第16章 二次根式全章导学案
16.1 二次根式(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：a?0(a?0)和(a)2?a(a?0) 二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质a?0(a?0)和(a)2?a(a?0)。
三、学习过程
（一）复习引入： （1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______, a一定是_______数。
4（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子a?0(a?0)的意义是 。 （二）提出问题
1、式子a表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？
3、式子a?0(a?0)的意义是什么？ 4、(a)2?a(a?0)的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
a(a?0)23，?16，34，?5，3x?1 ，
2、计算 ：
(1) (4)2 (2) (3)2 （3）(0.5)2 （4）(12) 3根据计算结果，你能得出结论： ，其中a?0, (a)2?________(a)2?a(a?0)的意义是 。 3、当a为正数时
指a的 ，而0的算术平方根是 ，
中，
负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式字母a必须满足 , （三）合作探究
才有意义。
1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x取何值时，下列各二次根式有意义？
①3x?4 ②2?21x ③ ?
32?x2、（1）若a?3?3?a有意义，则a的值为___________．
?x在实数范围内有意义，则x为（ ）（2）若 。
A.正数
B.负数 C.非负数 D.非正数
（四）展示反馈 (学生归纳总结)
1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 2．式子a(a?0)的取值是非负数。 （五）精讲点拨
1、二次根式的基本性质(a)2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方
形式，如5=(5).
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 （五）拓展延伸
2
1?2x1、(1)在式子中，x的取值范围是____________.
1?x(2)已知x2?4+2x?y＝0，则x-y＝ _____________. (3)已知y＝3?x+x?3?2,则yx= _____________。
2、由公式(a)2?a(a?0)，我们可以得到公式a=(a)2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 5 0.35 (2)在实数范围内因式分解
x2?7 4a2-11
（六）达标测试
A组
(一)填空题： 2?3?1、 =________; ???? ?5?2、 在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
（二）选择题：
?13)2的值为（ ） 1、计算 (
A. 169 B.-13 C±13 D.13
2、已知 x ?3?0,则x为（ ）A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。 A. 3= (3)2 B 0.5=(0.5)2 C .(0.3)2=0.3
D (57)2=35 B组
（一）选择题：
1、下列各式中，正确的是（ ）。
4?9?9?4A. 9? B 4? = 9?4
255C D 4?2?4?2?366
2、 如果等式(?x)2= x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0
（二）填空题:
1、 若a?2?b?3?0，则 a2?b= 。 2、分解因式：
X4 - 4X2 + 4= ________.
3、当x= 时，代数式4x?5有最小值， 其最小值是 。
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：a2?a 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质a2?a．
难点：综合运用性质a2?a进行化简和计算。 三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式
2有意义，则x 。 x?5（3）在实数范围内因式分解：
x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（二）提出问题 1、式子
a2?a表示什么意义?
2、如何用来化简二次根式? 3、在化简过程中运用了哪些数学思想? （三）自主学习
自学课本第3页的内容，完成下面的题目：
a2?a1、计算：
42()?2224? 0.2? 5 20?
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当a?0时,a?
2、计算：
4(?)2?(?0.2)?(?20)2?(?4)?5
22观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a?0时,a? 3、计算：
02? 当a?0时,a?
（四）合作交流
1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
? a a?0?a2?a?? 0 a?0
??a a?0?2、化简下列各式：
(1)0.3?______2(2)??0.3?2?______(3)??5?2?_______
(4)(2a)2?_____（a<0）
3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a)2?a(a?0)与a2?a有什么区别与联系。 （五）展示反馈 1、化简下列各式
（1）4x2(x?0) (2) x
2、化简下列各式
（1）(a?3)2(a?3) （2）
（六）精讲点拨
利用a2?a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 （七）拓展延伸
(1)a、b、c为三角形的三条边，则(a?b?c)2?b?a?c?____________. (2) 把(2-x)
4?2x?3?2（x＜-2）
1的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ） x?2A、2?xB、x?2 C、?2?x D、?x?2 (3) 若二次根式?2x?6有意义，化简│x-4│-│7-x│。 （八）达标测试：
A组
1、填空：（1）、(2x?1)2-(2x?3)2(x?2)=_________.
（2）、(??4)2= 2、已知2＜x＜3，化简：(x?2)2?x?3
B组
111、 已知0 ＜x＜1，化简：(x?)2?4－(x?)2?4
xx
a的正方形方孔．若沿3图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
16.2二次根式的乘除 二次根式的乘法
一、学习目标
1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。 二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二
次根式的化简。
三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算：
（1）439=______ 4?9=_______ （2）16 325 =_______ 16?25=_______ （3）100 336 =_______ 100?36=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）439_____4?9 （2）16325____16?25 （3） 100336__100?36
（二）提出问题
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习
自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空：
（1）233____6 （2）536____30 （3）235____10 （4）435____20 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？ 能用数学表达式表示发现的规律吗？
3、二次根式的乘法法则是：
（四）合作交流
1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：
（1）9327 （2）25332
（3）5a2
11b ab （4）523a235
2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质：
。 （2）化简：
①54 ②12a2b2
③25?49 ④100?64
（五）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于9327的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？
（六）精讲点拨
