第五届四川省孙训方大学生力学竞赛试题
参考解答
一、解：1、平衡时斜面倾角??的最大值
本题存在两种可能的平衡临界状态，一是整体处于沿斜面下滑的状态，二是整体绕轴A翻转。
若要不下滑，只需满足??tan?10.7?34.99? 若要不翻转，取整体为研究对象，
由?M?A(F)?0 得 FNA?3P2P[cos??sin?(1?33)]?0 解得 ??tan?133?3?32.37? 故平衡时斜面倾角的最大值为 ??32.37? 2、平衡时圆盘O1与O2之间铰链C沿圆盘公切线方向的约束力与倾角??的关系 取整体为研究对象 由
?Fx?0 得
FSA?FSB?3Psin?
再分别取圆盘O1、O2和 O3为对象 分别由
?M?O1(F)?0 , r(FSA?FCt?FDt)?0
?M?O2(F)?0 , r(FSB?FC?t?FEt)?0 ?M?O3(F)?0 , r(FE?t?FD?t)?0 联立解之得
F3Ct?2Psin?
O3PEyDO2xO1CPBFAPFSBFNBSAFNAO3PEyDO2xO1CPBFFAPSBFNBSAFNAFDnFDtDFCtO1CFCnFAPSAFNAFEtFEnEO2FC?nCF?PBCtFSBFNBO3DPEFE?tF?FDtE?nFD?n二 解：1、相对轨迹
由刚体平面运动理论知aC和aD的方向如图所示。如果盘上与动点M重合点为加速度瞬心，则aC与直线CM和aD与直线DM的夹角应相等，均为??，且?
tan?????2又???aC?aD， 故 CM?DM。
由此说明无论角速度?和角加速度?取何值，加速度瞬心必位于以CD = r为直径的圆周上，即动点M的相对轨迹是以CD = r为直径的圆弧，相对轨迹方程为
r2r2x?(y?)?
242x?aC?CM?DraDy相对运动方程
因为 aC?r? （纯滚动），在t时刻 ???t，又轮C上与动点M重合点的加速度为零，所以
CM?aC?r??r1??t24???11??t2424???t244
而 sin??????24? , cos???2???24??t21??t24
故相对运动方程为
r?t2rx?CM?cos?? , y?CM?sin??
1??2t41??2t42、相对速度的大小
对前面所得相对运动方程求导得
dx2r?t(1??2t4)dy?4r?2t3 vx?? , vy??242242dt(1??t)dt(1??t)相对速度的大小
22v?vx?vy?2r?t 241??t三、解：1、圆盘的角加速度
考虑质点A运动到距盘心O为r处，如图（a）所示，此时圆盘的角速度为?，
??质点A相对圆盘的速度为vr?r的动量矩守恒，有
dr, ve?r?，由系统机械能守恒和对转轴zdt22mrmr1110222)?0?(Jz?mr2)? (Jz?0)?0?Jz??mva ， (Jz?424222222?2将Jz?2mr0和va??r??r代入得
9221?2) (A) mr0?0?mr02?2?m(r2?2?r8292mr?0?m?(r2?2r02) (B) 4将r?r0代入式(A)和(B)得当质点A运动到盘沿B时 圆盘的角速度
34???0
质点M的速度和相对速度
323?va?r0?0 , vr?r?r0?0
44
? 对式（B）求导得 0?m?(2r02?r2)?2m?rr3将r?r0时，???0和vr43??r0?0代入上式解得 ?r438当质点A运动到盘沿B时，圆盘的角加速度
????02 负号表示与?转向相反。
圆盘作用于质点A的水平力大小
如图（c）所示，当质点A运动到盘沿B时，由点的合成运动理论，质点A的绝对加速度为科氏加速度与牵连切向加速度的矢量和
z??OaCr0FNABaa?aC?aet
aet(c)将aC?2?vr?9322r0?0 , aet?r0??r0?0代入上式得 88taa?aC?ae?32r0?0 4由质点动力学基本方程得圆盘作用于质点A的水平力大小为
32FN?maa?mr0?0
42、力偶矩M与质点A相对圆盘位置r之间的关系 如图(d)所示，用动量矩定理
dLd??0 (C) M?O?[(Jz?mr2)?0?2mrrdtdt再列出相对运动微分方程
d2r2m2?FIe?mr?0 dtdr2，则上式可改写为 dvr2??0dr2 dt积分并考虑到初始条件得 ??令vr?rzrMO?0Ar0FIeBr02??v??(r? ) (D) r422r202(d)代入式（C）得 M?2mr?20r02(r? )
42质点A运动到圆盘边沿B所需要的时间 由式（D）得
r02dr2??r??0(r? )
dt4解此微分方程并考虑到初始条件得
?1r0dr(r2?20r02r )4r020??0t
t?
?0ln[r?(r2?r11.317 )]?ln(2?3)? 4?0?0r02
四、解：
=
当F处于最左端时，压杆的轴力最大，
五、解：1）使用叠加原理 在均布载荷q作用时：
向下
在钢索预紧力作用时： 向上
（拉力） 8分
绝对值
2） 不能
在钢索预紧力作用时：
, 6分
向下；
即预紧力仍然使C截面挠度向下，无法向上；而q的作用，C的挠度向下。6分
六、解：1）在杆2和杆4顶端力作用下：每根杆上端铰接处出现切向力在杆3顶端的力作用下：设每杆均受压 平衡方程：
变形协调方程：
得补充方程：
求解得： （拉） （压）
（压）
（每根杆）
（压应力） 15分
2）结构受力前，将一应变片贴于杆4的正面（该处为弯曲的中性轴）、靠近固定端处、顺杆长度方向粘贴（该处无弯曲应力，只有轴力造成的应力）； 结构受力后，测出该应变片的应变；
计算式为
5分
六、解：1）在杆2和杆4顶端力作用下：每根杆上端铰接处出现切向力在杆3顶端的力作用下：设每杆均受压 平衡方程：
变形协调方程：
得补充方程：
求解得： （拉） （压）
（压）
（每根杆）
（压应力） 15分
2）结构受力前，将一应变片贴于杆4的正面（该处为弯曲的中性轴）、靠近固定端处、顺杆长度方向粘贴（该处无弯曲应力，只有轴力造成的应力）； 结构受力后，测出该应变片的应变；
计算式为
5分
