高中数学文科（2017-2015）三年高考真题分类汇编：平面向量
n<0”1.【2017北京，文7】设m, n为非零向量，则“存在负数?，使得m=λn”是“m·的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 【答案】A
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
【考点】1.向量；2.充分必要条件.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若p?q,q??p，那么p是q的充分不必要 ，同时q是p的必要不充分条件，若p?q，那互为充要条件，若p???q，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若p:x?A,q:x?B,若A?B，那么p是q?的充分必要条件，同时q是p的必要不充分条件，若A?B，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为?q是?p条件的判断.
2.【2017课标II，文4】设非零向量a，b满足a+b=a-b则 A.a⊥b B. a=b C. a∥b D. a?b 【答案】A
?????2???2?2???2??【解析】由|a?b|?|a?b|平方得(a)?2ab?(b)?(a)?2ab?(b)，即ab?0，
则a?b，故选A. 【考点】向量数量积
??【名师点睛】
????????(1)向量平行：a//b?x1y2?x2y1，a//b,b?0????R,a??b,
????????????BA??AC?OA??1????????OB?OC 1??1??????(2)向量垂直：a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0，
???2?2??????(3)向量加减乘： a?b?(x1?x2,y1?y2),a?|a|,a?b?|a|?|b|cos?a,b?
3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，
????????????????????????·，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则 CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OAOB
A．I1?I2
?I3
B．I1?I3?I2
C．I3?I1?I2
D．I2?I1?I3
【答案】C
【考点】 平面向量数量积运算
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求OA?OC，OB?OD，?AOB??COD?90?，进而解得I3?I1?I2．
4.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(?1,?) ,若a||b,则?? . 【答案】?3 【解析】
试题分析：由a||b可得?1?6?2?????3. 【考点】向量共线与向量的坐标运算
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
→与AC→共线. (3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于AB
5.【2017北京，文12】已知点P在圆x2?y2=1上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则AO?AP的最大值为_________． 【答案】6
????????
【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为
????AO是确定的，所以根据向量数
????????????????量积的几何意义若AO?AP最大，即向量AP在AO方向上的投影 最大，根据数
形结合分析可得当点P在圆与x轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果2?3?6.
????6.【2017课标3，文13】已知向量a?(?2,3),b?(3,m)，且a?b，则m=.
【答案】2
【解析】由题意可得：?2?3?3m?0,?m?2. 【考点】向量数量积
????????【名师点睛】(1)向量平行：a//b?x1y2?x2y1，a//b,b?0????R,a??b,
????????????BA??AC?OA??1????????OB?OC 1??1??????(2)向量垂直：a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0，
???2?2??????(3)向量加减乘：a?b?(x1?x2,y1?y2),a?|a|,a?b?|a|?|b|cos?a,b?
7.【2017浙江，14】已知向量a，b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是
________，最大值是_______． 【答案】4，2【解析】
5 ??试题分析：设向量a,b的夹角为?，由余弦定理有：
??a?b?12?22?2?1?2?cos??5?4cos?，
5?4cos?，则：
??a?b?12?22?2?1?2?cos??????????a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?，
令y?5?4cos??5?4cos?，则y2?10?225?16cos2???16,20?，
????据此可得：a?b?a?b??max?????20?25,a?b?a?b??min?16?4，
????即a?b?a?b的最小值是4，最大值是25． 【考点】平面向量模长运算
??【名师点睛】本题通过设入向量a,b的夹角?，结合模长公式， 解得
????a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
????????8.【2017天津，文14】在△ABC中，?A?60?，AB=3，AC=2.若BD?2DC，
????????????????????AE??AC?AB（??R），且AD?AE??4，则?的值为 .
【答案】
3 11
【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.
【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线
????????性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量AB,AC，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.
9.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________． 【答案】7 【解析】
?????试题分析：由题得a?b?(m?1,3)，因为(a?b)?a?0，所以?(m?1)?2?3?0，
解得m?7
【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量
【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a?b的充要条件是x1x2+y1y2＝0．
????????????10.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,
????????????????????????????.若OC?mOA?nOBOA与OC的夹角为?,且tan?=7,OB与OC的夹角为45°
(m,n?R),则m?n? ▲ . C B ?A O (第12题) 【答案】3
【考点】向量表示
【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
11.【2017江苏，16】已知向量a?(cosx,sinx),b?(3,?3),x?[0,π]. （1）若a∥b,求x的值；
（2）记f(x)?a?b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】（1）x?5π5π（2）x?0时，?? ?? 取得最大值，为3；x?时，?? ?? 取66得最小值，为?23.
?(cosx,sinx)，b?(3,?3)，a∥b， 【解析】解：（1）因为a 所以?3cosx?3sinx.
若cosx?0，则sinx?0，与sin2x?cos2x?1矛盾，故cosx?0. 于是tanx??又
3. 3，所以x?5π. 6π（2）f(x)?a?b?(cosx,sinx)?(3,?3)?3cosx?3sinx?23cos(x?).
6ππ7πx??[,]， 因为，所以
666π3. 从而?1?cos(x?)?62ππ?，即x?0时，?? ?? 取到最大值3； 66π5πx???x?当，即时，?? ?? 取到最小值?23. 66于是，当x?【考点】向量共线，数量积
????????【名师点睛】(1)向量平行：a//b?x1y2?x2y1，a//b,b?0????R,a??b,
?????????????1????????BA??AC?OA?OB?OC
1??1??????(2)向量垂直：a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0，
???2?2??????(3)向量加减乘：a?b?(x1?x2,y1?y2),a?|a|,a?b?|a|?|b|cos?a,b?
【2016，2015，2014】
????1. 【2014高考北京文第3题】已知向量a??2,4?，则2a?b?（ ） b???1,1?， A.?5,7? B.?5,9? C.?3,7?
D.?3,9? 【答案】A
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
????????2. 【2015高考北京，文6】设a，b是非零向量，“a?b?ab”是“a//b”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A
【考点定位】充分必要条件、向量共线.
【名师点晴】本题主要考查的是充分必要条件和向量共线，属于容易题．解题时一定要注意p?q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．
????3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量a??1,2?,b??3,1?,则b?a?( ) A.??2,1?B.?2,?1?C.?2,0?D.?4,3? 【答案】B
??【解析】由题意得b?a??3,1???1,2???2,?1?,故选B. 【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算,属于容易题.
【名师点晴】本题主要考查的是平面向量减法的坐标运算，属于容易题．解题时要注意对应坐标分别相减，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是平
????b??x2,y2?，面向量减法的坐标运算，即若a??x1,y1?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． 4.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x?y中，已知四边形??CD是平行
????????????????四边形，????1,?2?，?D??2,1?，则?D??C?（ ） A．2B．3C．4D．5 【答案】D
【解析】因为四边形??CD是平行四边形，所以?????????????????????C?????D??1,?2???2,1???3,?1?，所以?D??C?2?3?1???1??5，故选D． 【考点定位】1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算，属于较难题．解题时要注意运行平行四边形法则的特点，否则很容易出现错误．解本
题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算，即若
??????a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?，a?b?x1x2?y1y2．
???π?5. 【2014山东.文7】已知向量a?1,3，b??3,m?.若向量a,b的夹角为，
6??则实数m=（ ）
（A）23 （B）3 （C）0 （D）?3 【答案】B
考点：平面向量的数量积、模与夹角.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式，建立m的方程即得.
本题属于基础题，注意牢记夹角公式并细心计算.
??6. 【2015高考陕西，文8】对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ）
?????2?2??????????2??2A．|a?b|?|a||b|B．|a?b|?||a|?|b||C．(a?b)?|a?b|D．(a?b)(a?b)?a?b
【答案】B
??????????【解析】因为|a?b|?||a||b|cosa,b|?|a||b|，所以A选项正确；当a与b方向相
反时，B选项不成立，所以B选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以
?????2?2C选项正确；(a?b)(a?b)?a?b，所以D选项正确，故答案选B.
【考点定位】1.向量的模；2.数量积.
【名师点睛】1.本题考查向量模的运算，采用向量数量积公式.2.向量的平方就是模的平方进行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
????????|a?b|?6，7. 【2014全国2，文4】设向量a,b满足|a?b|?10，则a?b?（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A
?2???2?2???2??【解析】由已知得，两式相减得，a?2a?b?b?10，a?2a?b?b?6，4a?b?4，
??故a?b?1．
【考点定位】向量的数量积.
【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.
????8.【2015高考新课标1，文2】已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC?(?4,?3)，则向
????量BC?( )
（A）(?7,?4)（B）(7,4)（C）(?1,4)（D）(1,4) 【答案】A
【考点定位】向量运算
【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标，是基础题.
9. 【2014全国1，文6】设D,E,F分别为?ABC的三边BC,CA,AB的中点，则
EB?FC? A.AD B. 【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在?BEF中，????????????????1????????????????????1????EB?EF?FB?EF?AB，同理FC?FE?EC?FE?AC，则
22????????????1????????1?????1????1????????????1???EB?FC?(EF?AB)?(FE?AC)?(AB?AC)?(AB?AC)?AD． 2222211AD C. BC D. BC 22考点：向量的运算
【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.
10. 【2014年.浙江卷.文9】设?为两个非零向量a、b的夹角，已知对任意实数t，|b?ta|的最小值为1（ ）
A.若?确定，则|a|唯一确定 B.若?确定，则|b|唯一确定 C.若|a|确定，则 ?唯一确定 D.若|b|确定，则 ?唯一确定 【答案】B 【解析】
试题分析：依题意，对任意实数t，|b?at|?1恒成立， 所以(ta)2?b2?2t?|a|?|b|?cos??1恒成立，
令t|a|?x，所以|b?ta|2?x2?2t?|a|?|b|?cos??|b|2， 若?为定值，则当|b|为定值时二次函数才有最小值. 故选B.
考点：平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等.
【名师点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值的有关性质问题，属于中档题目；
?????????11.【2015高考重庆，文7】已知非零向量a,b满足|b|=4|a|，且a?(2a+b)则a与b的夹角为（） (A)
?3 (B)
?2 (C)
2?5? (D) 36【答案】C
【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角.
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化.本题属于基础题，注意运算的准确性.
???????????????12. 【2014，安徽文10】设a,b为非零向量，b?2a，两组向量x1,x2,x3,x4和?????????????????????????????????????若x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4所有可y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成，
?2??能取值中的最小值为4a，则a与b的夹角为
（
）
2??A．? B． C． D．0
336【答案】B． 【解析】
???????????????????????试题分析：由题意x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4有以下三种可能：①
????????a?a?a?a?b?b?b?b
?2?2?2?2|a|?2|b|?10|a|；②????????????????a?b?a?b?b?a?b?a?4a?b?4|a|?|b|?4|a|?2|a|cosa,b
?2?????????????????8|a|cosa,b；③a?a?a?b?b?b?b?a?2a?b?|a|?|a|?|b|?|b|
?2?2???5|a|?4|a|cosa,b，已知第②种情况原式的值最小，即
?2???2?????18|a|cosa,b?4|a|，解得cosa,b?，即a,b?，故选B．
23考点：1．向量的数量积运算；2．分类讨论思想的应用．
【名师点睛】本题先要了解相关的排列知识，2个a和3个b排列所得的S结果有几种，需要进行讨论，要注意重复的情况删除.比较两数的大小常用作差法，根据平面向量的平行、垂直的坐标运算性质，表示出需要研究的量的关系. 13.【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的一条边，Pi(i?1,2,?,7)是小正方形的其余各个顶点，则
????????AB?APi(i?1,2,?,7)的不同值的个数为（ ） （A）7 （B）5 （C）3 （D）1
