2014-2015学年高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B= ．
2．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a= ．
3．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）= ． 4．函数y=
5．函数y=x+
6．将函数f（x）=2sin（2x+
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点
对称，则φ的最小正值为 ．
，x∈[2，5]的值域为 ．
的定义域是 ．
横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x=
7．若函数f（x）=
的图象关于原点对称，则a= ．
8．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x﹣4x，那么，不等式f（x+2）
＜5的解集是 ．
9．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是 ．
10．若方程2=9﹣x 在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的实数k值的和为 ．
11．已知函数f（x）=
12．已知函数f（x）=
（a为常数）的图象在点A（1，0）处的切线与该，若f（a）=，则f（﹣a）= ．
|x|
2
2
函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是 ．
1
13．对于定义域内的任意实数x，函数f（x）=实数a的取值范围是 ．
的值恒为正数，则
14．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（﹣x）+f（x）=x，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围 ．
二.解答题：本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知四边形ABCD是矩形，AB=，BC=，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示． （1）求证：AB1⊥平面B1CD；
（2）求三棱锥B1﹣ABC的体积VB1﹣ABC．
2
16．已知函数（1）设
（2）在△ABC中，AB=1，
17．已知函数
在x=1处取得极值2． ，且
．
，求θ的值；
，且△ABC的面积为
，求sinA+sinB的值．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？ （3）若P（x0，y0）为
图象上任意一点，直线l与
的图象切
于点P，求直线l的斜率k的取值范围．
18．某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=
，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，
若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
（1）试确定k、b的值；
2
（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2．p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
19．设函数f（x）=x﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．
（1）对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x） 成立，求x的取值范围；
（2）当a＞0 时对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]恒有f（x1）＞﹣ag（x2），求实数a的取值范围； （3）若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围．
20．设a是实数，函数f（x）=ax+（a+1）x﹣2lnx． （1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=2时，过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（3）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若
＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“巧点”．当a=
2
2
﹣x
﹣时，试问函数y=f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．
二.数学加试试卷解答题（共1小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（矩阵与变换选做题） 21．设矩阵A=
，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=
，求ad﹣bc的值．
，属于特征
值λ2=4的一个特征向量为α2=
（坐标系与参数方程选做题）
22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：
四.解答题
23．对于三次函数f（x）=ax+bx+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x） 的导数，若f″（x）=0 有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f
32
（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x﹣3x+2x﹣2，请解答下列问题： （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标； （2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．
24．已知函数f（x）=[ax+（a﹣1）x+a﹣（a﹣1）]e （其中a∈R）．若x=0为f（x）的极值点．解不等式f（x）＞（x﹣1）（x+x+1）．
3
2
2
2
2
x
3
2
（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求线段AB的最小值．
4
2014-2015学年高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B= {1} ．
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 求出B中不等式解集的自然数解确定出B，找出A与B的交集即可． 解答： 解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4，x∈N}={1，2，3}， ∴A∩B={1}． 故答案为：{1}
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a= ﹣6 ．
考点： 带绝对值的函数；函数单调性的性质． 专题： 计算题．
分析： 根据函数f（x）=|2x+a|关于直线方程，即可求得a的值．
解答： 解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线∴
对称，单调递增区间是[3，+∞）， 对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立
∴a=﹣6
故答案为：﹣6
点评： 本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．
3．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）= ﹣2 ．
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用奇函数的性质即可得出f（﹣4）=﹣f（4），再利用对数的运算法则即可得出． 解答： 解：∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x， ∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣log24=﹣2． 故答案为﹣2．
点评： 熟练掌握奇函数的性质、对数的运算法则是解题的关键． 4．函数y=
的定义域是 （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） ．
5
考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数成立的条件，即可得到结论． 解答： 解：要使函数f（x）有意义，则即
2
﹣8≥0，
≥8，
则x﹣2x≥3，
2
即x﹣2x﹣3≥0， 解得x≥3或x≤﹣1，
即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
5．函数y=x+
，x∈[2，5]的值域为 [3，7] ．
考点： 函数的值域．
专题： 函数的性质及应用． 分析： 设t=解答： 解：设t=
2
，运用换元法转化为二次函数求解．
，函数y=x+
，x∈[2，5]
y=t+t+1，t∈[1，2] 可判断为递增函数， t=1，时，y=3． t=2时，y=7．
故答案为：[3，7]．
点评： 本题考查了二次函数闭区间上的值域求解问题．
6．将函数f（x）=2sin（2x+
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点
对称，则φ的最小正值为
．
横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x=
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式f（x）=2sin（4x﹣2φ+据三角函数的性质，当x=
），再根
时函数取得最值，列出关于φ的不等式，讨论求解即可．
6
解答： 解：将函数f（x）=2sin（2x+=2sin[2（x﹣φ）+
）的图象向右平移φ个单位所得图象的解析式f（x）），再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍）
时函数取得最值，所以4×
﹣2φ+
=k
]=2sin（2x﹣2φ+
所得图象的解析式f（x）=2sin（4x﹣2φ+因为所得图象关于直线x=π+
，k∈Z
+
，k∈Z
π． 对称，所以当x=
整理得出φ=﹣
当k=0时，φ取得最小正值为故答案为：
．
点评： 本题考查三角函数图象的变换规律，三角函数的图象与性质．在三角函数图象的平
移变换中注意是对单个的x或y来运作的，如本题中，向右平移φ个单位后相位应变为2（x﹣φ）+
7．若函数f（x）=
的图象关于原点对称，则a= ﹣\\frac{1}{2} ．
，而非2x﹣φ+
．
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据奇函数的图象的性质，可以函数f（x）图象关于原点对称，即f（x）为奇函数． 解答： 解：∵函数f（x）=∴函数f（x）为奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴
=﹣
，
的图象关于原点对称，
∴（﹣2x+1）（﹣x+a）=（2x+1）（x+a） 解得，a=﹣， 故答案为：
点评： 本题主要考查了奇函数的图象和性质，属于基础题．
8．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是 （﹣7，3） ．
考点： 函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．
7
2
专题： 压轴题；不等式的解法及应用．
分析： 由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可． 解答： 解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2）， 则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，
即|x+2|﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0， 所以|x+2|＜5， 解得﹣7＜x＜3，
所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）． 故答案为：（﹣7，3）．
点评： 本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．
9．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是 （0，
）∪（5，+∞） ．
2
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数是偶函数，把不等式转化成f（1）＜f（|lg（2x）|），就可以利用函数在区间[0，+∞）上单调递增转化成一般的不等式进行求解． 解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（1）＜f（lg（2x））=f（|lg（2x）|） ∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴|lg（2x）|＞1，即lg（2x）＞1或lg（2x）＜﹣1 解得：x＞5或0＜x＜
）∪（5，+∞）．
所以满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是（0，故答案为：（0，
）∪（5，+∞）．
点评： 本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，解题的关键是利用函数的奇
偶性把自变量转化到同一个单调区间上，还要注意函数的定义域．
10．若方程2=9﹣x 在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的实数k值的和为 ﹣1 ．
考点： 根的存在性及根的个数判断．
专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析： 将方程的根化为f（x）=2与g（x）=9﹣x在区间（k，k+1）（k∈Z）上有交点，作出图象，由图可得k的值．
解答： 解：方程2=9﹣x 在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解可化为：
|x|2
f（x）=2与g（x）=9﹣x在区间（k，k+1）（k∈Z）上有交点， 作两个函数的简图如下：
8
|x|
2
|x|
2
|x|
2
则它们的交点在区间（﹣3，﹣2），（2，3）之间， 故k=﹣3，2； 故答案为：﹣1．
点评： 本题考查了方程的解与函数的零点之间的关系，属于基础题．
11．已知函数f（x）=
，若f（a）=，则f（﹣a）=
．
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数的奇偶性，即可得到结论． 解答： 解：f（x）=
=1+
，
则f（x）﹣1=是奇函数，
∴f（﹣a）﹣1=﹣[f（a）﹣1]， 即f（﹣a）=﹣f（a）+2=故答案为：
，
9
点评： 本题主要考查函数值的计算，根据条件构造奇函数是解决本题的关键．
12．已知函数f（x）=
（a为常数）的图象在点A（1，0）处的切线与该
函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是 （﹣3，） ．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．
分析： 利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用数形结合，即可求得a的取值范围． 解答： 解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（1）=1， 则在A（1，0）处的切线方程为y﹣0=（x﹣1），即y=x﹣1． 当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有2个交点， ∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，
则当x＜1时，函数f（x）=x+2x+a=x﹣1，有2个交点，
2
即x+x=﹣a﹣1在x＜1时，有2个不同的根，
2
设g（x）=x+x， 则g（x）=（x+）﹣， ∵x＜1， ∴当x=
时，g（x）=﹣，
2
2
当x=1时，g（x）=2，
要使x+x=﹣a﹣1在x＜1时，有2个不同的根， 则满足﹣＜﹣a﹣1＜2， 即﹣3＜a＜
，
），
2
∴实数a的取值范围是（﹣3，故答案为：（﹣3，
）
10
点评： 本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的性质是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．
13．对于定义域内的任意实数x，函数f（x）=
的值恒为正数，则
实数a的取值范围是 ﹣7＜a≤0或a=2 ．
考点： 函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．
解答： 解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程， 则
，解得a=2．
此时函数的值为f（x）=＞0．
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正， 则需要分子分母的判别式均小于0， 即
解得﹣7＜a＜0．
∴a的范围是﹣7＜a＜0． 当a=0时，函数化为f（x）=
，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判，
别式小于0，
分子恒大于0，函数值恒正． 综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是﹣7＜a≤0或a=2． 故答案为：﹣7＜a≤0或a=2．
11
点评： 本题考查恒成立问题，考查了利用函数值的范围求解参数的取值范围，解答此题的关键是由函数值恒为正得到分子分母的取值情况，属中档题．
14．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（﹣x）+f（x）=x，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围 （﹣∞，1] ．
考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： 令g（x）=f（x）﹣x，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得 2﹣a≥a，由此解得a的范围． 解答： 解：令g（x）=f（x）﹣x，
∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x+f（x）﹣x=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数， 由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数． f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣
≥f（a）﹣
，即g（2﹣a）
2
2
2
2
2
≥g（a），
∴2﹣a≥a，解得a≤1， 故答案为：（﹣∞，1]．
点评： 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
二.解答题：本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知四边形ABCD是矩形，AB=，BC=，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示． （1）求证：AB1⊥平面B1CD；
（2）求三棱锥B1﹣ABC的体积VB1﹣ABC．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
12
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： （1）利用线面垂直的判定，AB1⊥CD，又AB1⊥B1C，且B1C∩CD=C∴AB1⊥平面B1CD；（2）AB1⊥平面B1CD，AB1即棱锥的高，后算出底面ABC的面积，代人棱锥体积公式计算． 解答： 解：（1）B1O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴B1O⊥CD，又CD⊥AD，AD∩B1O=O ∴CD⊥平面AB1D，又AB1?平面AB1D ∴AB1⊥CD，又AB1⊥B1C，且B1C∩CD=C ∴AB1⊥平面B1CD； …（6分）
（2）由于AB1⊥平面B1CD，B1D?平面ABCD，∴AB1⊥B1D， 在Rt△AB1D中，B1D=又由B1O?AD=AB1?B1D 得∴VB1﹣ABC=S△ABC?B1O=
…12分 =2，
，
点评： 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（2）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．
16．已知函数（1）设
（2）在△ABC中，AB=1，
，且
．
，求θ的值；
，且△ABC的面积为
，求sinA+sinB的值．
考点： 余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理． 专题： 计算题．
分析： （1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+由
（2）由（1）知
可得，cos（θ+由已知面积
）=，结合已知可得，
2
2
）+，
可求θ的值；
从而有
由余弦定理得
可
可得a+b=再由正弦定理得
求．
13
解答： 解：（1）
=
分） 由于是分）
（2）因为C∈（0，π），由（1）知因为△ABC的面积为
，所以
．（9分）
，于是
．①
得
（k∈Z） 因为
（5分） 所以
（7
=
．（3
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b． 由余弦定理得由①②可得由正弦定理得所以
或
于是
， ．（14分）
的
可以把函
，所以a+b=7．② ．（12分）
2
2
点评： （1）考查了二倍角公式的变形形式应用，辅助角公式
数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性
（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．
17．已知函数
在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？ （3）若P（x0，y0）为
图象上任意一点，直线l与
的图象切
于点P，求直线l的斜率k的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；直线的斜率． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）由函数
在x=1处取得极值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a
和b确定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可；
14
（3）找出直线l的斜率k=f′（x0），利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围．
解答： 解：（1）因
，
而函数在x=1处取得极值2，
所以所以
?；
?
（2）由（1）知
如图，f（x）的单调增区间是[﹣1，1]，
，
所以，?﹣1＜m≤0，
所以当m∈（﹣1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．
（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：
=
令，则t∈（0，1]，此时，
根据二次函数当
时，kmin=
的图象性质知：
，当t=1时，kmax=4
．
所以，直线l的斜率k的取值范围是
点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及直线斜率的求法．
18．某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=
，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，
15
若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
（1）试确定k、b的值；
（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2．p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题；综合题． 分析： （1）根据“关系式：p=2
（1﹣kt）（x﹣b）2
﹣x
，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1
万件；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到从而求得结果． （2）当p=q时，可得2
（1﹣t）（x﹣5）2
=2，可求得t=1+
﹣x
=1+，由双勾函
数f（x）=x+在（0，4]上单调递减，可知当x=4时，f（x）有最小值．
解答： 解：（1）由已知可得：，
∴
解得：b=5，k=1 （2）当p=q时，2
（1﹣t）（x﹣5）2
，
=2
=1+
，
﹣x
∴（1﹣t）（x﹣5）=﹣x?t=1+
2
而f（x）=x+此时t=1+
在（0，4]上单调递减，∴当x=4时，f（x）有最小值
取得最大值5；
，
故当x=4时，关税税率的最大值为500%
点评： 本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法．
19．设函数f（x）=x﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．
（1）对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x） 成立，求x的取值范围；
（2）当a＞0 时对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]恒有f（x1）＞﹣ag（x2），求实数a的取值范围； （3）若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围．
考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
16
2
分析： （1）由题意可得，（﹣2x+3）a+x+3＞0 对于任意a∈[﹣2，2]恒成立．设h（a）=（﹣2x+3）a+x+3，则有
2
2
，解不等式组可得x的范围．
（2）由题意可知在区间[﹣3，﹣1]上，[f（x）]min＞[﹣ag（x）]max．利用二次函数的单调性求得f（x）min和[﹣ag（x）]max 的值，解不等式求得a的范围．
（3）分a=0、a＜0、a＞0三种情况，分别由条件求得a的范围，再取并集，即得所求． 解答： 解：（1）因为对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x） 成立，都有x﹣ax+a+3＞ax﹣2a，
即（﹣2x+3）a+x+3＞0 对于任意a∈[﹣2，2]恒成立． 设h（a）=（﹣2x+3）a+x+3，则有
2
2
2
，解不等式组可得，
或．
（2）由题意可知在区间[﹣3，﹣1]上，[f（x）]min＞[﹣ag（x）]max． 因为f（x）=x﹣ax+a+3 的图象的对称轴上单调递减，可得f（x）min=f（﹣1）=2a+4．
因为﹣ag（x）=﹣ax+2a 在[﹣3，﹣1]上单调递减，可得2a+4＞5a，可得
2
2
2
2
，所以f（x）=x﹣ax+a+3 在[﹣3，﹣1]
2
，所以
．
（3）若a=0，则g（x）=0，不合题意，舍去．
若a＜0，由g（x）＜0 可得x＞2．原题可转化为在区间（2，+∞） 上存在x0，使得f（x0）＜0．
因为f（x）=x﹣ax+a+3 在为a＜0，不合题意．
若a＞0，由g（x）＜0 可得x＜2，原题可转化为在区间（﹣∞，2）上若存在x0，使得f（x0）＜0． 当
时，即a＞4 时，f（2）=7﹣a＜0，可得a＞7；当
，可得a＞6 或a＜﹣2．
综上可知a＞7．
点评： 本题主要考查二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属中档题．
20．设a是实数，函数f（x）=ax+（a+1）x﹣2lnx． （1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=2时，过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（3）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若
＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“巧点”．当a=
2
2
上单调递增，所以f（2）＜0，可得a＞7，又因
时，即0＜a＜4 时，
17
﹣时，试问函数y=f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （1）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间； （2）设切点，可得切线的斜率k=4m+3﹣，利用直线OM的斜率为
方程，即可求切点的横坐标；
（3）分类讨论，根据“巧点”的定义结合函数的单调性，即可得出结论． 解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=
（x＞0），…（1分）
由f′（x）＞0得：x＞；由f′（x）＜0得：0＜x＜． （2分）
所以，f（x）的单调增区间为（
，+∞），单调减区间为（0，）．（3分）
（2）当a=2时，设切点为M （m，n）．
f′（x）=4x+3﹣（ x＞0），所以，切线的斜率k=4m+3﹣．
又直线OM的斜率为，…（5分）
所以，4m+3﹣=
，即m2
+lnm﹣1=0，
又函数y=m2
+lnm﹣1在（0，+∞）上递增，且m=1是一根，所以是唯一根，
所以，切点横坐标为1． （3）a=﹣时，由函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：y=（﹣x0+﹣）（x﹣x2
0）﹣x0+x0﹣2ln x0． 分）
令h（x）=（﹣x2
0+﹣
）（x﹣x0）﹣x0+x0﹣2ln x0，
设F（x）=f（x）﹣h（x），则F（x0）=0．
且F′（x）=f′（x）﹣h′（x）=﹣x+﹣﹣（﹣x0+﹣
）
18
，建立
…
…
…（7分） …（8
=﹣（x﹣x0）﹣（﹣分）
当0＜x0＜2时，
）=﹣（x﹣x0） （x﹣） …（10
＞x0，F（x）在（x0，）上单调递增，从而有F（x）＞F（x0）=0，
所以，＞0；
当x0＞2时，＜x0，F（x）在（，x0）上单调递增，从而有F（x）＜F（x0）=0，所以，
＞0．
因此，y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“巧点”． …（13分）
当x0=2时，F′（x）=﹣
所以，x＞2时，F（x）＜F（2）=0，
≤0，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减．
＜0；0＜x＜2时，F（x）＞F（2）=0，
＜0．
因此，点（2，f（2））为“巧点”，其横坐标为2． …（16分）
点评： 正确理解导数的几何意义、“巧点”的意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
二.数学加试试卷解答题（共1小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（矩阵与变换选做题） 21．设矩阵A=
，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=
，求ad﹣bc的值．
，属于特征
值λ2=4的一个特征向量为α2=
考点： 特征值、特征向量的应用． 专题： 矩阵和变换．
分析： 根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad﹣bc的值． 解答： 解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1， 即
=
，
可得…①；
19
同理可得即
…②；
，
由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1， 因此ad﹣bc=2﹣6=﹣4， 即ad﹣bc的值为﹣4．
点评： 本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．
（坐标系与参数方程选做题）
22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：
（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求线段AB的最小值．
考点： 圆的参数方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 由条件把极坐标方程化为直角坐标方程，求出两个圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，可得AB的最小值
解答： 解：将曲线C1的参数θ消去可得（x﹣3）+（y﹣4）=1．
22
将曲线C2：ρ=1化为直角坐标方程为x+y=1．
曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以（0，0）为圆心，1为半径的圆， 求得两圆圆心距为=5，可得AB的最小值为5﹣1﹣1=3．
点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆和圆的位置关系，属于基础题．
四.解答题
23．对于三次函数f（x）=ax+bx+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x） 的导数，若f″（x）=0 有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f
32
（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x﹣3x+2x﹣2，请解答下列问题： （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标； （2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）根据“拐点”的定义求出f''（x）=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”A的坐标．
（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明． 解答： 解：（1）∵f'（x）=3x﹣6x+2， ∴f''（x）=6x﹣6， 令f''（x）=6x﹣6=0， 得x=1，f（1）=﹣2
所以“拐点”A的坐标为（1，﹣2）
（2）设P（x0，y0）是y=f（x）图象上任意一点，则
20
23
2
2
2
∴P（x0，y0）关于（1，﹣2）的对称点P'（2﹣x0，﹣4﹣y0）， 把P'（2﹣x0，﹣4﹣y0）代入y=f（x），得左边=右边=
∴左边=右边，
∴P'（2﹣x0，﹣4﹣y0）在y=f（x）图象上， ∴f（x）的图象关于“拐点”A对称．
点评： 本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．
24．已知函数f（x）=[ax+（a﹣1）x+a﹣（a﹣1）]e （其中a∈R）．若x=0为f（x）的极值点．解不等式f（x）＞（x﹣1）（x+x+1）．
考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用．
分析： 由于x=0为f（x）的极值点，可得f′（0）=0，得到a=0．当a=0时，f（x）＞（x﹣1）（x+x+1）?（x﹣1）?e＞
＞0．令g（x）=e﹣
即可得出．
解答： 解：∵函数f（x）=[ax+（a﹣1）x+a﹣（a﹣1）]e，
22x
∴f′（x）=[ax+（a+1）x+a]e， ∵x=0为f（x）的极值点，
∴f′（0）=ae=0，解得a=0．
x
检验，当a=0时，f′（x）=xe，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0． ∴x=0为f（x）的极值点，故a=0．
当a=0时，f（x）＞（x﹣1）（x+x+1）?（x﹣1）?e＞整理得（x﹣1）
＞0，
2
x
0
2
2
2
x
x
2
x
2
2
2
2
x
，整理得（x﹣1）
，利用导数研究其单调性极值
，
即
x
或
x
x
令g（x）=e﹣
x
，h（x）=g′（x）=e﹣（x+1），h′（x）=e﹣1，
当x＞0时h′（x）=e﹣1＞0；当x＜0时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0． 即g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，g（0）=0． 故
＞0?x＞0；
＜0?x＜0．
∴原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．
21
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了利用单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22
23
