2-5 试求出s(t)?Acos?t的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为
12T2R(?)?limA?cos?t?cos?(t??)?T2T??T
A2?cos??2
P?R(0)?
2-6 设信号s(t)的傅里叶变换为S(f)?sin?f解：
试求此信号的自相关函数Rs(?)。 ?f，
12A 2Rs(?)??P(f)ej2?f?df???
sin2?fj2?f???edf ???2f2??1??,?1???1
2-7 已知一信号s(t)的自相关函数为
Rs(?)?k?k?e， k为常数 2P； （1）试求其功率谱密度Ps(f)和功率
（2）试画出Rs(?)和Ps(f)的曲线。 解：（1）
Ps(f)??Rs(?)e?j2?f?d????k??(k?j2?f)?k0(k?j2?f)?ed??ed? 2?02???k2?2k?4?2f2?k2P??2df??k?4?2f2
k?2?（2）略
2-8 已知一信号s(t)的自相关函数是以2为周期的周期函数： R(?)?1??， ?1???1 试求功率谱密度Ps(f)，并画出其曲线。
解：R(?)的傅立叶变换为， （画图略）
1T2R(?)e?j2?f?d??T?T211sin2?f?j2?f???(1??)ed??22
?12?f?sinc2?fP(f)??sinc2?f?(f?nf0)???
n??sinc2?f?(f?)T???n??sinc2?f?(f?)2???
2-9 已知一信号s(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10kHz?f?10kHzP(f)??其他?0试求其平均功率。
解：
P??P(f)df???
??104?10?4210fdf 42??1083
本章练习题： 3-1．设
是
的高斯随机变量，试确定随机变量
均为常数。
的概率密度函数
,
其中
查看参考答案
3-2．设一个随机过程
可表示成
式中，是一个离散随机变量，且
试求
查看参考答案
及
。
3-3．设随机过程为
的高斯随机变量，试求： （1）（2）（3）查看参考答案
、
,若
与
是彼此独立且均值为0、方差
；
的一维分布密度函数
和
。
3-4．已知数分别为
和和
是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为。
的自相关函数。 的自相关函数。
和
，自相关函
（1）试求乘积（2）试求之和
查看参考答案
3-5．已知随机过程
数为
,其中，
是广义平稳过程，且其自相关函
=
彼此统计独立。
随机变量在（0，2（1） 证明
）上服从均匀分布，它与是广义平稳的；
的波形； 及功率。
（2） 试画出自相关函数（3） 试求功率谱密度查看参考答案
第二章
2-1 试证明图P2-1中周期性信号可以展开为 （图略）
(?1)n s(t)??cos(2n?1)?t
?n?02n?14?证明：因为
s(?t)?s(t) 所以
2?kt?2?kt? s(t)??ckcos??ckcos??ckcos?kt
T2k?0k?0k?00?
1?1?1s(t)dt?0?c0?0
12?1?1121?2ck??s(t)cosk?tdt??(???1)cosk?tdt??cosk?tdt??124k? sink?20,k?2n????4n(?1)k?2n?1?(2n?1)??所以
(?1)ns(t)??cos(2n?1)?t
?n?02n?14?
2-2设一个信号s(t)可以表示成 s(t)?2cos?(2t??)????t?
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：功率信号。
s?(f)???2??2j?cos(2?t??)e?j2?ftdt
sin?(f?1)?sin?(f?1)??[e?e?j?]2?(f?1)??(f?1)?12P(f)?lims?
??????sin2?(f?1)?sin2?(f?1)?sin?(f?1)?sin?(f?1)??lim??2cos2? 22222???4?2(f?1)2?2?(f?1)??(f?1)(f?1)?由公式
sinxtsin2xtlim??(x) lim??(x) 和
t???xt???tx2有
P(f)??[?(f?1)]44
1?[?(f?1)??(f?1)]4??[?(f?1)]??或者
1P(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]
4
2-3 设有一信号如下： x(t)???2exp(?t)?0t?0
t?0试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：
????x(t)2dx?4?e?2tdt?2
0??是能量信号。
S(f)??x(t)ej2?ftdt???2?e?(1?j2?f)tdt
0??21?j2?f22G(f)?1?j2?f?4
1?4?2f2
2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：
（1）?(f)?cos2?f （2）a??(f?a) （3）exp(a?f) 解：
功率谱密度P(f)满足条件：
2????P(f)df为有限值
（3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。
3-6．已知噪声
的自相关函数为
= （为常数）
（1）试求其功率谱密度（2）试画出查看参考答案
及
及功率； 的图形。
3-7．一个均值为，自相关函数为为
（1）试画出该线性系统的框图； （2）试求查看参考答案
的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程
(为延迟时间)
的自相关函数和功率谱密度。
3-8. 一个中心频率为谱密度为
、带宽为
的理想带通滤波器如图3-4所示。假设输入是均值为零、功率
的高斯白噪声，试求：
图3-4
（1）滤波器输出噪声的自相关函数； （2）滤波器输出噪声的平均功率； （3）输出噪声的一维概率密度函数。 查看参考答案
3-9. 一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为试求：
（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数； （2）输出噪声的一维概率密度函数。
的高斯白噪声，
图3-5
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3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为试求：
（1）输出噪声的自相关函数； （2）输出噪声的方差。
的高斯白噪声，
图3-6
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3-11．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为率相等。现假设任一间隔
，脉冲幅度取
的概
内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具有宽平稳性，试证：
（1）自相关函数 （2）功率谱密度
=
是平稳的，求
与
的
3-12． 图3-7为单个输入、两个输出的线性滤波器，若输入过程
互功率密度的表达式。
图3-7
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3-13．设平稳过程
的功率谱密度为
，其自相关函数为
。试求功率谱密度为
所对应的过程的自相关函数（其中，
3-14．
是功率谱密度为
为正常数）。
的平稳随机过程，该过程通过图3-8所示的系统。
图3-8
（1）输出过程（2）求
是否平稳？
的功率谱密度。
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3-15. 设性函数。试求查看参考答案
是平稳随机过程，其自相关函数在（-1,1）上为
的功率谱密度
，并用图形表示。
，是周期为2的周期
3-16．设
为零值且互不相关的平稳随机过程，经过线性时不变系统，其输出分别为
，试证明
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也是互不相关的。
