韶关市2011届高三数学摸底考试 数学（理科）试题 2010.9
说明：考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题意要求的。） 1.复数z?1的共轭复数是（ ） 1?i．．．．
B.
A.
11?i 2211?i 22
C. 1?i
D. 1?i
2. 已知全集U?R，S?{y|y?2x}，T?{x|ln(x?1)?0}，则S?T?（ ） A. ?
B. {x|0?x?2}
C. {x|0?x?1}
D. {x|1?x?2}
3. 为了得到函数y?2sin(?上所有的点（ ） A. 向左平移
x?)，x?R的图像，只需把函数y?2sinx，x?R的图像36?1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
36?1B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
36?C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
6?D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
64. 给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行 ④若直线l1,l2是异面直线，则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是（ ） ．A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
????5. 已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|a?3b|等于（ ）
A.
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7 B.10 C.13
D. 4
6. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如右，由于不慎 将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的 频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的 学生人数为b，则a、b的值分别为（ ） A. 0.27，78
C. 2.7，78
B. 0.27，83 D. 2.7，83
0.3 0.1 频率 组距 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 视力 7. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比。据测算，如果在距离车站10公理处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A. 5公理处 B.4公理处 C.3公理处 D.2公理处
8. 设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|?|PB|。若直线PA的方程为
x?y?1?0，则直线PB的方程是（ ）
A. 2x?y?7?0 B. x?y?5?0 C. 2y?x?4?0 D. 2x?y?1?0 二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中14~15题是选做题，考生
只能选做一题。）
9. 双曲线9x?16y?1的焦距是_________________. 10. (2x?1)的展开式的第10项的系数是_________________. 11. 右图给出的是计算
12221111???????的值的一个程序框图， 24620其中判断框内应填入的条件是 .
12．在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中 学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名， 日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要 求必须有男生参加考试。学校通过选拔定下3男 2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有________.
?2x?y?2?0?2213. 如果点P在平面区域?x?2y?1?0上，点Q在曲线x?(y?2)?1上，那么|PQ|的
?x?y?2?0?最小值为_________________;
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14.（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆??2cos?的圆心到直线?cos??2的距离是_____________; 15.（几何证明选做题）
如图，?PAQ是直角，半径为5的圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C, BT是否平分?OBA？证明你的结论；
Q证明：连结OT，
C（1）?AT是切线， （2）?OT?AP。
（3）又??PAB是直角，即AQ?AP， （4）?AB//OT， （5）
（6）又?OT?OB， （7）??OTB??OBT。
（8）??OBT??TBA，即BT平分?OBA。 以上证明的8个步骤中的（5）是_____________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx). （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值； （2）求y?f(x)在R上的单调区间.
17.（本小题满分12分）
设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取极值. （1）求a、b的值；
（2）若对于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围.
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2OBPTA（第15题图）
18. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1?4，点D是AB的中点. （1）求证：AC?BC1； （2）求证：AC1∥平面CDB1;
（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
19. （本小题满分14分）
A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2。根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：
x1 P 5% 0.8 10% 0.2
x2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
求方差Dy1、Dy2；
（2）将x(0?x?100)万元投资A项目，100?x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出x为何值时，
f(x)取到最小值.（注：D(ax?b)?a2Dx）
20（本题满分14分）
x2y2椭圆G:2?2?1?a?b?0?的两个焦点为F1??c,0?,F2?c,0?，M是椭圆上的一点，且满足
abF1M?F2M?0.
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为52； ①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k?k?0?的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，
??问A、B两点能否关于过点P?0,?3?、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，
?3?请说明理由.
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21. （本小题满分14分） 已知函数f(x)?2x?31*，数列{an}满足a1?1，an?1?f(),n?N. 3xan（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令Tn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5???a2n?1a2n?a2na2n?1，求Tn； （3）令bn?1a(n?2)n?1an成立，求最小正整数m.
，b1?3，Sn?b1?b2???bn，
若S?m?20022对一切n?N*n
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