t?54.5?51.2?3?1.8595
3.29/3故拒绝H0，即可以判定调整措施的效果是显著的。
4. 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80 ? (?=0.05，熔化时间为正态变量)
解 要检验的假设为
H0：?2?80；H1：?2?80. 单侧?2检验，检验统计量为
(n?1S)2 ??
802查自由度为n-1 = 9的?2分布表，得临界值 拒绝域为
2 W?{?2???(n?1)}
2??(n?1)??0.05(9)?16.919
又检验统计量的样本观测值为 ??2(10?1)?121.8?13.7?16.919
80故接受H0，即可以认为这批保险丝的熔化时间的方差小于等于80.
*5. 假设A厂生产的灯泡的使用寿命（单位：小时）X~N(?1,952)， B厂生产的灯泡的使用寿命Y~N(?2,1202).在两厂生产的产品中各抽取了100只和75只样本，测得灯泡的平均使用寿命分别为1180小时和1220小时.问在显著水平??0.05下，这两个工厂生产的灯泡的平均使用寿命有无显著差异？
解 要检验的假设为
H0:?1??2,H1:?1??2
双侧U检验，检验统计量为
46
U?X?Y?21m拒绝域为
??22
n W?{|U|?u?}
2查表得临界值
u??u0.025?1.96
22这里?1?952,2?2?1202,m?100, n?75，且x?5,y?7,则可得统计量的观测值
|u|?|1180?122095120?1007522|?2.38?1.96
拒绝H0，即认为这两个工厂生产的灯泡的平均使用寿命有显著差异
*6．假设在校大学生每周进行课外体育活动的时间（单位：小时）近似地服从正态分布．某高校学生会对此作了一次抽样调查，结果是：21名男生的平均活动时间?x?= 3.4 、标准差s1 = 2.3 ，18名女生的平均活动时间?y?= 2.3 、标准差s2 = 1.9 ．问：该校男女生的课外体育活动时间是否有显著差异（显著性水平????= 0.2）？
解 (1) 因为两个总体方差均未知，故先检验假设
2 H0:?12??2,2 H1:?12??2双侧F检验，检验统计量为
S12 F?2
S2拒绝域为
W1?{F?f查F分布表，得临界值
1??2(m?1,n?1)或F?f?(m?1,n?1)}
2f1??(m?1,n?1)= f0.9(20,17)?21?0.55， 1.81f?(m?1,n?1)= f0.1(20,17)?1.86
2又F的观测值
47
2.32?1.47 f?1.92因为
0.55?f?1.86
故接受H0，即可认为男女学生课外体育活动时间方差相同.
(2) 再检验假设
H0:?1??2,H1:?1??2
2因为有?12??2，故用双正态总体的双侧T检验法，检验统计量为
T?X?Y 11SW?mn2(m?1)S12?(n?1)S2其中SW?.
m?n?2拒绝域为
W2?{T?t?(m?n?2)}
2查t分布表，得临界值
t?(m?n?2)?t0.1(21?18?2)?t0.1(37)?1.305
2又根据题目已知数据可算得x?3.4,y?2.3,Sw?2.13，从而T的观测值为 t?3.4?2.3?1.61?1.305
112.13??2118所以拒绝H0，即应认定男女生的课外体育活动时间有显著差异.
习题8.1
1. 设有某城市的1978到1989年的人均收入的数据如下：
x 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 Y 3.45
48
1988 1989 4.15 5.01 5.14 5.61 5.91 6.94 9.08 10.68 11.82 14.37 15.97 其中x为年份，Y是人均收入（单位：百元）， 求Y对x的经验回归方程．
解 求回归方程的计算量比较大，为简化计算，可以将原始数据做适当处理，这里我们采用xi??xi?x, yi??yi?y的形式进行计算。把计算的有关结果列入表格：
序号 xi yi xi? yi? xi?2 yi?2 xi?yi? 1 1978 3.65 -5.5 -4.54 30.25 20.61 24.37 2 1979 4.15 -4.5 -4.04 20.25 16.32 18.18 3 1980 5.01 -3.5 -3.18 12.25 10.11 11.13 4 1981 5.14 -2.5 -3.05 6.25 9.30 7.625 5 1982 5.61 -1.5 -2.58 2.25 6.66 3.87 6 1983 5.91 -0.5 -2.28 0.25 5.20 1.14 7 1984 6.94 0.5 -1.25 0.25 1.56 -0.625 8 1985 9.08 1.5 0.89 2.25 0.79 1.395 9 1986 10.68 2.5 2.49 6.25 6.20 6.225 10 1987 11.82 3.5 3.63 12.25 13.18 12.705 11 1988 14.37 4.5 6.18 20.25 38.19 27.81 12 1989 15.97 5.5 7.78 30.25 60.53 42.79 ∑ 23803 98.33 143 188.65 157.145
n?12,x?1983.5, y?8.194
b?lxylx?y?57.14l?xxl?1x?x?143?51.09 9 a?y?bx?8.194?1.09?9198?3.?5 2171.67所求回归方程为
y??2171.67?1.099x
2. 设某商品的5次调价中，市场需求调查数据如下：
价格p 8.5 8.2 8 7.5 7.3 需求量Q 5832 7394 8160 10485 11590 求需求量Q对价格p的经验回归方程. 解 把计算的有关结果列入表格：
49
序号 Qi pi Qi 3.4?1072pi2 piQi 1 2 3 4 5 5832 7394 8160 10485 11590 8.5 8.2 8 7.5 7.3 5.47?1076.66?107 1.1?1081.34?108 72.25 67.24 64 56.25 53.29 49572 60631 65280 78637.5 84607 ∑ 43461 39.5 — 313.03 338727.5 n?5,Q?8692.2, p?7.9
所求回归方程为
p?9.74?0.000212Q
习题8.2
1．有人认为，企业的利润水平与它的研究费用存在着近似的线性关系，?下面的资料能否证实这种判断（???= 0.05）？
x Y 10 100 10 150 8 200 8 180 8 250 12 300 12 280 12 310 11 320 11 300 解 由题目表中的数据可计算得
x?10.2,y?239,?xi2?1066,?yi2?624300,?xiyi?25040
且
Lxx??xi2?nx?1066?10?10.22?25.6
2Lxy??xiyi?nxy?25040?10?10.2?239?662
Lyy??yi2?ny?624300?10?2392?53090
从而
b?2LxyLxx?662?25.86 25.6 50
习题解答
习题5.1
1．设样本值如下：
15， 20， 32， 26， 37， 18， 19， 43
计算样本均值、样本方差、2阶样本矩及2阶样本中心矩．
解 由样本均值的计算公式，有
181x??xi???15?20?32?26?37?18?19?43??26.25
8i?18由样本方差的计算公式，有
182s??xi?x8?1i?1??2?102.21
由2阶样本矩的计算公式，有
182a2??xi?778.5
8i?1由2阶样本中心矩的计算公式，有
18b2??xi?x8i?1??2?89.44
)(X1,X2,2. 设总体X~N(12,4，,X5)是来自总体X的样本，求概率
P{max(X1,X2,X3,X4,X5)?12}.
解 P{maxX(1X,2X,3X,4X,5?) 12}1315?1???(0)? ?1?()5?
2323. 设总体X ～ P（?），X?是容量为n的样本的均值，求?E(X)?和?D(X). 解 因总体X ～ P（?），故有E(X)??,D(X)??，于是
E(X)?E(X)??
D(X)?D(X)?? nn4. 某保险公司记录的n?6起火灾事故的损失数据如下（单位：万元）：1.86, 0.75, 3.21，2.45， 1.98, 4.12. 求该样本的经验分布函数.
1
解 将样本观测值排序可得：
0.75?1.86?1.98?2.45?3.21?4.12 则经验分布函数为
?0, x?0.75?1?, 0.75?x?1.86?6?1?, 1.86?x?1.98?3?1 F6(x)??, 1.98?x?2.45
?2?2?3, 2.45?x?3.21??5, 3.21?x?4.12?6??1, x?4.125．求标准正态分布的上侧0.01分位数和上侧0.48分位数 .
解 由题知，X～ N(0,1)，求X的上侧?分位数. 即求u?使满足
P?X?u????
得
P?X?u???1??
即
??u???1??
取??0.01，查标准正态分布表得上侧0.01分位数为
u??u0.01?2.33
取??0.48，查标准正态分布表得上侧0.48分位数为
u??u0.48?0.05
习题5.2
1.设总体X~N(8,36)，(X1,X2,,X9)是取自总体X的样本，X是样本均值，求
P{|X?7|?2} ．
2
解 因X~N(8,36)，且样本容量n?9，故X~N(8, P{|X?7?|2?}P?{5X?36), 即 X~N(8,4)，于是 99?85?8?9?}(??)( )22??(0.5)??(?1.5)??(0.5)??(1.5)?1?0.6915?0.9332?1?0.6247
2.设?X~?2(9) ，求?使其满足P(X??)?0.95
?2(9)，所以查表可得
解 由P(X??)?0.95，得P(X??)?0.05，因为X~???20.05(9)?16.919
1(X1,X2,3. 设总体X~N(0,，
,X10)是取自总体X的样本，求
E(X12?X22??X2及10)D(X12?X22??X102).
,10)，且X1,X2,,X10相互独
解 由总体X~N(0,1)可知Xi~N(0,1) (i?1,2,立，于是
(X12?X22?故有
?X102)~?2(10)
E(X12?X22?D(X12?X22??X102)?10
?X102)?2?10?20
4. 设总体X ～ N（20 ，3），从中独立地抽取容量分别为10和15的两个样本，求它们的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．
解 设这两个样本分别为X1,X2,,X10和Y1,Y2,,Y15， 则对样本均值有
31103115X??Xi ～N(20,),Y??Yi～N(20,)
1510i?11015i?1依定理 X?Y～N(0,)，所以
12?0.3??X?Y?PX?Y?0.3?P???
0.5???0.5????0.3??X?Y??1?P???
0.50.5?????1?（?（
0.30.3）-?（-））
0.50.53
?1??2?（??0.3?）?1??0.6744 0.5?(查标准正态分布表可得)
5.设X ～ t(12) ，(1) 求?a?使得P(X?a)?0.05；（2）求?b?使得P(X?b)?0.99 解 （1）由P(X?a)?0.05利用t分布的对称性可得P(X??a)?0.05，查表可得
?a?t0.05(12)?1.7823 ? a??1.7823
（2）由P(X?b)?0.99得P(X?b)?0.01，又由t分布的对称性可得
P(X??b)?0.01
于是
?b?t0.01(12)?2.6810 ? b??2.6810
6.设X~F(8,12)，求????使得P(X??)?0.01.
解 由P(X??)?0.01 得 P(X??)?0.99，于是查表可得
??f0.99(8,12)?11??0.176
f0.01(12,8)5.67习题5.3
1．设总体X ～ N（? ，4），（X1 ，X2 ，? ，X16）为其样本，S?为样本方差，求： （1） P?S?6.666??； （2） P?2.279?S?4.865??． 解 因为
2
?2??2??n?1?S2～
?2所以本题中
?2?n?1?
15S22～??15? 4则 (1) PS?6.666?P??2??15215?S??6.666??P??2?15??24.9975?
4?4?2 ?1?P??15??24.9975?1?0.05?0.95
?? 4
(2) P2.279?S2?4.865?P???1515?15??2.279?S2??4.865?
44?4?2 ?P8.54625???15??18.24375
22 ?P??15??8.54625?P??15??18.24375
?????? ?0.90?0.25?0.65
2. 总体X~N(0,?2)，(X1,X2,和样本方差，求?，使P(,X25)是总体X的样本，X和S2分别是样本均值
5X??)?0.99. S解 根据抽样分布定理知
X?05X?~t(24) SS/25又由P(5X??)?0.99得 S5X??)?0.01 S P(故查表可得??t0.01(24)?2.4922
3．设总体X ～ N（30 ，64），为使样本均值大于28的概率不小于0.9 ，样本容量n至少应是多少？
解 因为X～N(30,64)， 所以样本均值X.～N(30,因此
64) nX?30～N?0,1?， 故
8n
P?X?28??1?P?X?28?
?X?3028?30????1?P???
8n???8n? ?1????查标准正态分布表可得，?1??1?n????n??0.9
?4??4?1n?1.29，解得 n?27，所以n至少应取27. 45
S12 F?2
S2拒绝域为
W?{F?f查F分布表，得临界值
1??2(m?1,n?1)或F?f?(m?1,n?1)}
2f1??(m?1,n?1)=f0.95(5,7)?21?0.20， 4.88f?(m?1,n?1)=f0.05(5,7)?3.97
2又F的观测值
f?0.31?0.18?0.20 1.69所以拒绝H0，应判定两机床的加工精度是有显著差异.
4．为了解各系学生素质教育的效果，学校抽测了甲、乙两系各20名学生．测试结果是：甲系平均分?x?= 75 、标准差s1 = 15 ，乙系平均分?y?= 79 、标准差s2 = 23 ．?试据此判断甲、乙两系学生素质教育效果有无显著差异（显著性水平????= 0.1）？
解 因为二总体方差均未知，故先检验假设 H0:?1??2,双侧T检验，检验统计量为 T?H1:?1??2
X?Y 11SW?mn2(m?1)S12?(n?1)S2其中SW?.
m?n?2拒绝域为
W?{T?t?(m?n?2)}
2查t分布表，得临界值 t??t0.05?1.6860
2又根据题目已知数据可计算得x?75,y?79,Sw?19.4165，从而T的观测值为
41
T?75?79?0.6515?1.6860
1119.4165?2020所以接受H0，即可以认为两系学生素质教育效果无差异显著.
综合练习七
一、填空题
1．假设检验可能犯两类错误：第一类错误是( 拒真错误 )，第二类错误是( 纳伪错误 )．
2．假设检验的显著性水平????是指检验犯( 第一类 )?错误的概率的上限． 3．设总体X ～ N（? ，4），（x1 ，x2 ，? ，xn）为其一组样本观测值，则检验问题
H0 ：???= 30 ，H1 ：???≠?30
的检验统计量为 ( U?域为 ( W?X?302n )；若检验的显著性水平????= 0.01 ，则此检验的拒绝
?u?2.57? )．
24．设总体X ～ N（? ，?），（x1 ，x2 ，? ，x9）为其一组样本观测值，则检验问题
H0 ：?22?≥?2
，H1 ：?2?＜?2
(n?1)S2的检验统计量为( ?? )；若检验的显著性水平????= 0.1 ，则此检验的拒
222绝域为 ( W???3.490 )；若据样本观测值已算得样本方差?s?= 1.4 ，则应
??( 接受 )H0 ．
二、选择题
1．在假设检验中H0 、H1 分别表示原假设与备择假设，通常所称的“犯第二类错误”是指 ( (c) ) ．
(a) H0 真而接受H1 ； (b) H1 不真而接受H1 ； (c) H1 真而接受H0 ； (d) H0 不真而接受H1 ． 2．设（X1 ，X2 ，? ，Xn）是来自正态分布N（? ，?）的样本，其中参数????和????
42
2未知，记
1X?=?
n?Xi?1ni ，
T?=??(Xi?X)2
2ni?1则对假设H0 ：???= 0作检验所使用的检验统计量为（ (d) ）． （a）
nX??； (b) Tn?1X??；
T(c)
n(n?1)XT2??； (d)
n(n?1)X??．
T3．假设检验中，当原假设H0 在显著性水平0.05下被接受时，若将显著性水平变更为0.01 ，则 ( （a） ) ．
(a) H0 必定仍被接受； (b) H0 必定被拒绝；
(c) H0 可能被接受亦可能被拒绝； (d) 无法判定H0 是否被接受． 4．设总体X ～ N（? ，?） （? 、??均未知），（X1 ，X2 ，? ，Xn）为其样本，则检验问题
H0 ：???≤?10 ，H1 ：???＞?10
的检验统计量是( (a) )．
(a)
22X?10Sn??； (b)
X??Sn??；
(c)
X?10?n??； ???(d)
X???n??．
5．设总体X ～ N（? ，?） （? 、??均未知），（X1 ，X2 ，? ，Xn）为其样本，则检验问题
H0 ：?的检验统计量为???=?
2222?≥?
222??，H1 ：??＜??0 ?0(n?1)S2?20??，若取显著性水平为0.1则检验的拒绝域为（ （b） ）
(a) (c)
????222??0?2??0.9(n)???； (b) ?.9(n?1)???； 22??0?2??0.1(n)???； ??(d) ?.1(n?1)???．
2
43
三、解答题
1.设某味精厂生产的味精在手工包装时的每袋重量X~N(15,0.05)。技术革新后，改用机器包装，现抽查8个样品测得重量（单位：克）为：14.7， 15.1，14.8，15，15.3， 14.9，15.2，14.6. 已知方差不变，问机器包装的味精每袋平均重量是否仍为15(显著水平
??0.05) ？
解 检验的假设为
H0:??15,此为双侧U检验, 检验统计量为
H1:??15
U? 查标准正态分布表, 得临界值
X?150.05/8
u??u0.025?1.96
2故拒绝域为
????W??u?u????u?1.96?
??2??又由题设可算得x?14.95,故U的样本观测值为 u?|14.9?515|?0.05/80.4?1. 9 6所以接受H0，即可以认为平均重量仍为15.
2.已知某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)X~N(?,200)，根据经验，原来灯泡的平均使用寿命不超过1500小时.现测试了25只采用新工艺生产的灯泡的使用寿命，得其平均值为1575小时.问新工艺是否提高了灯泡的使用寿命?（??0.05）
解 检验的假设为
H0:??1500,H1:??1500. 此为单侧U检验,检验统计量为
2U?X?1500200/25
44
查标准正态分布表, 得临界值
u??u0.05?1.645 故拒绝域为
W?{u?u 5}0.0}5?{u?1.64又由题已知x?1575, 故检验统计量U的样本观测值为 u?1575?1500200/25?1.875?1.645
所以拒绝H0，即可认为新工艺提高了灯泡的使用寿命。
3. 某超市为了增加销售额，对营销方式、管理人员等进行了一系列调整，调整后随机抽查了9天的日销售额（单位：万元），结果如下：
56.4，54.2，50.6，53.7，55.9，48.3，57.4，58.7，55.3
根据统计，调整前的日平均销售额为51.2万元. 假定日销售额服从正态分布，试问调整措施的效果是否显著（??0.05）.
解 此问题为为检验问题
H0:??51.2, H1:??51.2.
检验统计量为
T?查t分布表，得临界值
t?(8)?t0.05(8)?1.8595 故拒绝域为
W?{t?u95}0.0}5?{t?1.85
又计算可得
X?51.2S/9
x?54.5, s?3.29
于是可得T的样本观测值为
45
116解 (1) 计算得到 x?74.625，s??xi?x15i?1??2?12.5266
由1???0.95，查标准正态分布表可得
u??u0.025?1.96
2则?的0.95的置信区间为
(x?u??21?n,x?u??21?n)?(74.625?1.96?1515,74.625?1.96?) 1616即为(67.28,81.98)。
(2) 总体标准差未知，查t分布表可得
t?/2(15)?t0.025(15)?2.1314
所以?的0.95的置信区间为
(x?t?/2(15)?(74.625?2.1314?即为(67.96,81.3).
ss,x?t?/2(15)) nn12.526612.5266,74.625?2.1314?) 447．设总体X ～ N?(?0，?2)（其中??0 为已知数），（X1 ，X2 ，? ，Xn）为其样本，试导出未知参数???的置信度为1?－????的置信区间．
解 利用总体X的样本（X1 , X2 , …, Xn）, 构造枢轴量
2G?由定理知
?(Xi?1ni??0)22?
G~?2(n).
由题意
??P???2(n)?G???2(n)??1?? ?1?22?则
31
n??2(X??)?i0????22i?1P???(n)???(n)??1?? ?21??2?2?????即
n?n22?(X??)(X??)??0i0???i?1i?2i?1P??????1?? 22??(n)????(n)1?22????从而?的1??置信区间为
2
?n2(X??)?i0?i?1?,2???(n)?2??(X2???)i0?i?1? 2??(n)?1??2?n*8．某厂生产甲、乙两种型号的仪表．为比较其无故障运行时间（单位：小时）的长短，检验部门抽取了甲种仪表25只，测得其平均无故障运行时间为?x?= 2000 ，样本标准差s1 = 80 ；抽取了乙种仪表20只，测得其平均无故障运行时间为?y?= 1900 ，?样本标准差s2 = 100 ．?假设两种仪表的无故障运行时间均服从正态分布且相互独立，试求：
（1） 两总体均值之差??1－?2 的置信度为0.99的置信区间，?假设已知两种仪表的无故障运行时间的方差分别是3844和5625 ；
?12（2） 两总体方差之比?2 的置信度为0.90的置信区间．
?2解 (1) 经计算可得
x?y?2000?1900?100,?x2nx?2?yny?38445625??20.8569, 2520由1???0.99，得??0.01. 查标准正态分布表得
u??u0.005?2.57
2所以据16题两总体均值之差?1－?2置信区间为
32
22???12?2?12?2?,x?y?u???x?y?u??
?n1n2n1n2?22????100?2.57?20.869,100?2.57?20.8569?
即为(46.4,153.6).
(2) 由1???0.90，得??0.1. 查F分布表得
F??24,19??F0.05?24,19??2.11
2F1??2?24,19??F0.95?24,19??11??0.4926
F0.05?19,24?2.03?12所以据16题两总体方差之比的置信度为0.90的置信区间为 2
?2?21?s1?s2F?m?1,n?1?,?2??2?s1?
sF??m?1,n?1???1?2?2122?80218021???,? 22?1002.111000.4926?即为?0.3033,1.2992?.
习题7.1
1. 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又可能犯哪一类错误？
解 根据定义，在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯第二类错误；若检验结果是拒绝原假设，则又可能犯第一类错误.
2. 设来自总体X~N(?,1)的样本(X1,X2,验问题
H0 ：???= 2 ， H1 ：???≠?2
的拒绝域为W?{x?2.5}，求检验犯第一类错误的概率.
解 因样本(X1,X2,样本均值X~N(?,
,X16)的观测值为(x1,x2,,x16)，若检
,X16)来自于总体X~N(?,1)，故在H0 ：???= 2成立的条件下，
1)，则所求为 1633
P (拒绝H0|H0为真)
?P{X?2.5}?1?P{X?2.5}?1??(2.5?2)1/4
?1??(2)?1?0.9772?0.0228习题7.2
1．已知某砖厂生产的砖的抗断强度服从正态分布N（32.5 ，1.1），现随机抽取6块，测得抗断强度（单位：公斤∕厘米2）如下：
32.56 ，29.66 ，31.64 ，30.00 ，31.87 ，31.03
试问这批砖的平均抗断强度是否为32.50（显著性水平????= 0.10）？
解 检验的假设为
H0:??32.50,此为双侧U检验, 检验统计量为
2H1:??32.50
U?X?32.50
1.1/6 查标准正态分布表, 得临界值
u??u0.05?1.645
2故拒绝域为
??W??u?u????u?1.645?
?2?又由题设可算得x?31.13,故U的样本观测值为 u?31.1?31.1/32.5?3.03?1.6 4 56所以拒绝H0, 即不能认为平均抗断强度为32.50.
2．某种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现从一批这种元件中随机抽取25个，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差为????= 100的正态分布．可否据此判定这批元件不合格（显著性水平????= 0.05）？
解 检验的假设为
34
H0:??1000,此为单侧U检验,检验统计量为
H1:??1000
U?查标准正态分布表, 得临界值
X?1000
?/n u??u0.05?1.645 故拒绝域为
W?{U????}??U??1.645? 又由题已知x?950, 故检验统计量U的样本观测值为 U?950?1000??2.5??1.645
100/25所以拒绝H0, 即应判定这批元件不合格.
0.75）3．在正常情况下工厂生产的某种型号的无缝钢管的内径服从正态分布N（54 ，，
从某日生产的钢管中抽出10根，测得内径（单位：cm）如下：
53.8 ，54.0 ，55.1 ，52.1 ，54.2 ，54.2 ，55.0 ，55.8 ，55.1 ，55.3
如果标准差不变，该日生产的钢管的平均内径与正常生产时是否有显著差异（???= 0.05）？
解 检验的假设为 H0:??54,此为双侧U检验,检验统计量为 U?查标准正态分布表, 得临界值
u??u0.025?1.96
22H1:??54
X?54
?/n故拒绝域为
W?{U?u?}?{U?1.96}
2又由题设可算得x?54.5, 故U的样本观测值为
35
U?54.5?54?2.11?1.96
0.75/10所以接受H0,即可以认为该日生产的钢管的平均内径与正常生产时无显著差异.
4．某人从一房地产商处购买了一套据称是120平方米的住房，?并请人对房子的建筑面积（单位：平方米）进行了5次独立测量，得数据如下：
119.2 ，118.5 ，119.7 ，119.4 ，120.0
设测量值近似地服从正态分布，可否据此判定该套住房“缺斤短两”（显著性水平????= 0.05）？
解 检验的假设为
H0:??120,，H1:??120. 此为单侧T检验.,检验统计量为 T?查t分布表,得临界值
t?(n?1)?t0.05(4)?2.13 故拒绝域为
W?{T??t?(n?1)}?{T??2.13} 又由题设可算得x?119.4, s = 0.57, 故检验统计量T的样本观测值为 t?X?120
S/n119.4?120??2.35??2.13
0.57/5所以拒绝H0, 即认为该住房面积不够120平方米.
5．已知制药厂一自动生产线生产的一种药片中有效成分的含量（单位：mg）服从正态分布，按照标准，该药片中有效成分的含量不应低于100 ．某日厂质检科从自动生产线生产的药片中抽查了40片，测得其中有效成分的平均含量为98 ，样本标准差为5.8 ．厂质检科是否可以据此以0.05的显著性水平判定生产线该日生产的药片质量未达标？若将显著性水平改为0.01结论如何？
36
解 检验的假设为
H0:??100, H1:??100. 此为单侧T检验, 检验统计量为 T?查t分布表, 得临界值
t?(n?1)?t0.05(39)?1.68 故拒绝域为
W?{T??t?(n?1)}?{T??1.68} 又由题设可算得x?119.4, s = 5.8, 故检验统计量T的样本观测值为 U?X?100
S/n98?100??2.18??1.68
5.8/40所以显著水平为0.05时,拒绝H0,即应判定生产线该日生产的药片质量未达标.
同理, 当显著水平为0.01时, 查t分布表, 得临界值 t?(n?1)?t0.01(39)?2.43 检验统计量T的样本观测值为 U?98?100??2.18??2.43
5.8/40所以显著水平为0.01时，接受H0，即尚不能判定生产线该日的药片质量未达标.
6．某车间生产钢丝，生产一向比较稳定，?且其产品的折断力（单位：kg）服从正态分布．今从产品中随机抽出10根检查折断力，得数据如下：
578 ，572 ，570 ，568 ，572 ，570 ，570 ，572 ，596 ，584
问：是否可以相信该车间的钢丝折断力的方差为64（显著性水平????= 0.05）？
解 检验的假设为
H0:??64,双侧?2检验，检验统计量为
37
2H1:?2?64
(n?1)S2 ??
642查自由度为n - 1 = 9的?2分布表，得得临界值 拒绝域为
2 W?{?2??2?(n?1)或?2???(n?1)}
1?22222?2?(n?1)??0.975(9)?2.7， ??(n?1)??0.025(9)?19.02 1?22又由题设可得S 2 = 75.73, 检验统计量的样本观测值为 ??因为
2(10?1)?75.73?10.65
642.7??2?19.2
所以接受H0，即可以认为该车间的钢丝折断力的方差为64.
7．一自动车床加工零件的长度（单位：mm）服从正态分布N（? ，?），原来加工
2精度?0 = 0.18 ，?经过一段时间加工后，为检验该车床加工精度而随机抽取了31个零件，
2测得数据如下：
零件长 频 数
问：该车床的加工精度是否有所降低（显著性水平????= 0.05）？
解 检验的假设为
H0:?2?0.18,H1:?2?0.18 单侧?2检验，检验统计量为
10.1 1 10.3 3 10.6 7 11.2 10 11.5 6 11.8 3 12.0 1 (n?1)S2 ??
0.182查自由度为n-1 = 30的?2分布表，得临界值 拒绝域为
38
2??(n?1)??0.05(30)?43.77
2 W?{?2???(n?1)}
又检验统计量的样本观测值为 ??2(31?1)?0.2667?44.45?43.77
0.18所以拒绝H0，即判定加工精度有所降低.
习题7.3
1．装配某种零部件可以采用两种不同的生产工序，经验表明，用这两种工序装配零部件所需的时间（单位：分钟）分别服从标准差为?1?2,?2?3的正态分布。现对两种工序装配零部件所需的时间进行了抽样检查，两种工序每装配10个零部件平均所需的时间分别为5和7分钟。在??0.10的显著水平下，检验两种工序的效率是否有显著差异？
解 检验的假设为
H0:?1??2,双侧U检验，检验统计量为 U?H1:?1??2
X?Y?21m拒绝域为
??22
n W?{|U|?u?}
2查表得临界值
u??u0.05?1.645
2这里?12?22,2?2?32,m?n?10，且x?5,y?7,则可得统计量的观测值
|u|?|5?723?101022|?2?1.645
拒绝H0，即认为两种工序的效率有显著差异.
2．设甲、乙两个品牌的同类保健药品中有效成分A的每瓶含量分别为X ～
N?(?1，30) 和Y ～ N?(?2，43)??．现分别抽得甲牌药品10瓶、乙牌药品14瓶，测得
39
22其有效成分A的平均含量分别为?x?= 310 、y?= 283 ，是否可据此认为甲牌药品的有效成分含量较高（???= 0.10）？
解 检验的假设为
H0:?1??2,单侧U检验，检验统计量为 U?H1:?1??2
X?Y?21m拒绝域为
??22
n W?{U?u?} 查表得临界值
u??u0.1?1.28 这里?12?302,统计量的观测值
U?2?2?432,m?10,n?14，又根据题目已知x?310,y?283,，从而
310?2833043?101422?1.81?1.28
所以拒绝H0，即可以认为甲牌药品的有效成分含量较高.
3．设甲、乙两机床加工的同一种零件的尺寸（单位：mm）均服从正态分布．现分别抽得甲、乙两机床加工的零件的尺寸数据如下：
甲：31.2 ，30.8 ，31.2 ，30.3 ，31.9 ，31.5
乙：30.3 ，32.1 ，29.8 ，31.7 ，29.9 ，29.0 ，31.9 ，32.4 问：甲、乙两机床的加工精度是否有显著差异（显著性水平????= 0.1）？
解 检验的假设为
2212?:2?1? 2 H0:?1??2,H
双侧F检验，检验统计量为
40
