巧求周长
例题精讲
基本概念
①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．
②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积． 基本公式：
①长方形的周长?2?(长?宽)，面积?长?宽．
②正方形的周长?4?边长，正方形的面积?边长?边长． 常用方法：
对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．
转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．
寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．
原有图形结构
在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．
平移：在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意． 割补：割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明
4-1-3 巧求周长 题库 page 1 of 11 对称 旋转 平移 新的图形结构 在原有图形结构中解决问题较困难 在新的图形结构中解决问题较容易 确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．
旋转：在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题． 对称：平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．
代换：在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．
本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．
【例 1】 求图中所有线段的总长(单位：厘米)
4AB3C1D2E
【解析】 要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是
四段，还包括
、
、
、
、
等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到，
；，等等．因此，为了计算图中所有线
段的总长，需要先计算AB、BC、CD、DE这四条线段分别被累加了几次． 这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：
由1段组成的线段共有4条，即AB、BC、CD、DE，而求和过程中AB、BC、CD、DE这四条线段各被累加了1次．
类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次．
由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次． 由4段组成的线段只有AE，其中AB、BC、CD、DE各被计算了1次． 综上所述，AB、DE各被计算了4次，BC、CD各被计算了6次． 因而图中所有线段的总长度为：
【例 2】 如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：
图中所有长方形的周长之和．
24【解析】 类似于上题，题目中所说的长方形，并不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线段在求
和过程中被累加了多少次．
因为没从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题．当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条宽，因此计算过程中应该注意不要漏算．
先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为4、3、1、2的线段分别被计算了4、6、6、4次．
然后再考虑大长方形的宽：因为共有个长方形，所以长度为2的宽被计算了
次．
4-1-3 巧求周长 题库 page 2 of 11 ACBE
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故总周长可以用下式计算得到：．
【例 3】 如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和．
【解析】 4?4?4?5?2?56．
【巩固】（“希望杯”第一试）如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把
正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是多少厘米？
AD
【解析】 从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、DA这四条边被用了1次，其余
四条虚线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：6?4?6?2?4?72（厘米）。
【例 4】 下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长17米，南边篱笆长23米．四周篱笆长多少米？
北BC西1723南东西172?A北DC东B23南
【解析】 因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角，可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段AD，
将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段BD，则折线ACB的长等于折线ADB的长． 所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等．列式为：
（23?17）?2?80(米) 四周篱笆长为：
【巩固】(希望杯培训题)右图的周长是 分米．
7分米6分米
【解析】 把那些与水平方向平行的小线段都”放”下来，恰好与底边一致；把竖直方向的小线段都依次”贴
到”左边，恰好贴满左边，因此多有的短横线的长的和为6分米，所有的短竖线的长的和为7分米，
（6?7）?2?26(分米) 图形的周长为
4-1-3 巧求周长 题库 page 3 of 11 【巩固】计算右边图形的周长(单位：厘米)。
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【解析】 要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件。但是，我们仔细观察这个图形，发现它的每一
个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图)，这样正好移补成一个长方形。求长方形的周长就易如反掌了。所以图形的周长是：(10?15)?2?50(厘米)。
【巩固】下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周长．
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【解析】 平移法，将锯齿状的零件转化成平行四边形，两组对边相等都等于24厘米 ，所以这个零件的周长
是24×2=48(厘米)．
【例 5】 下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米？
【解析】 平移转化为求长方形的周长，长方形的长5+6=11(厘米)，宽1+3=4(厘米)，周长(11+4)×2=30(厘米)，
[(5+6)+(1+3)]×2=30(厘米)，它的周长是30厘米．
【巩固】右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求这个图形的周长？
【解析】 平移法．{[(3+5)×3+3]+5}×2+6×(5-3)2=76(厘米)
【例 6】 一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周长
是 ． (写出所有可能的结果)
【解析】 周长为6厘米的正方形的边长为：6?4?1.5(厘米)，周长为20厘米的正方形的边长为20?4?5(厘
米)，在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况：
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对于图1的周长，与原来正方形的周长相等，为20厘米；图2的周长，观察可以发现，比原来正方形的周长多了两条小正方形的边，即为：20?1.5?2?23(厘米)．
【例 7】 求下图的周长．
图1图2 【解析】 通过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上AB、CD的长，即有周长为(50+35)×2+10×
2=190(厘米)．
【巩固】求右图的周长．
【解析】 140厘米
【巩固】下图的小正方形边长为1厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？
【解析】 28厘米
【例 8】 如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．杨老师
每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？
【解析】 平移法转化为长方形再求．［(120＋130+60)＋(70+250)］×2×3＝3780(米)．
【例 9】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是 ．(在横线上填写表示图
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