2019届高三文科数学好教育单元训练金卷（A）综合测试
（解析版附后）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．
1?2i?（ ） 1?2i43B．??i
5534C．??i
5534D．??i
5543A．??i
552．已知集合A?A．9
??x，y?x2?y2?3，x?Z，y?Z，则A中元素的个数为（ ）
C．5
D．4
?B．8
ex?e?x3．函数f?x??的图象大致为（ ）
x2
4．已知向量a，b满足a?1，a?b??1，则a??2a?b??（ ） A．4
B．3
C．2
D．0
x2y25．双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
abA．y??2x 6．在△ABC中，cosA．42 B．y??3x
C．y??2x 2D．y??3x 2C5?，BC?1，AC?5，则AB?（ ） 25B．30
?C．29 D．25
1117．为计算S?1????23411，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入?99100（ ）
A．i?i?1
B．i?i?2
C．i?i?3
D．i?i?4
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A．
1 12B．
1 14C．
1 15D．
1 18AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角9．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
的余弦值为（ ） 1A．
5B．5 6C．5 5D．2 210．若f?x??cosx?sinx在??a,a?是减函数，则a的最大值是（ ） A．
π 4B．
π 2C．
3π 4D．π
11．已知f?x?是定义域为???,???的奇函数，满足f?1?x??f?1?x?．若f?1??2， 则f?1??f?2??f?3??A．?50
?f?50??（ ） B．0
C．2
D．50
x2y212．已知F1，F2是椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在
ab过A且斜率为A．
2 33的直线上，则C的离心率为（ ） △PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，6B．
1 21C．
3D．
1 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y?2ln?x?1?在点?0,0?处的切线方程为__________．
?x?2y?5?0?14．若x，y满足约束条件?x?2y?3?0，则z?x?y的最大值为__________．
?x?5?0?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin?α?β??__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
7，SA与圆锥底面所成角为45?，8若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）记Sn为等差数列?an?的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求?an?的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：
,7）建立模
???30.4?13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,y??99?17.5t． 型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）设抛物线C:y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k?k?0?的直线l与C交于A，
B两点，AB?8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，
PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．
PABOCM
（1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数f?x??ex?ax2． （1）若a?1，证明：当x?0时，f?x??1； （2）若f?x?在?0,???只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
?x?2cosθ在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?，（θ为参数），直线l的参数方程为
y?4sinθ??x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为?1,2?，求l的斜率．
23．（10分）【选修4－5：不等式选讲】
设函数f?x??5?x?a?x?2．
（1）当a?1时，求不等式f?x??0的解集； （2）若f?x??1，求a的取值范围．
2019届高三理科数学好教育单元训练金卷（A）综合测
试（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．
1?2i?（ ） 1?2i43B．??i
5534C．??i
5534D．??i
5543A．??i
55【答案】D
1?2i?1?2i??3?4i??【解析】，?选D． 1?2i5522．已知集合A?A．9 【答案】A 【解析】
??x，y?x2?y2?3，x?Z，y?Z，则A中元素的个数为（ ）
C．5
D．4
?B．8
x2?y2?3，?x2?3，x?Z，?x??1，0，1．
当x??1时，y??1，0，1；当x?0时，y??1，0，1； 当x?1时，y??1，0，1． 所以共有9个，选A．
ex?e?x3．函数f?x??的图象大致为（ ）
x2
【答案】B
e?x?ex【解析】错误！未找到引用源。Qx?0，f??x????f?x?，?f?x?为奇函数，舍
x2去A，
错误！未找到引用源。Qf?1??e?e?1?0，?舍去D；
e??xQf??x??e?x?x2??ex?e?x?2xx4??x?2?ex??x?2?e?xx3，?x?2，f??x??0错误！未找
到引用源。，所以舍去C； 故选B．
4．已知向量a，b满足a?1，a?b??1，则a??2a?b??（ ） A．4 【答案】B
【解析】错误！未找到引用源。Qa??2a?b??2a2?a?b?2a???1??2?1?3，故选B．
2B．3 C．2 D．0
x2y25．双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
abA．y??2x 【答案】A
B．y??3x
C．y??2x 2D．y??3x 2cbb2c2?a22【解析】Qe??3，?2?， ??2，错误！未找到引用源。?e?1?3?1?22aaaab因为渐近线方程为y??x，所以渐近线方程为y??2x错误！未找到引用源。，故选A．
a6．在△ABC中，cosA．42 【答案】A
C5?，BC?1，AC?5，则AB?（ ） 25B．30 C．29 D．25
?5?C3【解析】QcosC?2cos2?1?2??，错误！未找到引用源。 ?1????5?25??2?3??c2?a2?b2?2abcosC?1?25?2?1?5?????32，?c?42错误！未找到引用源。，故
5??选A．
1117．为计算S?1????234?11，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入?99100（ ）
A．i?i?1 【答案】B
B．i?i?2
C．i?i?3
D．i?i?4
11111【解析】由S?1????L??错误！未找到引用源。得程序框图先对奇数项累
23499100加，偶数项累加，最后再相减．
因此在空白框中应填入i?i?2错误！未找到引用源。，选B．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A．
1 12B．
1 14C．
1 15D．
1 18【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取
2两个不同的数，共有C10?45错误！未找到引用源。种方法，因为7+23=11+19=13+17=30错
误！未找到引用源。，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为
31，故选C． ?错误！未找到引用源。
4515AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角9．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
的余弦值为（ ） 1A．
5B．5 6C．5 5D．2 2【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系， uuur则D?0,0,0?错误！未找到引用源。，A?1,0,0?，B11,1,3，D10,0,3，?AD1??1,0,3??????uuur错误！未找到引用源。，DB1?1,1,3，
??uuuruuuruuuruuurAD1?DB1?1?35Qcos
10．若f?x??cosx?sinx在??a,a?是减函数，则a的最大值是（ ） A．
π 45错5B．
π 2C．
3π 4D．π
【答案】A
???【解析】因为f?x??cosx?sinx?2cos?x??错误！未找到引用源。，
4??所以由0?k2??x?4?！未找到引用源。得?2,??k错?误??k?Z?3???2k??x??2k?,?k?Z?，错误！未找到引用源。 44π3π?π3π?因此??a,a????,?，??a?a,?a??，a?，
44?44??0?a?ππ错误！未找到引用源。，从而a错误！未找到引用源。的最大值为错误！未找44到引用源。，故选A．
11．已知f?x?是定义域为???,???的奇函数，满足f?1?x??f?1?x?．若f?1??2， 则f?1??f?2??f?3??A．?50 【答案】C
【解析】因为f?x?错误！未找到引用源。是定义域为???,???错误！未找到引用源。的奇函数，且f?1?x??f?1?x?错误！未找到引用源。，
所以f?1?x???f?x?1?错误！未找到引用源。，?f?3?x???f?x?1??f?x?1?，?T?4， 因此f?1??f?2??f?3??L?f?50??12?1?f?2??f?2??f?3??f?4???错误！未?f?1??f???f?50??（ ）
B．0
C．2
D．50
