2018年高考文科数学 空间证明 冲刺
1.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?120且AC?BC?AA1?2，E是棱
0CC1中点，F是AB的中点.
（1）求证：CF//平面AEB1； （2）求点B到平面AEB1的距离.
2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EF分别是线段AD，PB的中点，PA=AB=1.
?Ⅰ?求证： EF∥平面DCP； ?Ⅱ?求F到平面PDC的距离.
3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为
PC、BD的中点，侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?（1）求证：EF//平面PAD； （2）求三棱锥C?PBD的体积．
2AD． 24.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明：DF∥平面PBE （Ⅱ）求点F到平面PBE的距离．
5.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设AP=1，AD=
，三棱锥P﹣ABD的体积V=
，求A到平面PBC的距离．
6.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点． （Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE； （Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．
7.如图所示，在三棱锥P?ABC中，PC?平面ABC,PC?3，D,E分别为线段AB,BC上的点，且CD?DE?2,CE?2EB?2. （1）求证：DE?平面PCD； （2）求点B到平面PDE的距离.
8.如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（I）求证：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．
9.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，PD=AD，PD⊥底面ABCD，E为PC上一点，且PE=EC． （1）证明：PA⊥BD； （2）若AD=
，求三棱锥E﹣CBD的体积．
AB=2BD，
10.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点． （1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB．
11.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC； （Ⅱ）求三棱锥C1﹣ABC的体积．
试卷答案
1.
（1）取AB1中点G，连结EG、FG，则FG∥BB1且FG?因为当E为CC1中点时，CE∥BB1且CE?所以FG∥CE且FG?CE.
所以四边形CEGF为平行四边形，CF∥EG， 又因为CF?平面AEB1，EG?平面AEB1， 所以CF//平面AEB1；
1BB1. 21BB1， 2
（2）因为?ABC中，AC?BC，F是AB中点，所以CF?AB. 又因为直三棱柱ABC?A1B1C1中，CF?BB1，AB?BB1?B， 所以CF?平面ABB1，C到平面ABB1的距离为CF?1.
因为CC1//平面ABB1，所以E到平面ABB1的距离等于C到平面ABB1的距离等于1. 设点B到平面AEB1的距离为d.
11VB?AEB1?VE?ABB1，?SAEB1?d??SABB1?1，
33易求SABB1?23，SAEB1?2，解得d?3. 点B到平面AEB1的距离为3. 2.
?Ⅰ?方法一：
取PC中点M，连接DM,MF，
?M,F分别是PC,PB中点, ?MF//CB,MF?1CB， 2
?E为DA中点，ABCD为正方形，?DE//CB,DE?1CB， 2?MF//DE,MF?DE,?四边形DEFM为平行四边形，
?EF//DM,?EF?平面PDC，DM?平面PDC，
?EF//平面PDC.
方法二：
取PA中点N，连接NE，NF.
?E是AD中点，N是PA中点，∴NE//DP，
又?F是PB中点，N是PA中点，∴NE//AB，
?AB//CD，∴NF//CD，
又?NE?NF?N，NE?平面NEF，NF?平面NEF，DP?平面PCD，CD?平面PCD，∴平面NEF//平面PCD. 又?EF?平面NEF，∴EF//平面PCD.
方法三：
取BC中点G，连接EG，FG，
在正方形ABCD中，E是AD中点，G是BC中点
∴GE//CD
又?F是PB中点，G是BC中点，∴GF//PC， 又PC?CD?C，
GE?平面GEF,GF?平面GEF， PC?平面PCD,CD?平面PCD， ∴平面GEF//平面PCD.
?EF?平面GEF
∴EF//平面PCD.
?Ⅱ?方法一：
?EF//平面PDC，∴F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离，
?PA?平面ABCD，∴PA?DA，?PA?AD?1，在Rt?PAD中DP?2，
?PA?平面ABCD，∴PA?CB，又?CB? AB，
PA?AB?A,AB?平面PAB，PA?平面PAB， ∴CB?平面PAB，又?PB?平面PAB， ∴CB?PB,故PC?3.
∴PD2?DC2?PC2 ，
∴?PDC为直角三角形，?VE?PDC?VC?PDE，
设E到平面PDC的距离为h， 则?h?131111?1?2??1???1， 2322∴h?22∴F到平面PDC的距离.
4 4
方法二：
?EF//平面PCD，
∴点F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，
又? AD?平面PCD?D,E是AD中点，
∴点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD距离的2倍.
取DP中点H,连接AH,由AD=AP得AH?PD,
由AB?AP,AB?AD,AD?AP?A, AP?平面PAD，
AD?平面PAD，∴AB?平面PAD，
又?AB//CD ∴CD?平面PAD，∴平面PCD?平面PAD. 又?平面PCD?平面PAD?PD，AH?PD，AH?平面PAD，
∴AH?平面PCD，
∴AH长即为点A到平面PCD的距离，
由AP?AD?1，AP?AD，?AH?2. 2∴E点到平面PCD的距离为
即F点到平面PCD的距离为2， 42. 4
3.
（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点， 故在?CPA中，EF//PA，
且PA?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF//平面PAD；
（2）取AD的中点N，连结PN，∵PA?PD，∴PN?AD， 又平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD， ∴PN?平面ABCD， ∴VC?PBD?VP?BCD4.
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取PB的中点G，连接EG、FG，由已知结合三角形中位线定理可得DE∥FG且DE=FG，得四边形DEGF为平行四边形，从而可得DF∥EG，再由线面平行的判定可得DF∥平面PBE；
1111a3?S?BCD?PN??a?a?a?. 332212（Ⅱ）利用等积法可得：VD﹣PBE=VP﹣BDE，代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则FG∥BC，且FG=∵DE∥BC且DE=BC，∴DE∥FG且DE=FG， ∴四边形DEGF为平行四边形，
∴DF∥EG，又EG?平面PBE，DF?平面PBE， ∴DF∥平面PBE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DF∥平面PBE，
∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等， 故转化为求D到平面PBE的距离，设为d， 利用等体积法：VD﹣PBE=VP﹣BDE，即
，
∵∴d=
．
，
，∴
．
．
．
5.
【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC； （Ⅱ）通过AP=1，AD=
，三棱锥P﹣ABD的体积V=
，求出AB，作AH⊥PB角PB于
H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO， ∵ABCD是矩形， ∴O为BD的中点
∵E为PD的中点， ∴EO∥PB．
EO?平面AEC，PB?平面AEC ∴PB∥平面AEC； （Ⅱ）∵AP=1，AD=∴V=∴AB=，PB=
作AH⊥PB交PB于H， 由题意可知BC⊥平面PAB， ∴BC⊥AH， 故AH⊥平面PBC．
又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离
．
，三棱锥P﹣ABD的体积V===
， ．
，
6.
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直：DE⊥BC，DE⊥EC从而得到线面垂直．
（Ⅱ）要证线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件：在平面BDE内找一条与AF平行的直线，通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD1C1，DE?侧面CDD1C1， ∴DE⊥BC， 在△CDE中，CD=2a，
a，则有CD2=CE2+DE2，
∴∠DEC=90°， ∴DE⊥EC， 又BC∩EC=C ∴DE⊥平面BCE．
（Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O， ∵EF
，AO
，
∴四边形AOEF是平行四边形， ∴AF∥OE
又∵OE?平面BDE，AF?平面BDE， ∴AF∥平面BDE．
7.
（1）证明：由PC?平面ABC，DE?平面ABC，故PC?DE 由CE?2，CD?DE?2，得?CDE为等腰直角三角形， 故CD?DE， 又PC?CD?C， 故DE?平面PCD.
（2）由（1）知，?CDE为等腰直角三角形，?DCE?过D作DF垂直CE于F，易知DF?CF?EF?1，
又DE?平面PCD，所以DE?PD，PD?PC2?CD2?11， 设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥B?PDE的高，
?4，
11由VB?PDE?VP?BDE得S?PDE?h?S?BDE?PC，
33即11?2?h?1?1?3，所以h?所以B到平面PDE的距离为322， 22322. 22
8.
【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．
【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；
（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD=VB﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案． 【解答】证明：（Ⅰ）如图， ∵△PMB为正三角形， 且D为PB的中点， ∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点， ∴MD∥AP， ∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC ∴AP⊥平面PBC， ∴AP⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AP=A， ∴BC⊥平面APC，…
解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD=VB﹣MDC． ∵AB=10， ∴MB=PB=5， 又BC=3，BC⊥PC， ∴PC=4， ∴又
，
．
∴
在△PBC中，又∵MD⊥DC， ∴∴∴
， ，
．
即点B到平面DCM的距离为． …
9.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）在△ABD中，不妨设AB=2，BD=
，由余弦定理可得AD，则AD2+BD2=BA2，
从而得到BD⊥AD，结合PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（2）过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E﹣CBD的高为EF，由已知可得EF．再由（1）知BD，代入三棱锥E﹣CBD的体积公式求解．
【解答】（1）证明：在△ABD中，由余弦定理可得：AD=BA+BD﹣2BA?BD?cos∠DBA， 不妨设AB=2，则由已知∴
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，而AD∩PD=D， ∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（2）解：过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E﹣CBD的高为EF， 由已知可得EF=
． AB=2BD，得BD=
，
，则AD2+BD2=BA2，
2
2
2
由（1）知BD=AD
∴三棱锥E﹣CBD的体积V=
，
=
．
10.
【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由O，M分别为AB，VA的中点，得OM∥VB，即可得VB∥平面MOC． （2）由AC=BC，O为AB的中点，得OC⊥AB．
又平面VAB⊥平面ABC，得OC⊥平面VAB．平面MOC⊥平面VAB． 【解答】解：（1）证明 因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以OM∥VB，
又因为VB?平面MOC，OM?平面MOC， 所以VB∥平面MOC．
（2）证明 因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB． 又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC， 所以OC⊥平面VAB．又OC?平面MOC， 所以平面MOC⊥平面VAB．
【点评】本题考查了空间线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题． 11.
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥AC，由此能证明A1O⊥平面ABC． （Ⅱ）推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，从而由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积． 【解答】（本小题满分12分）
，
证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点， ∴A1O⊥AC，…
又∵平面AA1C1C⊥平面ABC， 平面AA1C1C∩平面ABC=AC… 且A1O?平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC…
解：（Ⅱ）∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC，
即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离… 由（Ⅰ）知A1O⊥平面ABC且∴三棱锥C1﹣ABC的体积：
…
，…
