【解题思路】⑴已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭加法或迭代法；
⑵已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭乘法.
【解析】⑴方法1：（迭加法）
?a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，?an?an?1?2n?1
?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1
?(2n?1)?(2n?3)?(2n?5)???5?3?1?n(2n?1?1)2?n
2方法2：（迭代法）?a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，
?an?an?1?2n?1?an?2?2(n?1)?2n?1
?an?3?2(n?2)?2(n?1)?2n?1??
?1?3?5???2(n?2)?2(n?1)?2n?1?n，?an?n.
⑵?a1?1，Sn?n?an，?当n?2时，Sn?1?(n?1)?an?1
2222?an?Sn?Sn?1?nan?(n?1)an?1?22anan?1?n?1n?1.
?an?anan?1?an?1an?2?an?2an?3???a3a2?a2a1?a1?n?1n?2n?3212???????1?. n?1nn?143n(n?1)【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“an?1?an?f(n)”； 迭乘法适用于求递推关系形如“an?1?an?f(n)“；⑵迭加法、迭乘法公式：
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① an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1
② an?anan?1?an?1an?2?an?2an?3???a3a2?a2a1?a1.
题型3 构造等比数列求通项
【例3】已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式.
【解题思路】递推关系形如“an?1?pan?q”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列. 【解析】?an?1?2an?3，?an?1?3?2(an?3)
??an?3?是以2为公比的等比数列，其首项为a1?3?4 ?an?3?4?2n?1?an?2n?1?3.
【名师指引】递推关系形如“an?1?pan?q” 适用于待定系数法或特征根法：
①令an?1???p(an??)；
② 在an?1?pan?q中令an?1?an?x?x?q1?p，?an?1?x?p(an?x)；
③由an?1?pan?q得an?pan?1?q，?an?1?an?p(an?an?1). 【例4】已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式.
n【解题思路】递推关系形如“an?1?pan?q” 适当变形转化为可求和的数列. 【解析】方法1：?an?1?2an?3，?则 bn?1?bn?(nnan?12n?an2n?1a3n?()，令nn?bn ?12232)，
n?bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)???(b2?b1)?b1
?(32n)n?13n?23n?33233n?()?()???()??1?2?()?2
22222n?an?3?2
方法2：?an?1?2an?3，?则 bn?1?nan?13n?233?ann?1?1，令
an3n?1?bn
23bn?1，转化为“an?1?pan?q“ （解法略）
n【名师指引】递推关系形如“an?1?pan?q”通过适当变形可转化为：
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“an?1?pan?q”或“an?1?an?f(n)求解.
【例5】已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an，求数列?an?的通项公式. 【解题思路】递推关系形如“an?2?p?an?1?q?an”可用待定系数法或特征根法求解. 【解析】令an?2???an?1??(an?1???an)
n由??????3????1????2或?，?an?2?an?1?2(an?1?an) ????????2???2???1n?1?数列?an?1?an?是等比数列，?an?1?an?2
?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1
?2n?2?2n?3?2n?4???2?1?1?2n?1.
【名师指引】递推关系形如“an?2?p?an?1?q?an”，通过适当变形转化为可求和的数列. 【新题导练】
1.已知Sn为数列?an?的前n项和， Sn?3an?2(n?N?,n?2)，求数列?an?的通项公式.
【解析】当n?1时，a1?S1?3a1?2?a1??1，
当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3an?2)?(3an?1?2).?2an?3an?1?anan?1?32
??an?是以
32为公比的等比数列，其首项为a1??1，?an??1?(32)n?1.
2.已知数列?an?中，a1?2,(n?2)an?1?(n?1)an?0(n?N?)，求数列?an?的通项公式.
【解析】由(n?2)an?1?(n?1)an?0得，
an?1ann??n?1n?2
?an?anan?1?an?1an?2?an?2an?3???a3a2?a2a123?a1?n?1n?2324??????2?.
n?1nn?143n?13.⑴已知数列?an?中，a1?1,an?1?an?2，求数列?an?的通项公式；
⑵已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?n，求数列?an?的通项公式.
【解析】⑴an?1?23an?2?an?1?6?22n?1(an?6)，?an?7?()?6； 33⑵令an?1???n?2(an???n)，得???1
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?an?1?n?2(an?n)，?an?n?2?2nn?1， ?an?2n?n
4.已知数列?an?中，a1?1,an?1?3an?3，求数列?an?的通项公式.
【解析】?an?1?3an?3，?nan?13n?an3n?1?1，令
an3n?1?bn
n?1?数列?bn?是等差数列，bn?1?1(n?1)?n，?an?n?35.（2008全国Ⅱ卷理?节选）
n.
设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?a,an?1?Sn?3(n?N?)，设bn?Sn?3，
n求数列?bn?的通项公式．
【解析】依题意，an?1?Sn?1?Sn?Sn?3，即Sn?1?2Sn?3， 由此得Sn?1?3n?1nn?2(Sn?3)， ? bn?Sn?3?(a?3)?2nnn?1.
6.(2008广东文?节选)
已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?【解析】由an?13an?1?23an?2(n?3)，求数列?an?的通项公式. 23(an?1?an?2)(n?3)
23的等比数列，
13an?1?23an?2 得an?an?1??又a2?a1?1?0，所以数列?an?1?an?是以1为首项，公比为??an?1?an?(?23)n?1
?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1 ?(?23)n?2?(?23)n?3???(?23)?(?223)?1?1?85?35(?23)n?1．
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基础巩固训练
1.若数列?an?的前n项和Sn?an?1（a?R，且a?0），则此数列是( )
A.等差数列 B.等比数列
C.等差数列或等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列
【解析】C. ?Sn?an?1，?an?Sn?Sn?1?(a?1)an?1(n?2)
?当a?1时，an?0，?an?是等差数列；a?0且a?1时，?an?是等比数列．选C.
2.数列?an?中，a1?1,an?n(an?1?an)，则数列?an?的通项an?( )
A.2n?1 B.n2 C.(n?1n)n?1 D.n
【解析】D a1?1,an?n(an?1?an)?an?1an?n?1n,使用迭乘法，得an?n.
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