§3.2 均值不等式 教案（一）
第1课时
授课类型：新授课 【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?【教学难点】 均值不等式ab?【教学过程】
a?b的证明过程； 2a?b等号成立条件 21.课题导入 均值不等式ab?a?b的几何背景： 2家赵爽的弦图图案中找出一
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2?b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a?b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a?b?2ab。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a?b?2ab。 2．得到结论：一般的，如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 a2?b2?2ab?(a?b)2
当
222222a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,
所以，(a?b)?0，即(a?b)?2ab. 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab?222a?b 2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a?b?2ab，
a?b(a>0,b>0) 2a?b 2）从不等式的性质推导基本不等式ab?
2通常我们把上式写作：ab?用分析法证明：
a?b?ab (1) 2只要证 a+b? (2) 要证（2），只要证 a+b- ?0 （3）
要证
要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式ab?2a?b的几何意义 2AB的弦DE，连接
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab?
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为成立.
因此：均值不等式ab?评述：1.如果把
2
a?b的几何解释吗？ 2a?ba?b?ab，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号，显然，它大于或等于CD，即
22a?b几何意义是“半径不小于半弦” 2a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个2a?b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数2正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称
的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题]
例1 已知x、y都是正数，求证：
(1)
yx?≥2； xy2
2
3
3
33
(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 分析：在运用定理：进行变形.
解：∵x，y都是正数 ∴
a?b?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，2yx2233
＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0
xy
(1)
xyxyxy??2?＝2即?≥2.
yxyxyx22332233
(2)x＋y≥2xy＞0 x＋y≥2xy＞0 x＋y≥2xy＞0
∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2即（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy.
2
2
3
3
33
2233
x2y2·2x3y3＝８x3y3
3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2ab＞0
a?b?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 2b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（
的关系（
a?b），几何平均数（ab）及它们2a?b≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以
a?b2a2?b2用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）.变式：a?b?2ab(a,b?R?)；
22a?b2a?ba2?b2) ab??(a,b?R?)；ab?(222作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等” 三元均值不等式：
依据：a?b?c?3abc(a,b,c?R?)
变式：a?b?c?33abc(a,b,c?R?)，abc?(作用：与二元均值不等式相仿
333a?b?c3) 3
推广：
x1?x2?x3????????xn?nnx1x2??????xn(x1,x2,?????,xn?R?)均值不等式及其应用
n一、 均值不等式的含义及成立的条件
（一） 原型： 对于任意的实数a、b?R，都有:a2?b2?2ab; 对于任意的正数a、b、c?R?,都有：a3?b3?c3?3abc.
（二） 均值不等式：任意n个正数的算术平均值不小于这n个正数的几何平均值
a?b两个数的均值不等式：若a,b?R?，则≥ab（等号仅当a?b时成立）
2 三个数的均值不等式：若a,b,c?R?，则a?b?c≥33abc（等号仅当a?b?c时成立） a?b?c?d4a?b?c=d时成立） 对于任意a、b、c、d?R?,都有：?abcd.（等号仅当
4（三）均值不等式常见的变形
1、对于任意的正数a、b、c?R?若ab?m常数,则a?b?2m，a?b的最小值为2m（注意当且仅当.a?b时取得最小值）
mm若a?b?m为常数，则ab?()2,即ab的最大值为()2.(注意当且仅当a?b时取得最小值）222、若abc?m常数,则a?b?c?33m，a?b的最小值为33m.（注意当且仅当a?b?c时取得最小值）m3m3
若a?b?c?m为常数，则abc?(),即ab的最大值为().33(注意当且仅当a?b?c时取得最小值）a2?b2?a?b??a?b?c?abc3、几个常用不等式：① ab≤?≤ ②≤???；
223????a?ba2?b22③如果a,b?R，则≥≥ab≥（可以推广到n的情形）
1122?ab【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）a?b?2ab的几何意义：
如右图，不妨设b?a?0，两个正方体的体积 之和为a?b，两个矩形的面积之和为：2ab 显然，这两部分面积之差a?b-2ab为图中 阴影部分面积.
a a 22222322b
(2) a?b?ab的几何意义： 2A B D 【其一】分析：设x?ab，其意义是什么？ 联想到圆幂定理：x?ab 2O C 如右图：设AB?a，AC?b，则BC?b-a，以BC为直径作圆，切线AD与圆相切于D点，则有：AD= ab，AO=
a?b（为什么？）. 显然，AO?AD 2a?b2（）?ab的几何意义： 【其二】原式即
2如右图，设AC?a，AB?b，D为BC中点，
F
G H M a?ba?b2（） ，正方形ADEF的面积=
22矩形ACHG的面积= ab，
则，AD?这两面积的差= S矩形MHNE，（为什么？）
N E a?b2（）=ab+S矩形MHNE 即
2（注意：S矩形CDEN?S矩形EMGF）
A C D B
a2?b2a?b2?（）的几何意义： （3）平方平均不等式22如右图：设AC?a，AB?b，D为BC中点， 则，AD?H M G a?b， 2P N a2?b2则的几何意义是S?ACE?S?ABG
2（而
a?b2）的几何意义是S正方形ADNP， 2F E 这两个面积的差等于S?MNG
A C D B
a?b2a2?b2（）+S?MNG（为什么？） 即=
22
二、均值不等式的应用
