2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考
数学试卷（理科）
一.选择题 1．已知集合M={x|
+
=1}，N={y|+=1}，M∩N=（ ）
A．? B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2}
2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（ ） A．
B．
C．
D．
3．下列叙述中，正确的个数是（ ）
①命题p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”； ②O是△ABC所在平面上一点，若?=?=?，则O是△ABC的垂心； ③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件； ④函数y=sin（2x+A．1
B．2
）sin（
D．4
）=（ ）
2x）的最小正周期是π．
C．3
4．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），则f（a+
A．A B．﹣A C．0 D．不确定 5．已知函数f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且f（﹣x）+f（x）=0，若tanα=2，则f（α）等于（ ） A．
B．
C．
D． ，且 D．
|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（ ）
6．若向量，的夹角为A．
B．
C．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
8．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（21.6），则a，b，c的大小关系是（ ） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
9．在△ABC中， ?=7，|﹣|=6，则△ABC面积的最大值为（ ） A．24 B．16 C．12 D．8 10．定义在（0，A．f（＜f（
）＞）
）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）?tanx成立，则（ ） f（
） B．f（
）
f（
）
C．
f（
）＞f（
）
D．
f（
）
11．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（e）=（ ）
A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2
12．已知lna﹣ln3=lnc，bd=﹣3，则（a﹣b）2+（d﹣c）2的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．己知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1﹣1，则an= ． 14．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则?= ．
15．在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则
取最小值时，向量=（m，n）的模为 ．
16．在△ABC中，2sin2=
sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正
半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．
19．在△ABC中，2cos2（1）求cosA的值； （2）若a=4，b=5，求
cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．
在方向上的投影．
20．已知函数
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）将y=f（x）的图象向左平移
个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a．
得到y=g（x）的图象；若函数y=g（x）在区间的取值范围．
21．已知函数f（x）=alnx+
+1．
（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．
22．已知函数f（x）=lnx﹣
，曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？
2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题 1．已知集合M={x|
+
=1}，N={y|+=1}，M∩N=（ ）
A．? B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2} 【考点】交集及其运算．
【分析】根据描述法表示集合，判断集合M与集合N的元素，再进行交集运算即可． 【解答】解：对集合M，∵x2=9﹣
≤9，∴M=[﹣3，3]，
对集合N，y=2﹣∈R，∴N=R．
∴M∩N=[﹣3，3]． 故选C
2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】复数的基本概念．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与实部与虚部的定义即可得出．
【解答】解：（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=﹣i， =+i，
则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积=
=．
故选：A．
3．下列叙述中，正确的个数是（ ） ①命题p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”； ②O是△ABC所在平面上一点，若?=?=?，则O是△ABC的垂心； ③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件； ④函数y=sin（2x+
）sin（
2x）的最小正周期是π．
A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】求出命题p的否定形式可判断①，由已知条件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三条高线的交点可判断②，由二倍角公式和正弦定理可判断③，直接求出函数y=sin（2x+
）sin（
2x）的最小正
周期可判断④．
【解答】解：对于①，命题p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2＜0”，故①错误； 对于②，由
?
=
?
，得到
，又
，得
，可得OB⊥AC，因此，
点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，即点O是△ABC三条高线的交点，因此，点O是△ABC的垂心，故②正确；
对于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B?sin2A＜sin2B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B， ∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故③正确； 对于④，y=sin（2x+∴正确的个数是：2． 故选：B．
4．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），则f（a+A．A B．﹣A C．0 D．不确定 【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意求出函数的对称轴，函数的周期，利用正弦函数的基本性质即可求出f（a+【解答】解：函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x）， ∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值， ∴2a+φ=kπ+∴f（a+
，k∈Z，
+φ）=Acos（2a+φ）=Acos（kπ+
）=0．
）的值．
）=（ ）
）sin（
2x）=
，∴T=
=
，故④错误．
）=Asin（2a+
故选：C．
5．已知函数f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且f（﹣x）+f（x）=0，若tanα=2，则f（α）等于（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性． 【分析】依题意，可求得θ=从而可得答案． 【解答】解：由
=π得：ω=2，
，f（x）=cos（2x+
）=﹣sin2x．tanα=2?f（α）=﹣sin2α=
，
又f（﹣x）+f（x）=0，
∴f（x）=cos（2x+θ）为奇函数，
∴θ=kπ+∴θ=
，
，而0＜θ＜π，
∴f（x）=cos（2x+∵tanα=2， ∴f（α）=﹣sin2α=故选：B．
）=﹣sin2x，
==，
6．若向量，的夹角为A．
B．
C．
，且 D．
|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（ ）
【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】先计算
，|
|，再利用夹角公式cosα=的夹角等于α ，
， =6，|
|=
=
，可得结论．
【解答】解：设向量与向量∵向量，的夹角为∴=
=
=
=
，且
=4+2×2×1×cos
∴cosα=∵α∈[0，π] ∴α=
故选D．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=（ ） A．8 B．12 C．16 D．24
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则
，解得：a1=0，d=2，
所以a9=a1+8d=0+8×2=16．
故选C．
8．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（21.6），则a，b，c的大小关系是（ ） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键． 【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， ∴b=f（log
3）=b=f（﹣log23）=f（log23），
∵log23=log49＞log47，21.6＞2，
∴log47＜log49＜21.6，
∵在（﹣∞，0]上是增函数， ∴在[0，+∞）上为减函数，
则f（log47）＞f（log49）＞f（21.6）， 即c＜b＜a， 故选：B
9．在△ABC中， ?=7，|﹣|=6，则△ABC面积的最大值为（ ） A．24 B．16 C．12 D．8 【考点】平面向量的综合题．
【分析】设A、B、C所对边分别为a，b，c，由?=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=36②，联立①②可得b2+c2=50，由不等式可得bc≤25，即可求出△ABC面积的最大值．
【解答】解：设A、B、C所对边分别为a，b，c， 由?=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①， S△ABC=bcsinA=bc
=bc
=
，
由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=36②，
由①②消掉cosA得b2+c2=50，所以b2+c2≥2bc， 所以bc≤25，当且仅当b=c=5时取等号， 所以S△ABC=
≤12，
故△ABC的面积的最大值为12， 故选：C．
10．定义在（0，A．f（＜f（
）＞）
）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）?tanx成立，则（ ） f（
） B．f（
）
f（
）
C．
f（
）＞f（
）
D．
f（
）
