工程硕士《数值分析》试卷（A 03-7）
第一至八题每题10分，第九题20分；解答按卷中题号写在答题纸上。试卷交回。
一。 1）并列为当今科学发展的三大研究方法是指什么方法？ 2） 计算 P?345112?????8 时， 为了减少乘除法运算，5432xxxxx应把它改写成什么形式？ 3）递推公式 ? 如果取
??y0?2
??yn?10yn?1?1,n?1,2,?* 作近似计算， 问计算到y10时误差有多少？ y0?2?1.41?y0这个计算过程数值稳定不稳定 ？
二． 1） Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？
A。 提高计算速度； B．提高计算精度；
C． 简化计算公式； D。提高计算公式的数值稳定性； E． 为了节省存储空间。 F。避免方程组病态。
2） 用列主元Gauss消去法的计算机算法解方程组（用增广矩阵表示过程）：
23??x1??1??1?5??x???0?
410???2?????3?0.11????x3????2??三． 1） 写出解线性代数方程组
Ax?b（其中A?Rn?n非奇异，b?0）的基
本迭代公式， 并指出其迭代矩阵；如果迭代公式为
x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,? 2） 给定线性方程组 ?则其迭代矩阵是哪一个？
?2?1??x1??8???? ????11.5??x2???4? 试分别构造解此方程组的Jacobi迭代公式和Guass-Seidel迭代公式；并分
别求出它们的迭代矩阵。
四． 1） 对迭代函数??x??(x2?5)，试求使迭代
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xk?1??(xk),k?0,1,?，
局部收敛于x 2） 写出求方程
??5的?的取值范围。
f(x)?x3?x?1?0 在 [1，2 ]中的近似根的一个收敛的
不动点迭代公式，并证明其收敛性。
五． 1）设函数
f(x)在五个互异节点 x1,x2,x3,x4,x5 上对应的函数值为
f1,f2,f3,f4,f5，根据定理，必存在唯一的次数 （A） 的插值多项式
P(x)，满足插值条件P(xi)?fi(i?1,2,?,5)。对此，为了构造
Lagrange插值多项式,由 （B） 可作 （C） 个插值基函数，每个基函数均为 （D） 次多项式，其一般式li(x)为 （E） ，从而得Lagrange插值多项式L(x)为（F）而插值余项R(x)?f(x)?L(x)为（G） 。
2）利用插值方法（Lagrange插值或Newton插值）求
（提示：当x?100,121,144时，
117的近似值。
f(x)?x?10,11,12）
六． 1）对同一个量的多个近似值取算术平均作该量之近似值。这种做法的意义是
什么？
2）记录某试验过程，函数
y依赖于x的试验数据如下：
x ： 1 2 3 4
y： 0.8 1.5 1.8 2.0
试求其形如
y?ax?bx2的拟合曲线。
A?1,A0,A1：
七．1）确定下列求积公式的求积系数
?1?1f(x)dx?A?1f(?1)?A0f(0)?A1f(1)
使公式具有尽可能高的代数精度；并问所得公式是不是Gauss型公式？ 2） 选用精度比较高、但仅使用9个等分点函数值的数值积分公式求 第 页
0.8I?1dx的近似值。（解答应包括：1）你选了什么公式？2）用所选?1?x0公式求解的过程与结果。）
八．1）常微分方程初值问题是指由 （A）和 （B）两部分联立起来构成的问题。研究
常微分方程初值问题时，针对的基本形式通常记为 （C） 。设函数
y(x)是某
初值问题的解析解，则该初值问题在xn处的数值解记为 （D） ；记y(xn?1)是初值问题在处xn?1的解，yn?1是由某数值方法得出的xn?1处的数值解，则
en?1?y(xn?1)?yn?1称为该数值方法在xn?1处的局部截断误差，对不对？
（E）
?y???xy2?y2）设初值问题 ??y(0)?1,0?x?1
拟同时用两种方法：Euler方法和改进的Euler方法，并取h?0.1，求上
述初值问题的数值解。试设计一个求解方案（或称计算机算法描述），包括计算公式、计算步骤、数值解输出、两种方法的数值解之差。
九、下列八小题任选五题：
1） 设x?(3,?1,5,8)T, 求 x，求
?，
x1，
x2；
?2??0 设 A?????0.30?A1，
A?， ?(A)。
2）用追赶法解下列三对角方程组：
?31??x1???1??241??x???7? ???2?????25????x3????9??3）
是区间?0,1?上带权??x而最高次项系数为1的 ?qk(x)??k?0正交多项式族，其中q0(x)?1，求?xqk(x)dx?？，q1(x)?？
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4）A??a?23?，当a满足什么条件时，A可作LU分解；当a满足什?3?1??A?LLT，其中L为对角线元素为正的下三角阵。
么条件时，必有分解式
5） 由迭代公式xk?1?1xk?,xk2k?0,1,?，产生的序列?xk?对任何
x0?1均二阶收敛于什么？
6） 用三种方法求满足插值条件
插值多项式
7） 要计算函数
p(0)?1，p(1)?p?(1)?0，p(2)?2的
p(x)。
xy(x)??e?tdt 在x = 0.5, 0.75, 1 三处的近似值，
02试设计两种计算方案（只写出计算公式）：
方案一．用数值积分法 ,
方案二．用解初值问题的数值方法。 8）利用
f(x)?sinx的数值表：
x： 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422
x ： 0.4 0.5 0.6 0.7 sin用Newton 插值公式求sin0.57891的近似值，并估计误差。
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