8.3 基本不等式的证明
【知识网络】
1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；
2、证明不等式的方法及应用。 【典型例题】
22?a?b?a?b例1：（1）设a,b?R，已知命题p:a?b；命题q:?，则p是q成 ??2?2?2立的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
22?a?b?a?b答案：B。解析： a?b是?等号成立的条件。 ??2?2?2（2）若a,b,c为△ABC的三条边，且S?a2?b2?c2,p?ab?bc?ac，则（ ）
A．S?2p
B． p?S?2p C．S?p D．p?S?2p
1答案:D．解析： S?p?a2?b2?c2?(ab?bc?ac)?[(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2]?0,?S?p，
2又∵|a?b|?c,|b?c|?a,|a?c|?b,?a2?2ab?b2?c2,b2?2bc?c2?a2,a2?2ac?c2?b2 ∴a2?b2?c2?2(ab?bc?ac),?S?2p。 （3）设x > 0, y > 0,a?
A．a >b
x?yxy?, b?， a 与b的大小关系 （ ）
1?x?y1?x1?yC．a ?b
D．a ?b
B．a
答案：B。解析：a?x?yxyxy????。
1?x?y1?x?y1?x?y1?x1?y（4）b克盐水中，有a克盐（b?a?0），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .
答案：
aa?m?．解析:由盐的浓度变大得． bb?m1x1的最小值. ． y2yx??3?22。 xy（5）设x?0,y?0且x?2y?1，求?1x1y答案： 3?22。解析：(x?2y)(?)?3?例2：已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 答案：证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )
= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
1 例3 设x,y?R,y?x2?0，当0?a?1时，求证：loga(ax?ay)?loga2?。
8 解析：ax?ay?2ax?y?2?a∴loga(a?a)?loga(2?axyx?x2xx?y2?2?ax?x22，
x?x21111)?loga2??loga2?(x?)2??loga2?。
22288例4：（1）已知a,b是正常数，a?b，x,y?(0,??)，
a2b2(a?b)2求证：，指出等号成立的条件； ??xyx?y（2）利用（1）的结论求函数f(x)?指出取最小值时x的值．
291?（x?(0,)）的最小值， x1?2x2a2b2yxyx答案：(?)(x?y)?a2?b2?a2?b2?a2?b2?2a2b2?(a?b)2，
xyxyxyxaba2b2(a?b)22y?b2，即?时上式取等号； 故．当且仅当a??xyxyxyx?y2232(2?3)2⑵由⑴得f(x)????25．
2x1?2x2x?(1?2x)当且仅当
231?，即x?时上式取最小值，即[f(x)]min?25． 2x1?2x5【课内练习】
1．设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________.
答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2xy,∴xy≤(成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg(
525). 当且仅当x=y=时等号2252
)=2-4lg2. 25 22．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 答案： B.解析：lga?lgb?(lga?lgb2)?1。 2222aba?ba?ba?b①，② ??，a?b2223．在a?0，b?0的条件下，三个
22ba③??a?b，其中正确的个数是 ab （ ）
A．0 B．1 C．2 答案：D。解析：可以证明3个不等式都成立。
D．3
bn?1?4．对一切正整数n， 不等式恒成立，则B的范围是 （ ） 1?bn?2 答案： 2或b?。
52(??,)?(1,??)。解析：n?1?1?1?2,?b?n?2n?231?b525b?2,??0，即b>13b?15．已知方程(x?1)(x2?2x?m)?0的三根可作为一个三角形的三边长，那么m的取值范围是 。
3?3??3?答案：m??,1?。解析：??4?4m?0,?m?1，又|x1?x2|?1,?m?，即m??,1?。
4?4??4?6．已知a、b为不等的正数，且b?的顺序排列 。
a?3a?b3、a、b、，试将四个数按从小到大
a?12a?33?1?3???(3?a) 答案： b?3?a?1a?1a?b?3， （1）当a?3时，0?b?3?3?a，得b?3，且2此时a?a?b?3?b 2a?b?3， （2）当a?3时，0?3?b?a?3，得b?3，且2此时b?3?（3）当a?a?b?a 23时，a?b与题设矛盾
7．比较下列两个数的大小： （1）2?1与2?3； （2）2?3与6?5；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 答案：（1）2?1?2?3,（2）2?3?6?5
（3）一般结论：若n?N则n?1?n??n?3?n?2成立
证明 欲证n?1?n?n?3?n?2成立 只需证
1n?1?n?1n?3?n?2
也就是n?1?n?n?3?n?2 （?）
3,n?n?2?n?N? ?n?1?n?
从而（*）成立，故n?1?n?n?3?n?2 (n?N?)
448．已知x?0,y?0,x?y?1，求证：x?y≥
1． 8答案:∵x?0,y?0,x?y?1，∴x2?y2≥2xy， 两边同加上x2?y2得，2(x2?y2)≥(x?y)2?1．
又x?y≥2xy，两边同加上x?y得，2(x?y)≥(x?y)≥∴x?y≥
44442244442221， 41． 89．设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：(a?答案：∵
12125)?(b?)2?． ab2a?b111ab?? ∴ab? ∴?4
224ab22
11???11?a??b????1?a?b?1212ab∴(a?)?(b?)?2???2??
ab22????????????1??a?b??21?1????ab?25?1?4?ab ?2???2???2???2222??????????????22
x2?f(x)?4sinxsin(?)?cos2x 10．已知函数
42 （1）设???0为常数，若y?f(?x)在区间??,?2???上是增函数，求w的取值范围 23????2??A?x?x???;B?xf(x)?m?2，若A?B，求实数m的取值范围。 （2）设集合
63?????1?cos(?x)2?cos2x?2sinx?1 答案：（1）f(x)?4sinx?2?2??f(?x)?2sin?x?1在???,??上是增函数。
?23?2????2???????3????,????,?，即?,????0,?
32??23??2?2???4?（2）由
f(x)?m?2得：?2?f(x)?m?2，即f(x)?2?m?f(x)?2
?623?A?B,?当?X??时，f(x)?2?x?f(x)?2恒成立。
??f(x)?2?max?m??f(x)?2?min
????2??x?,f(x)?f()?3;f(x)?f()?2 ?m?(1,4 )又时，maxmin?63?26??
【作业本】
A组
1．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是 （ ） ．．．．
A．|a?b|?|a?c|?|b?c| C．|a?b|?B．a2?1a2?a?1 a1?2 a?bD．a?3?a?1?a?2?a
答案： C．因为|a?b|??a?c???b?c??|a?c|?|b?c|，所以（A）恒成立，在B两侧同时乘以a,得a4?1?a3?a??a4?a3???1?a??0?a3?a?1???a?1??0??a?1?2?a2?a?1??0 所以B恒成立；在C中，当a>b时，恒成立，a 2 22?恒成立，故选C． a?3?a?1a?2?a2．若关于x的方程9?(4?a)?3?4?0有解，则实数a的取值范围是 A．(??，?8]?[0，??) C．[?8，4) x答案：D。解析：4?a????3?xx（ ） B．(??，?4) D．(??，?8] ?4????4,?a??8。 3x??3．设x、y?R且xy?(x?y)?1，则 （ ） A．x?y?2(2?1) B．xy?2?1
