(2)方程YA?En有解的充分必要条件是R(A)?n?
证明 注意? 方程YA?En有解的充分必要条件是ATYT?En有解? 由(1) ATYT?En有解的充分必要条件是R(AT)?n? 因此，方程YA?En有解的充分必要条件是R(A)?R(AT)?n?
20? 设A为m?n矩阵? 证明? 若AX?AY? 且R(A)?n? 则X?Y?
证明 由AX?AY? 得A(X?Y)?O? 因为R(A)?n? 由定理9? 方程A(X?Y)?O只有零解? 即X?Y?O? 也就是X?Y?
38
第四章 向量组的线性相关性
1? 设v1?(1? 1? 0)T? v2?(0? 1? 1)T? v3?(3? 4? 0)T? 求v1?v2及3v1?2v2?v3? 解 v1?v2?(1? 1? 0)T?(0? 1? 1)T
?(1?0? 1?1? 0?1)T
?(1? 0? ?1)T?
3v1?2v2?v3?3(1? 1? 0)T ?2(0? 1? 1)T ?(3? 4? 0)T
?(3?1?2?0?3? 3?1?2?1?4? 3?0?2?1?0)T ?(0? 1? 2)T?
2? 设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)? 求a? 其中a1?(2? 5? 1? 3)T? a2?(10? 1? 5? 10)T? a3?(4? 1? ?1? 1)T?
解 由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得 a?16(3a1?2a2?5a3)
?16[3(2, 5, 1, 3)T?2(10, 1, 5, 10)T?5(4, 1, ?1, 1)T]
?(1? 2? 3? 4)T? 3? 已知向量组
A? a1?(0? 1? 2? 3)T? a2?(3? 0? 1? 2)T? a3?(2? 3? 0? 1)T? B? b1?(2? 1? 1? 2)T? b2?(0? ?2? 1? 1)T? b3?(4? 4? 1? 3)T? 证明B组能由A组线性表示? 但A组不能由B组线性表示? 证明 由
?032204 (A, B)???1031?24???210111?~r?1031?24? ??0031?26?2104?
?1213????02?8?157??7?329???103 ~r ??01?24??r???001?206?51?155?257?~ ?010001?364?11?21?53?47??5? ?0041?35????000000??知R(A)?R(A? B)?3? 所以B组能由A组线性表示? 由
? B??2?1?1?02414??r??1?~?01?0222???102?01?1?~r??01?1?
?213????01?1?000????000??知R(B)?2? 因为R(B)?R(B? A)? 所以A组不能由B组线性表示?
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4? 已知向量组
A? a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 1? 0)T?
B? b1?(?1? 0? 1)T? b2?(1? 2? 1)T? b3?(3? 2? ?1)T? 证明A组与B组等价? 证明 由
??11301?r??11301?r??11301?(B, A)??02211?~?02211?~?02211??
?11?110??02211??00000???????知R(B)?R(B? A)?2? 显然在A中有二阶非零子式? 故R(A)?2? 又R(A)?R(B? A)?2? 所以R(A)?2? 从而R(A)?R(B)?R(A? B)? 因此A组与B组等价?
5? 已知R(a1? a2? a3)?2? R(a2? a3? a4)?3? 证明 (1) a1能由a2? a3线性表示?
(2) a4不能由a1? a2? a3线性表示?
证明 (1)由R(a2? a3? a4)?3知a2? a3? a4线性无关? 故a2? a3也线性无关? 又由R(a1? a2? a3)?2知a1? a2? a3线性相关? 故a1能由a2? a3线性表示?
(2)假如a4能由a1? a2? a3线性表示? 则因为a1能由a2? a3线性表示? 故a4能由a2? a3线性表示? 从而a2? a3? a4线性相关? 矛盾? 因此a4不能由a1? a2? a3线性表示?
6? 判定下列向量组是线性相关还是线性无关? (1) (?1? 3? 1)T? (2? 1? 0)T? (1? 4? 1)T? (2) (2? 3? 0)T? (?1? 4? 0)T? (0? 0? 2)T?
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A? 因为
??121?r??121?r??121? A??314?~?077?~?011??
?101??022??000???????所以R(A)?2小于向量的个数? 从而所给向量组线性相关? (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B? 因为
2?10 |B|?340?22?0?
002所以R(B)?3等于向量的个数? 从而所给向量组线性相无关?
7? 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1?(a? 1? 1)T? a2?(1? a? ?1)T? a3?(1? ?1? a)T? 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A? 由
a11 |A|?1a?1?a(a?1)(a?1)
1?1a
40
