暑假衔接班No.5 课题：函数及其表示——定义域、值域 适用范围： 高一数学 学生姓名： 学习目标： 1.了解函数的新定义，区间的定义；（重点） 2.求函数的定义域、值域。（难点） 教学设计 学生表现： 一、知识详解 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（映射）.记作：y=f(x)，xA． 其中，x叫做自变量（原象），x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（象），函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域. 映射的形式：一对一，多对一 映射的“三性”：①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 知识点二、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；（强调∞不是一个数+∞表示数可以无限大，—∞表示数可以无限小） （3）区间的数轴表示．（强调闭区间的端点用实点表示，开区间的端点用空心点表示） 例：（1）满足不等式a?x?b，的实数的x集合叫做闭区间，表示为[a,b]; （2）满足不等式a?x?b，的实数的x集合叫做开区间，表示为(a,b)； 1
（3）满足不等式a?x?b，的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
知识点三、函数的定义域与值域 1.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 2.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的\最高点\和\最低点\，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些\分式\函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
二、典例透析
例1、试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合B的映射？
（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）集合A={x|x是师大附中的班级}，集合B={x|x是师大附中的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生;
（5）集合A={1,2,3,4}, B={3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f：x→2x+1
例2、下列对应关系f是否为从集合A到集合B的函数？
2
(1)A?R,B?{y|y?0},f:x?|x|;(2)A?R,B?R,f:x?x2;(3)A?Z,B?R,f:x?x;(4)A?Z,B?Z,f:x?x2?3. 例3、将下列集合用区间表示出来： (1){x|2x?1?0};(2){x|x??4,或?1?x?2} 例4、求下列函数的定义域。 （1）f(x)? （2）f(x)? 1 (1?2x)(x?1)x?4?x?2 1（3）f(x)?x?1? 2－x 例5、求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 3
y??x2?2x?3 （2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y? （3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数f(x)?2x?3? （4）分段函数分别求函数值域，y?x?3?x?5 2??2x?x(0?x?3)函数f(x)??2的值域是（ ） ??x?6x(?2?x?0)2x?1的值域 2x?2x?24x?13 A．R B．??9,??? C．??8,1? D．??9,1? 4
（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数y? 设函数y?3x?2的值域 4x?3111?x的定义域为M，值域为N，那么 （ ） (A)M?{xx?0},N?{yy?0} (B)M?{xx?0},N?{yy?R} (C)M?{xx?0且x??1,或x?0}，N?{yy?0或0?y?1或y?1} (D)M?{xx??1或?1?x?0或x?0}， N?{yy?0} 例6、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ (1)y1?(x?3)(x?5)y2?x?5 x?3，(2)y1?x?1x?1，y2?(x?1)(x?1) 2f(x)?2x?5 (3)f(x)?(2x?5)1 ， 2 三、智能迁移 1、在下列从集合A到集合B的对应关系中不可以确定y是x的函数的是( ) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应法则f：x→y＝； 3②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→y＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→y：x＋y＝25； ④A＝R，B＝R，对应法则f：x→y＝x； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应法则f：(x，y)→S＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应法则f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥
5
2222x
C．②③④ D．①②③⑤ 2、下列各对函数中，是相等函数的序号是________． ①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x ②f(x)＝2x＋120与g(x)＝|2x＋1| ③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2 3、下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t； (2)y＝x，y＝(x)； (3)y＝x＋1·x－1，y＝x－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x. 4、求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝1x＋1；(3)y＝x－1＋1－x；(4)y＝2. x＋1x－122222 5、试用区间表示下列实数集： (1){x|5≤x<6}； (2){x|x≥9}； (3){x|x≤－1}∩{x|－5≤x<2}； (4){x|x<－9}∪{x|9 (1)y?x2?4x?6,(2)y?5?4x?x2,x?[1,5)(3)y?2??x2?4x,(4)f(x)?x?1.x?1 四、课堂达标： 1、已知函数 A． 2、函数 A． 定义域是 B． ，则 C． 的定义域是( ) D． 的值域是( ) B． C． D． 3、函数的值域是_______________． 4、下列函数的值域 (1) 五、课后练兵 1 函数y=． 的定义域是( ) A．-1≤x≤1 B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1} 2．函数 的值域是( ) 7 A．(-∞，)∪(，+∞) B．(-∞，)∪(，+∞) C．R D．(-∞，)∪(，+∞) 3点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( ) A．( ，1) B．(1，3) C．(2，6) D．(-1，-3) 4．函数f(x)=3x-5在区间 上的值域是_________． 8
