高中解析几何复习资料
高考专题：解析几何常规题型及方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
y2?1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点P 典型例题 给定双曲线x?22的轨迹方程。
2y12y22?1，x2??1。 分析：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x?2221 两式相减得 (x1?x2)(x1?x2)?1(y1?y2)(y1?y2)?0。 2 又设中点P（x,y），将x1?x2?2x，y1?y2?2y代入，当x1?x2时得 2x?y?y22y·1?0。 2x1?x2y1?y2y?1， ?x1?x2x?222 又k? 代入得2x?y?4x?y?0。
当弦P1P2斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2x?y?4x?y?0
说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
22x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆2?2?1上任一点，F1(?c,0)，F2(c,0)为焦点，?PF1F2??，?PF2F1??。
ab （1）求证离心率e?sin(???)；
sin??sin?3 （2）求|PF1|?PF2|的最值。
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分析：（1）设|PF1|?r1，|PF2?r2，由正弦定理得
r1r2c。 ?2?sin?sin?sin(???) 得
r1?r22c?，
sin??sin?sin?(??) e?csin?(??)? asin??sin? （2）(a?ex)3?(a?ex)3?2a3?6ae2x2。 当x?0时，最小值是2a；
323 当x??a时，最大值是2a?6ea。
3
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法
典型例题 抛物线方程y2?p(x?1)(p?0)，直线x?y?t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
p（1）证明：抛物线的准线为1：x??1?
4 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 t??1?p，而4t?p?4?0 4?x?y?t 由?2消去y得x2?(2t?p)x?(t2?p)?0
?y?p(x?1) ???(2t?p)2?4(t2?p)?p(4t?p?4)?0 故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) ?x1?x2?2t?p，x1x2?t2?p ?OA?OB，?kOA?kOB??1 则x1x2?y1y2?0 又y1y2?(t?x1)(t?x2) ?x1x2?y1y2?t2?(t?2)p?0
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t2 ?p?f(t)?
t?2 又p?0，4t?p?4?0得函数f(t)的定义域是 (?2，0)?(0，??)
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p （1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A
?4(a?p)?4a2?0?（x1,y1）,B(x2,y2)，则?x1?x2?2(a?p),又y1=x1-a,y2=x2-a,
?2?x1x2?a?|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?2[(x1?x2)2?4x1x2]?8p(p?2a)?0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0,?0?8p(p?2a)?2p, 解得:
?pp?a??. 24(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
x3?x1?x22?a?p, y3?y1?y2(x1?a)?(x2?a)??p. 22所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，所以S
△
NAB=
122|AB|?|QN|?p?|AB|?p?2p?2p2,即△NAB面积的最大值为2P2。 222
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对
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称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
k2?12k16k8(k2?1),?2,2A（2），B（2）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k?1k?1k?1k?1/
k=
1?525,p=. 251?545x,抛物线C的方程为y2=x. 25所以直线L的方程为：y=
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数?（?>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=?|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(?2-1)(x2+y2)-4?2x+(1+4?2)=0.
当?=1时它表示一条直线；当?≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。
（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
O Q N M x2y2??1，试确定m的取值范围，使得对于直线y?4x?m，椭圆C上有不同两典型例题 已知椭圆C的方程43点关于直线对称。
分析：椭圆上两点(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，相减得3(x1?x2)(x1?x2)?
4(y1?y2)(y1?y2)?0。
又x?x1?x2y?y2y?y21，y?1，k?1??，代入得y?3x。 22x1?x24?y?3x 又由?解得交点(?m,?3m)。
y?4x?m?
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(?m)2(?3m)2213213??1，得? 交点在椭圆内，则有。 ?m?431313（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k1·k2?y1·y2??1来处理或用向量的坐标运算来处理。
x1·x2典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P(?2,0)，抛物线C:y2?4(x?1)，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求k的取值范围；
（2）直线l的倾斜角?为何值时，A、B与抛物线
相垂直。
y 分析：（1）直线y?k(x?2)代入抛物线方程得 B 2222kx?(4k?4)x?4k?4?0， A P 由??0，得?1?k?1(k?0)。 (-2,0) O x 24k?4 （2）由上面方程得x1x2?， 2C的焦点连线互
k y1y2?k2(x1?2)(x2?2)?4，焦点为O(0,0)。 由kOA·kOBy1y22k2，??2??1，得k??2x1x2k?12 2??arctan22或????arctan
B:解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题 设直线3x?4y?m?0与圆x?y?x?2y?0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP?OQ，求
22m的值。
解： ?圆x?y?x?2y?0过原点，并且OP?OQ，
22
