江苏无锡一中
2011—2012学年度上学期期中考试
高二数学试题
命题：沈柏英 审核：杜惠锋
一．填空题
1．抛物线y?2x2的焦点为 .
2.已知直线l1:x?ay?6?和l2:(a?2)x?3y?2a?0,则l1//l2的充要条件是
a= . 3．已知圆O：x2?y2?5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三
角形的面积等于 .
4．双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，焦点在y轴上，则该双曲线的离心率等于 . 5．已知圆C:x2?y2?9，直线l:x?2y?0，则与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程
为 .
x2y2??1的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则?ABF2的6．椭圆94周长为 .
7．已知圆(x?3)2?y2?4和过原点的直线y?kx的交点为P、Q，则|OP|?|OQ|的值为 .
8．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的
四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是
??2,0,??2,0，则|PC|?|PD|的最大值为 . ?9．若⊙O1:x2?y2?5与⊙O2:(x?m)2?y2?20(m?R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .
10. 将一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直
线l1:ax?by?2?0，l2:x?2y?2?0平行的概率为P2，则1，相交的概率为P?P1,P2?所对应的点在直线l2的________方（填“上”或“下”）．
n?N*，11．在平面直角坐标系xOy中，设直线y?3x?2m和圆x2?y2?n2相切，其中m，
0?|m?n|?1，若函数f(x)?mx?1?n 的零点x0?(k,k?1),k?Z，则k? .
x2y2??1右支上的两点，AB中点到y轴的距离为4，则AB的12．点A、B是双曲线45最大值为 . 13．如图，已知F1,F2是椭圆C:xy??1 (a?b?0)的 22ab222左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x?y?b 相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离
心率为 .
22yPQF1OF2x
14．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA|?|PB|?k，则动点P的轨迹为双曲线； ②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OP?1(OA?OB),则动2
点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2?5x?2?0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
x2y2x2??1与椭圆?y2?1有相同的焦点. ④双曲线
25935其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）
二．解答题
15. 已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y??x的距离等于2. （1）求圆C的方程；
（2）若圆心在第一象限，点P是圆C上的一个动点，求x?y的取值范围．
22x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与椭圆相交于A、B两点，16. 椭圆42O为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过O，求直线l的方程.
17．已知抛物线方程为y2?4x，过点P(?2,0)的直线AB交抛物线于点A、B，若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q(n,0)，求n的取值范围.
18.已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30?，距离4公里，它们准
备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰
A炮击的方位角．
y2x219．已知椭圆C：2+2＝1?a＞b＞0?的离心率为6，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于
3abA、B两点，且B(?1，?3).
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线x2?2mx?y2?4y?m2?4?0与D有公共点，试求实数m的最小值．
x2y220．已知椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2ab分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径
作圆B；若直线l:y??315； x被圆A和圆B截得的弦长之比为36（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知a?7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦
长之比为
3；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由． 4y A · F 1O · F2 B x
参考答案
1． (0,) 2．－1
1825 4134． 35．y??2x?35 3． 6．12 7．答：5 8．答：4； 9．4 10．下 11． k?0． 12．答：8 13．
5 314．（3）（4）
15．（1）圆C方程为(x?1)2?(y?1)2?1,或(x＋1)2?(y＋1)2?1. (2)
?2?1,2?1
?16.解：（1）F2(2,0),设直线l的方程y?k(x?2)
22??x?2y?4?0由?得:(1?2k2)x2?42k2x?4(k2?1)?0??y?k(x?2)
424(k2?1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?,x1?x2?21?2k1?2k2 又y1?k(x1?2),y2?k(x2?2),?y1y2?k2x1x2?2k2(x1?x2)?2k2又OA?(x1,y1),OB?(x2,y2)?OA?OB,?OA?OB?0,
2k2?4?OA?OB?x1x2?y1y2??0,2 1?2k?k??2.又当k不存在时,OA与OB不垂直.∴所求直线方程为y??2(x?2).
把y?kx?2代入抛物线方程可得：k2x2?(4k?4)x?4?0
17．解：设直线AB的方程为y?kx?2(k?0)，点A(x1,y1)，B(x2,y2)
4k?44x?x?， 12k2k248∴y1?y2??kx1?2???kx2?2??，y1?y2??kx1?2???kx2?2???
kk?2k?22?设线段AB的中点C的坐标为C?,? 2k??k21?2k?2?则直线CQ的方程为：y????x?? 2kk?k?∴x1?x2?2k?2223?11?令y?0，则n?x?2? ???2?2????k22k2k2k??111又由k??且k?0得：??2或?0
2kk21?3?则n?2?0????2
2?2?∴n的取值范围为(2,??)。
218．解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），据题设，得B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，23)且动物P(x，y)在BC的中垂线l上，
∵BC中点M的坐标为(－4，
3)， kBC＝－3。
33
∴ l的方程为y－3＝3(x＋4)即：y＝3(x＋7)。。。。。。。。。。。。。。。。。① 又∵ |PB|－|PA|＝4(公里)
∴ P又在以B，A为焦点的双曲线右支上。 x2y2
双曲线方程为4－5＝1 (x≥2)。。。。。。。。。。。。。。。② 32由①②消去y得 11x2－56x－256＝0，解的x1＝－11 (舍去)，x2＝8。
