《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页
6. 真空中两平行带电平板相距为d，面积为S，且有d< 作用力大小为 【 D 】 2 q22q2q2(A) F?； (B) F?； (C) F?； (D) F?。 24??0d?0S?0S2?0S 7. 带有N个电子的一个油滴，其质量为m，电子的电量的大小为e，在重力场中由静止开始下落(重 力加速度为g)，下落中穿越一均匀电场区域，欲使油滴在该区域中匀速下落，则电场的方向为向下，大小为 8. 图中曲线表示一种球对称性电场的场强大小E的分布，r表示 离对称中心的距离。这是由半径为R均匀带电为+q的球体产生的电场。 二． 计算题 1. 两个电量分别为q1??2?10?7C和q2??2?10?7C的点电荷，相距0.3m，求距q1为0.4m、距q2为0.5m处P点电场强度。(1/(4??0)?9.00?109N?m2/c2)。 q2mg。 Ne选择题(8)? 根据题意作出如图所示的电荷分布，选取坐标系OXY ?q1在P产生的场强：E1?q14??0b?(?j) 2???qq2在P产生的场强：E2??2?2(cos?i?sin?j) 4??0c?P点的电场强度：E?????q2?(cos?i(?j)??sin?j) 224??0b4??0cq1 将???3，b?0.4m，c?0.5m代入得到：E?4320i?5490j ???计算题(1)2. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电 荷线密度为?，四分之一圆弧AB半径为R，试求圆心O点的场强。 计算题(2)? 选取如图所示的坐标，两段“无限长”均匀带电细 线在O点 产生的电场为: ?EA???????????i?j，EB???i?j 4??0a4??0a4??0a4??0a???dl?dlcos?i?sin?j 4??0R24??0R2?圆弧上的电荷元dq=?dl在O点产生的电场为: dEAB?Created by XCH Page 36 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ???d???d?将dl?Rd?代入，得到dEAB?cos?i?sin?j 4??0R4??0R????带电圆弧在O点产生的电场强度：EAB??dEAB??20?2?d???d?cos?i??sin?j 4??0R4??0R0 ?EAB??E? ???????(i?j)，E?EAB?EA??EB? 4??0R???(i?j) 4??0R3. 一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为?，其上均匀分布有正电 荷q，如图所示。试以a，q，?表示出圆心O处的电场强度。 计算题(3)? 选取如图所示的坐标，电荷元dq在O点产生的电场为： ???dE?dEx?dEy 1?dE???q1q()asin?d?i?()acos?d?j 4??0a2a?4??0a2a??O点的电场： ???2E?i??1q?4??0a2??2sin?d??j????1q?4??0a2?cos?d? 22?E?? 12q2??0a?sin??2j 4. 求一均匀带电圆盘轴线上一点处的场强，设圆盘半径R，电荷面密度为?，该点到圆盘中心距离为x。 ? 带电圆板在轴线上产生的电场可以看作是由无限多同 轴带电细圆环在轴线上一点产生的场强的叠加。根据圆板电荷分布对称性，带电圆板在轴线上产生的电场的方向沿X轴的正方向。 取半径为r，宽度为dr，电量为dq=?·2?rdr的细圆环，该带电圆环在P点产生的电场强度大小为： 计算题(4)dE?14??0dqx(r2?x2)32??x2?0rdr(r2?x2)32 R带电圆板在轴线上一点电场强度大小:E??0?x2?0rdr(r2?x2)32 Created by XCH Page 37 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 应用积分结果： (r2?x2)???xE?[1?]i 12?0(R2?x2)2 ?rdr32??1(r2?x2)12 *5. 如图所示的一半圆柱面，高和直径都是L，均匀地带有电荷，其面密度为σ，试求其轴线中点 O处的电场强度。 计算题(5) ? 长度为L的均匀带电细棒在空间任一点P产生的电场强度为 ?E????[(cos?1?cos?2)i?(sin?2?sin?1)j] 4??0a将?1??,?2????代入上式得到在带电细棒中点的垂直线上一点a的电场强度大小： LLa?422E???cos?, E?4??0a2??0a, E?14??0aqa2?L42，方向沿着中垂线 半圆柱面上长度为L，宽度为 LLd?的线电荷元：dq??L?d?在O点产生的电场： 222?L d?，方向如图所示 ， 将a?代入，得到dE?dE?4??024??0a2L2a?4??????矢量表达式：dE?dEx?dEy，dE?idEsin??jdEsin? 1?L?d?L2????????O点的电场强度：E??dE??idEsin???jdEcos?，其中：?jdEcos??0 000??2????2????d?sin?，E?i所以：E??idEsin?，E??i 2??04??000 Created by XCH Page 38 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 单元六 电通量 高斯定理 （二） 一． 选择、填空题 1. 已知一高斯面所包围的体积内电量代数和 ?qi则可肯定: 【 C 】 ?0， (A) 高斯面上各点场强均为零； (B) 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零； (C) 穿过整个高斯面的电通量为零； (D) 以上说法都不对。 2. 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图示，在电场中作一半径为R的闭合球面S，已知通 过球面上某一面元?S的电场强度通量为??e， 则通过该球面其余部分的电场强度通量为 【 A 】 (A) ???e； 4?R24?R2??S??e； (D) 0。 ??e； (C) (B) ?S?S??3. 高斯定理?sE?dS??v??dv/?0 【 A 】 (A) 适用于任何静电场； (B) 只适用于真空中的静电场； (C) 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场； (D) 只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场。 ??4. 在静电场中，任意作一闭合曲面，通过该闭合曲面的电通量?sE?dS的值仅取决于高斯面内电 ?5. 半径为R的半球面置于场强为E的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示。则通过 该半球面的电场强度通量为E?R 2荷的代数和，而与面外电荷无关。 选择题(6)选择题(4) 选择题(5)???6. 如图，点电荷q和-q被包围在高斯面S内，则通过该高斯面的电通量?sE?dS?0，式中E为 高斯面上各点处的场强。 选择题(7)选择题(8)Created by XCH Page 39 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 7. 在点电荷+q和-q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1，S2，S3通过这些闭合面的电强 度通量分别是：?1?q?0，?2?0，?3??q?0。 8. 如图所示，一点电荷q位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd的电通量?e?9. 如图所示，闭合曲面S内有一点电荷q，p为S面上一点，在 q。 24?0S面外A点有一点电荷q’，若将q’移至B点，则 【 B 】 (A) (B) (C) (D) 穿过S面的电通量改变，p点的电场强度不变； 穿过S面的电通量不变，p点的电场强度改变； 穿过S面的电通量和p点的电场强度都不变； 穿过S面的电通量和p点的电场强度都改变。 选择题(9)10. 均匀带电直线长为L，电荷线密度为+?，以导线中点O为球心 、 R为半径（R>L）作一球面，如图所示，则通过该球面的电场 ?l强度通量为，带电直线延长线与球面交点P处的电场强度 ?0的大小为 ?l1，沿着矢径OP方向。 22??04R?l选择题(10)二． 计算题 1. 如图所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆平面， q在该平面的轴线上的A点处，试计算通过这圆平面的 电通量。 ? 在圆平面上选取一个半径为r，宽度为dr 的环形面积 元，通过该面积元的电通量为 ??d??E?dS，d??2?rdrcos? 4??0r2?x2qR通过圆平面的电通量：???02?xrdr 4??0(r2?x2)2q计算题(1) ??qx(1?) 222?0R?x2. 两个均匀带电的同心球面，分别带有净电荷q1和q2，其中q1为内球的电荷。两球之间的电场为 3000/r2牛顿/库仑，且方向沿半径向内；球外的场强为2000/r2牛顿/库仑，方向沿半径向外， 试求q1和q2各等于多少? ? 根据题意：R1?r?R2： q14??0r2??13000q???10?16C ，，q??12000??11023rCreated by XCH Page 40 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 单元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m的圆周上从A点运动到B点，如图所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s，方向由A指向B； (B) 大小为2m/s，方向由B指向A； (C) 大小为3.14m/s，方向为A点切线方向； (D) 大小为3.14m/s，方向为B点切线方向。 3 选择题(2)3. 某质点的运动方程为x=3t-5t+6(SI)，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X轴负方向 2 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s，瞬时加速率a=2 m/s则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 选择题(5)5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，如t=0时， 质点位于坐标原点，则t=4.5s时，质点在x轴上的位置为 【 C 】 (A) 0； (B) 5m； (C) 2m； (D) -2m； (E) -5m *7. 某物体的运动规律为 dv??kv2t，式中的k为大于零的常数。dt选择题(7)当t=0时，初速为v0，则速度v与时间t的函数关系是 【 C 】 (A) v?(C) 121kt?v0 (B) v??kt2?v0 22 (D) 1121?kt?v2v0111??kt2? v2v0二、填空题 Created by XCH Page 1 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 1. r(t)与r(t??t)为某质点在不同时刻的位置矢量，v(t)和v(t??t)为不同时刻的速度矢量，试在两个图中分别画出?r,?r,?s和?v,?v。 ??????填空题(1) 2. 一质点从P点出发以匀速率1cm/s作顺时针转向的圆周运动，圆半径为1m，如图当它走过2/3圆周时，走过的路程是 4?33m； 这段时间平均速度大小为：m/s；方向是与X正方向夹角3400????3 3. 一质点作直线运动，其坐标x与时间t的函数曲线如图所示，则该质点在第3秒瞬时速度为零；在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。 三、计算题 填空题(2)填空题(3)1. 已知一质点的运动方程为r?2ti?(2?t)j,r,t分别以m和s为单位，求: ??2??(1) 质点的轨迹方程，并作图； (2) t=0s和t=2s时刻的位置矢量； ??(3) t=0s到t=2s质点的位移?r??,v?? ?? (1)轨迹方程：x2?4y?8?0； (2) r0?2j，r2?4i?2j ???????r????2i?2j (3) ?r?r2?r0?4i?4j，v??t2. 一质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x=3+5t+6t-t (SI)，求 (1) 质点在t=0时刻的速度； (2) 加速度为零时，该质点的速度。 23 ????? 任一时刻的速度：v?dxdv?5?12t?3t2，任一时刻的加速度：a??12?6t dtdtt?0s时的速度：v?5m/s；当加速度为零：t?2s，速度：v?17m/s *3. 湖中一小船，岸边有人用绳子跨过高出水面h的滑轮拉船，如图所示。如用速度V0收绳，计算船行至离岸边x处时的速度和加速度。 Created by XCH Page 2 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ? 选取如图所示的坐标，任一时刻小船满足： l?x?h，两边对时间微分 ldldxdldx?x，V0??，V? V??dtdtdtdt222计算题(3)x2?h2xV0 方向沿着X轴的负方向。 V02?V2方程两边对时间微分：V?V?xa，a? x202V02h2a??3，方向沿着X轴的负方向。 x4. 质点沿X轴运动，其速度与时间的关系为v=4+t m/s，当t=3s时质点位于x=9m处，求质点的运动方程。当t=2s时，质点的位置在哪里? 2 ? 质点的位置满足：x??vdt??(4?t2)dt ，x?4t?t3?C 由初始条件：t=3s时质点位于x=9m，得到c=?12，x?4t?当t=2s时，质点的位置：x?8?1313t?12 384?12??m 33*5. 质点沿X轴运动，其加速度和位置的关系是a?2?6x2(SI)。如质点在x=0处的速度为 10m?s?1，求质点在任意坐标x处的速度。 ? 由速度和加速度的关系式：a?dvdvdxdv?v ，a?dtdxdtdxadx?vdv，(2?6x2)dx?vdv，两边积分，并利用初始条件：x?0，v0?10m?s?1 xv?0(2?6x)dx??vdv，得到质点在任意坐标x处的速度：v?2x3?x?25 102 单元一 质点运动学（二） 一、 选择题 ???221. 一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量为r?ati?btj (a，b为常数)则质点作: 【 B 】 (A) 匀速直线运动； (B) 变速直线运动； (C) 抛物线运动；(D) 一般曲线运动。 2. 质点作曲线运动，r表示位置矢量，S表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中， 【 D 】 ??dVdVdrds?at。 ?a； (2) ?V； (3) ?V； (4) (1) dtdtdtdt (A) 只有(1)、(2)是对的； (B) 只有(2)、（4）是对的； (C) 只有(2)是对的； (D) 只有(3)是对的。 3. 某人骑自行车以速率v向正西方向行驶，遇到由北向南刮的风 (风速大小也为v) 则他感到风是从 【 C 】 Created by XCH Page 3 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 (A) 东北方向吹来；(B) 东南方向吹来； (C) 西北方向吹来；(D) 西南方向吹来。 4. 在相对地面静止的坐标系内，A、B两船都以2m?s的速率匀速行驶，A船沿X轴正向，B船沿y轴正向，今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x，y方向单位矢量i,j表示)，那么从A船看B船它相对A船的速度(以m?s (A)2i?2j,?1?1??????(B)?2i?2j,??(C)?2i?2j,为单位)为 【 B 】 ?? (D)2i?2j；5. 一条河设置A， B两个码头，相距1 km，甲，乙两人需要从码头A到码头B，再由B返回，甲划船前去，船相对河水的速度4 km/h；而乙沿岸步行，步行速度也为4 km/h，如河水流速为2 km/h，方向从A到B下述结论中哪个正确? (A) 甲比乙晚10分钟回到A； (C) 甲比乙早10分钟回到A； 二、填空题 【 A 】 (B) 甲和乙同时回到A； (D) 甲比乙早2分钟回到A ???1. 在x，y面内有一运动质点其运动方程为 r?10cos5ti?10sin5tj(SI)，则t时刻 ???其速度v??50sin5ti?50cos5tj；其切向加速度a??0；该质点运动轨迹是x2?y2?100。 2. 一质点作如图所示的抛体运动，忽略空气阻力。回答: ?dvdv(A) 标量值是否变化：变化；矢量值是否变化：不变；an是否变化：变化 dtdtv0(v0cos?)2(B) 轨道最高点A的曲率半径?A?，落地点B的曲率半径?B?。 ggcos?填空题(2)2填空题(4)3. 试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况v?0 (1) at?0,an?0：变速曲线运动 (2) at?0,an?0：变速直线运动， at,an分别表示切向加速度和法向加速度。 4. 如图所示，小球沿固定的光滑的1/4圆弧从A点由静止开始下滑，圆弧半径为R，则小球在A点处的切向加速度at?g，小球在B点处的法向加速度an?2g。 5. 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P做半径为R的圆周运动，其路程S随时间的变化规律为 S?v0t?12bt,其中v0和b都是正的常量，则t时刻齿尖P的速度大小为：v0?bt，加速度大小22(v0?bt)4为：a?b?。 2R6. 一物体在某瞬时，以初速度v0从某点开始运动，在?t时间内，经一长度为S的曲线路径后，又回到出发点，此时速度为?v0，则在这段时间内: ??Created by XCH Page 4 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ?2v0S (1) 物体的平均速率是； (2) 物体的平均加速度是?。 ?t?t7. 一质点沿半径为R的圆周运动，路程随时间的变化规律为S?bt?12ct(SI),式中b，c为大于2b?R?2零的常数，且???。 c?c?1(b?ct)2 (1) 质点运动的切向加速度：a???c；法向加速度：an?； R (2) 质点经过t?bR时，at?an。 ?cc28. 质点沿半径R作圆周运动，运动方程为??3?2t(SI)，则t时刻质点法向加速度大小 an?16Rt2，角加速度??4，切向加速度大小a??4R。 9. 楔形物体A的斜面倾角为?，可沿水平方向运动，在斜面上物体B沿斜面以vt相对斜面下滑时，物体A的速度为v，如图，在固接于地面坐标oxy中，B的速度是 填空题(9)?????矢量式 vB地?(vtcos??v)i?(?vtsin?)j 分量式 vx?vtcos??v，vy??vtsin? 三、计算题 1. 如图，一质点作半径R=1m的圆周运动， t=0时质点位于A点，然后顺时针方向运动，运动方程s??t??t(SI)求： (1) 质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率；(2) 质点在1秒末的速度和加速度的大小。 2? (1) 质点绕行一周所需时间：?t2??t?2?R，t?1s 质点绕行一周所经历的路程：s?2?R?2?(m) ???r??0 位移：?r?0；平均速度：v??t平均速率：v?s?2?m/s ?tds?2?t?? dt计算题(1)(2) 质点在任一时刻的速度大小：v?v22dv?22)?()2 加速度大小：a?an?a??(Rdt质点在1秒末速度的大小： v?3?(m/s) 加速度的大小：a?(9?)?(2?)，a?88.96(m/s) ?222?2计算题(2)Created by XCH Page 5 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 MR2?2mr2?1，??0.95rad/s 当人走到台边时，转台和人一起转动的角速度：??22MR?2mR *5. 均匀细麦杆长为L，可绕通过中心O的固定水平轴在铅垂面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置。一质量与麦杆相同的甲虫以速度v0垂直落到麦杆的1/4长度处，落下后立即向端点爬行。试问： (1)为使麦杆以均匀的角速度转动，甲虫沿麦杆的爬行速度应是多少？(2)为使甲虫在麦杆转到铅直位置前能爬到端点，甲虫下落速度v0最大是多少？ ? 研究系统为甲虫和麦杆，碰撞为完全非弹性碰 撞，系统对转轴的角动量守恒： 计算题(5) 1111ml2?0?mv0l?ml2?0?m(l)2?0 12412412v0麦杆开始转动的角速度：?0? 7l此后麦杆和甲虫在甲虫重力矩的作用下绕定轴转动，将甲虫和麦杆视为一个系统，甲虫在任意位置r时，系统对转轴的角动量：L?根据角动量定理：mgrcos??1ml2??mr(?r) 12 dLgcos??2m?rv，甲虫相对于麦杆爬行的速度：v? dt2?gcos?0td???0，???0t，所以：v?根据题目要求：???0，又因为：?? dt2?0麦杆由水平位置转到铅直位置所需要的时间：t?? 2?0gcos?0t1甲虫爬行的距离：l??vdt??dt 42?000tt?0? 2g12v07，代入?0?，得到甲虫下落的最大速度：v0?l7l6gL 2单元五 刚体力学习题课 （二） 1. 一电机的电枢转速为1800 r/min，当断电后，电枢经20s停下，试求 (1) 在此时间内电枢转了多少圈? (2) 电枢经过10 s时的角速度以及电枢周边的线速度，切向加速度和法向加速度。 ? 刚体绕定轴转动的角速度：???0??t，?????0t，????0t，???3?rad/s 2Created by XCH Page 31 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 转过的角度：???0t?12??t， ??600?rad，转过的圈数：N??300 22?dv?R?，a???0.3?m/s2 dt当t?10s，???0??t，??30?rad/s 线速度：v??R?3?m/s，切向加速度：a??v2?R?2，an?90?2m/s2 法向加速度：an?R2. 两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，定点在同一水平线上。小滑轮的质量为m、半径r，对轴的转动惯量J=mr/2，大滑轮的质量m’=2m、半径r’=2r，对轴的转动惯量J’=m’r’/2。一根不可伸缩的轻质细绳跨过两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A和B。A的质量为m，B的质量为m’=2m。这一系统由静止开始转动。已知m=6.0 kg，r=5.0 cm。求两滑轮的角加速度和它们之间绳子的张力。 解答： 各物体受力情况如图所示。 2 2 计算题(2)12mr?A 2TA?mg?ma，(2m)g?TB?(2m)a，(T?TA)r?1(TA?T)(2r)?(2m)(2r)2?B，a?r?A?(2r)?B 2由上述方程组解得：?A?2g1，?A?43.6rad/s， ?B??A，?B?21.8rad/s 9r2T?4mg，T?78.4N 3 3. 一轴承光滑的定滑轮，质量为M=20.0 kg，半径为R=0.10 m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m=5.0 kg的物体，如图所示。已知定滑轮的转动惯量为 J?1MR2，其初角速度?0=10.0 rad/s，方向垂直纸面向里。求： 2(1) 定滑轮的角加速度； (2) 定滑轮的角速度变化到?=0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度。 ? 研究对象物体和滑轮，系统受到mg, Mg, N三个力，只有mg 保对转轴的力矩不为零。 1d[(mR2?MR2)?]dL2根据角动量定理：?mgR? ?dtdt计算题(3)Created by XCH Page 32 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ?mgR?(m?212mgM)R2?，?????32.7rad/s2 2R(M?2m)2 ??0根据：???0?2??，当??0, ???1.53rad 2?2 ?R?0物体上升的高度：h??R??0.153m 2?物体回到原处时，系统重力矩做的功为零，所以系统对转轴的角动量守恒 定滑轮的角速度：???0?10rad/s，方向与原来相反。 24. 长为L的均匀细杆可绕端点O固定水平光滑轴转动。把杆摆平后无初速地释放，杆摆到竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。球的质量与杆相同。设碰撞是弹性 ，求碰后小球获得的速度。 ? 研究对象为直杆和小球 过程一为直杆在重力矩的作用下，绕通过O的轴转 动，重力矩做的功等于直杆的转动动能 根据刚体动能定理： 计算题(4)11mgl?JO?2?0 223g l 碰撞前的角速度：??过程二为直杆和小球发生弹性碰撞：系统的角动量和动能守恒 111JO??JO?'?mvl和JO?2?mv2?JO?'2， 222将??3g13gl 代入上述两式：得到v?l2*5. 质量分别为M1, M2，半径分别为R1,R2的两均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。原来它们沿同一转向分别以?10和?20的角速度匀速转动，然后平移二轴，使它们的边缘相接触。求最后在接触处无相对滑动，每个圆的角速度是?1和?2。对上述问题有以下解法： 在接触处无相对滑动，二圆柱边缘的线速度相等。 计算题(5)则：?1R1??2R2，二圆柱系统角动量守恒：?10J1??20J2?J1?1?J2?2 解以上二式即可解出?1,?2。你对这种解法有何意见? ? 这种做法是错误的，因为刚体定轴转动的角动量守恒定律，角动量是对于同一个转轴而言的。 两个圆柱接触时，受到一对作用与反作用力，但对各自的转轴产生的力矩不相等，对两个圆柱分别应用角动量定理。 Created by XCH Page 33 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 tt对于圆柱1：??0tfR1dt?J1?1?J1?10，??fdt?0tJ1?1?J1?10 R1J2?2?J2?20 R2对于圆柱2：??0fR2dt?J2?2?J2?20，??fdt?0J1?1?J1?10J2?2?J2?20 ?R1R2利用：?1R1???2R2（接触最后两个圆柱转动方向相反），J1?112M1R12，J2?M2R2 22?1? M1R1?10?M2R2?20?M1R1?10?M2R2?20，?2? (M1?M2)R1(M1?M2)R26. 轮A的质量为m，半径为r，以角速度?1转动；轮B质量为4m，半径为2r，可套在轮A的轴上。两轮都可视均匀圆板。将轮B移动，使其与轮A接触，若轮轴间摩擦力不计，求两轮转动的角速度及结合过程中的能量损失。 ? 研究系统为两个滑轮，结合过程中，角动量守恒 1211mr?1?0?[mr2?(4m)(2r)2]? 2221???1 17结合前系统的动能：E1?结合后系统的动能：E2?计算题(6) 1122(mr)?1 22112211(mr)??[(4m)(2r)2]?2 2222114E2?mr2?12，?E?E1?E2?mr2?12 41717*7. 一轮绳绕过一半径为R， 质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳的一端，而绳的另一端系一质量为M/2重物。求当人相对于绳匀速上爬时重物上升的加速度为多少? ? 研究对象为滑轮、人和物体，受力分析如图所示，根据刚体绕 固定轴的转动定理和牛顿定律，列出运动方程。 Mg?T1?Ma, T2?Mg/2?Ma'/2 T1R?T2R?1M2R?（将滑轮看作是均质圆盘） 24a?? R计算题(7)因为人相对于绳子是匀速运动，所以a?a',将T1?Mg?Ma，T2?MM1M24a?g, 代入T1R?T2R?R?，得到：a?g 222413Created by XCH Page 34 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 单元六 库仓定律 电场 电场强度 （一） 一． 选择、填空题 1. 下列几种说法中哪一个是正确的? 【 C 】 (A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； (B) 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同； ???F(C) 场强方向可由E?定义给出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷 q所受的电场力； (D) 以上说法都不正确。 2. 一带电体可作为点电荷处理的条件是 【 C 】 (A) 电荷必须呈球形分布； (B) 带电体的线度很小； (C) 带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计； (D) 电量很小。 3. 在坐标原点放一正电荷Q，它在P点 (X=+1，Y=0 ) 产生的电场强度为E，现在，另外有一 个负电荷-2Q，试问应将它放在什么位置才能使P点的电场强度等于零? 【 C 】 ?(A) X轴上x>1； (B) X轴上0 (C) X轴上x<0； (D) Y轴上y>0； (E) Y轴上y<0。 选择题(3)选择题(4)选择题(5) 4. 在一个带有正电荷的均匀带电球面外，放置一个电偶极子，其电矩p的方向如图所示。当释放 后，该电偶极子的运动主要是： 【 D 】 ??(A) 沿逆时针方向旋转，直至电矩p沿径向指向球面而停止； ?(B) 沿顺时针方向旋转，直至电矩p沿径向朝外而停止； ?(C) 沿顺时针方向旋转至电矩p沿径向朝外，同时沿电力线方向远离球面移动； ?(D) 沿顺时针方向旋转至电矩p沿径向朝外，同时逆电力线方向向着球面移动。 5. 图中所示为一沿X轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为??(x?0)和 ???(x?0)则OXY坐标平面上点(0，a)处的场强E为 【 B 】 (A) 0； (B) ???i； (C) i； (D) (i?j)。 2??0a4??0a4??0aCreated by XCH Page 35 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 sv ??Kds??(m?M)dv， 其中v'0?0v'0mv01，s??[(m?M)(v?v'0)] m?MK当船和砂袋运动停止时：v?0， s?31mv0 K4. 一特殊弹簧，弹性力F??Kx，K为倔强系数，x为变形量，现将弹簧水平放置于光滑的水平上，一端固定，一端与质量为 m 的滑块相连而处于自然状态，今沿弹簧长度的方向给滑块一 ?个冲量，使其获得一速度v压缩弹簧，问弹簧被压缩的最大长 度为多少？ ? 研究对象：滑块和弹簧 过程一：小球获得动量mv?I x计算题(4)3过程二：任一位置时弹簧力做的功：A??Kxdx， 0?1A??Kx4 4根据动能定理：?1411Kx?mv'2?mv2 42221212mv4当v'?0，弹簧压缩最大，满足：mv?Kxmax，xmax?4 24K5. 如图所示，两个带理想弹簧缓冲器的小车A和B，质量分别为m1和m2，B不动，A以速度v0与B碰撞，若弹簧的倔强系数分别为k1和k2，不计摩擦，求两车相对静止时，其间的作用力为多大？（不计弹簧质量） 计算题(5)? 研究对象：小车A、B及弹簧为一个系统，系统水平方向上 系统动量守恒。 碰撞后的任一时刻满足：m1v0?m1v1?m2v2 机械能守恒：m1v0?12211112222k1x1?k2x2?m1v1?m2v2 2222两弹簧之间的作用力满足：k1x1?k2x2 碰撞后小车A减速运动，小车B加速运动，直到两个小车的速度相同时，即两车相对静止，弹簧达到最大压缩量。小车A和B的动量和动能满足 m1v0?(m1?m2)v 和 1111222m1v0?k1x1?kx?(m1?m2)v2 max22max2222由上述两式和k1x1max?k2x2max，解得：x2max?v0m1m2k1， k2(m1?m2)(k1?k2)F?k2x2max?v0m1m2k1k2 (m1?m2)(k1?k2)Created by XCH Page 21 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 单元四 刚体基本运动，转动动能 （一） 一、 选择、填空题 1. 一刚体以每分钟60转绕Z轴做匀速转动 (?沿转轴正方向)。设某时刻刚体上点P的位置矢量为 ???? r?3i?4j?5k，单位10?2m，以10?2m为速度单位，则该时刻P点的速度为： 【 B 】 ??????? (A)V?94.2i?125.6j?157.0k(B)V??25.1i?18.8j ????? (C)V??25.1i?18.8j (D)V?31.4k 2. 一质量为m的均质杆长为l，绕铅直轴OO’成?角转动，其转动惯量为 【 C 】 11ml2; (B)ml2sin2? 12411选择填空(2)(C)ml2sin2?; (D)ml2 333. 轮圈半径为R，其质量M均匀布在轮缘上，长为R，质量为m的均质辐条固定在轮心和轮缘间，辐条共有2N根。今若将辐条数减少N根但保持轮对通过轮心，垂直于轮平面轴的转动惯量保持不 (A)变，则轮圈的质量为 【 D 】 NN2NNm?M；(B)m?M；(C)m?M；(D)m?M 126334. 一飞轮作为匀减速转动，在5s内角速度由40?rad?s?1?10?rad?s?1，则飞轮在这5s内总共转过了62.5圈， 飞轮再经1.67s的时间才能停止转动。 (A)5. 半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.50rad?s的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度at?0.15m/s2，法向加速度an?1.26m/s2。 6．如图所示，绕定轴O转动的皮带轮，时刻t，轮缘上的A点速度大小为vA=50 cm/s，加速度大小aA=150 cm/s2；轮内另一点B的速度大小vB=10 cm/s，已知这两点到轮心距离相差 选择填空(6)?220 cm，此时刻轮的角速度为2rad/s，角加速度为 4.47rad/s2，点B的加速度为30cm/s2。 二、 计算题 1. 一汽车发动机的转速在8秒内由600 r/min均匀地增加到3000 r/min (1) 求在这段时间内的初角速度ω0、末角速度ω以及角加速度β； (2) 求这段时间内转过的圈数N。 2?n2?n?20?rad/s，???100?rad/s ? (1)???0??t，?0?6060Created by XCH Page 22 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ?????0t?31.4rad/s2 ?1?240圈 (2)???0t??t2，??480?rad，N?2?2 *2. 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，孔心在半径的中点。求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 ? 应用负质量法来计算 质量为M，半径为R的匀质圆盘的质量面密度： ??M， ?R2计算题(2)Mr22??r?2M的匀质圆盘对过半径为r、质量m?2?RR12R2大圆盘中心O的转动惯量为：JmO?mr?m() 22剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为：JO?1MR2?2JmO 21R212r42222JO?MR?mr?2m()，JO?M(R?r?2) 222R 3. 如图所示，发电机的皮带轮 A 被汽轮机的皮带轮B带动， A轮和B轮的半径分别为r1?30cm,r2?75cm。已知汽轮机在启动后以匀角加速度0.8?rad?s转动，两轮与皮带间均无滑动。 ?2(1) 经过多少时间后发电机的转速为600 r/min? (2) 当汽轮机停止工作后，发电机在1min内由600r/min减 到300r/min，设减速过程是均匀 的，求角加速度及在这1min内转过的圈数。 计算题(3)? (1)皮带无滑动：v1?v2，?1r1??2r2，?2??2t t??1r12，?2?0.8?rad/s,r2?2?1?2??600?20?rad/s， t?10s 60(2)对于发电机：?10? 2??6002??300?20?rad/s，?11??10?rad/s 60602?1??11??10t???6rad/s， ??211??210?1??900?rad, N1?1?450圈 2?2?1对于气轮机：?1r1??2r2，?2??1r1r2，?2???15rad/s2 Created by XCH Page 23 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 因为：2?N1r1?2?N2r2，N2?N1r1?180圈 r24. 试求地球赤道上一点在地球自转时的向心加速度与地球绕太阳运动时的向心加速度大小之比。假定地球绕太阳运动的轨道是圆形的。地球半径为Rearth=6370 km，地心到太阳中心的距离为 Rearth-sun=1.49?108 km。 2? 地球赤道一点的向心加速度：aearth??自转Rearth，?自转?2? 24?3600 aearth?(2?)2Rearth 24?36002? 365?24?36002地球绕太阳运动时的向心加速度：asun??公转Rearth?sun，?公转?2asun??公转Rearth?sun?(2?)2Rearth?sun 365?24?3600 aearthasun2?)2RearthaReartha224?3600，earth?(365)， earth?5.65 ?2?asunRearth?sunasun()2Rearth?sun365?24?3600( 5. 已知蒸汽涡轮机在发动时，其转轮的转角与时间的三次方成正比。当t=3秒时，转轮的转速为 n=810 r/min, 求轮转的转动方程。 d??3at2 ? 根据题意??at3?b，??dt t=3秒时，转轮的转速为n=810r/min，??2?nrad/s?27?rad/s 6027?rad/s?3?a?32，a??，所以轮转的转动方程为：???t3 单元四 绕定轴转动的刚体的转动定律 动能定理 （二） 一、 选择、填空题 *1. 一半径为R，质量为m的圆形平板在粗糙水平桌面上，绕垂直于平板器且过圆心的轴转动，摩擦力对OO’轴之力矩为 【 A 】 21?mgR；(B)?mgR；(C)?mgR；(D)0 322. 将一轻绳绕过一滑轮边缘，绳与滑轮之间无滑动，若 (1) 将重量为P的砝码挂在绳端; (2) 用一恒力为F=P向下拉绳端，如图所 (A)示，分别用?a和?b表示两种情况下滑轮的角加速度，则 (1) 两滑轮所受力矩方向是垂直纸面向里; 滑轮转动方向为顺时 针方向转动。 选择题(2)(2) ?a和?b的关系是： 【 C 】 Created by XCH Page 24 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 (A)?a??b；(B)?a??b；(C)?a??b；(D)不能确定 *3. 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度为?0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度?的平方成正比，比例系数为k (k为大于0的常数)，当??1?0时，飞轮的角加速度3K?012J，从开始制动到???0所经过的时间t?。 ???39J?0K4. 一根均匀棒长l，质量m，可绕通过其一端且与其垂直的定轴在铅直面内自由转动，开始时棒静止水平位置，它当自由下摆时，它的角速度等于0，初角加速度等于端垂直于棒的转动惯量为J?23g。已知均匀棒对于通过其一2l12ml。 35. 在半径为R的定滑轮上跨一细绳，绳的两端分别挂着质量为m1和m2的物体，且m1>m2。若滑轮的角加速率为?，则两侧绳中的张力分别为T1?m1g?m1R?，T2?m2g?m2R?。 二、 计算题 1. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动，假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为J?1MR2，滑轮轴光滑。试求该物体由静止2下落的过程中，下落速率与时间的关系。 ? 研究系统：物体和滑轮，受力分析如图所示 当物体下降x距离时，物体和滑轮的运动方程为 mg?T?ma 计算题(1)1aMR2?, T?T',?? 2Rdv1dvmg?T?m，T?M dt2dt1dv2mg2mgdt, v?t 两式相加得到：mg?(m?M)，dv?2dt(2m?M)(2m?M)T'R?2. 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为R，整个装置架在光滑的固定轴承之上，当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s，试求整个轮轴的转动惯量(用 m、R、t和s表示)。 ? 研究系统，物体和轮轴，受力分析如图所示 当物体下降s距离时，物体和滑轮的运动方程为 mg?T?ma T'R?J?, T?T',??a R计算题(2)Created by XCH Page 25 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 mg?T?mdvJdvJdv，T?, 两式相加得到：mg?(m?2), v?dtRdtRdtmgt J(m?2)Rgt2mg1mg2?1)mR2 tdt，s?t, J?(J2s2(m?J)(m?2)RR23. 以M=20N?m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速由零增大到100 rev/min。此时移去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用又经100 s而停止。试推算此转轮的转动惯量。 ds根据：v?，ds?dt? 设转轮受到的阻力矩：Mf 根据题意：M?Mf?J?，根据：???t1，得到：M?Mf?J移去外力矩后：?Mf?J?，根据：0????t2，得到：Mf?J所以：M?J?t1 ?t2?t1?J?t2，J?Mt1t2，J?17.4kg?m2 ?(t1?t2)计算题(4)4. 一均质细杆，质量为0.5 kg，长为0.40 m，可绕杆一端的水平轴转动。若将此杆放在水平位置，然后从静止释放，试求杆转动到铅直位置时的动能和角速度。 ?? 细棒绕通过A点的定轴转动，取顺时针转过的角度为正，当 细棒由水平位置转过角度?，重力矩做的功为： ?Ag??011mgcos?d?，Ag?mgRsin? 22根据刚体绕定轴转动的动能定理：Ag?转过任一角度时，角速度为：??杆转动到铅直位置时的动能：??111J?2?0，mglsin??J?2?0 222mglsin?123gsin?，将J?ml代入，得到：?? J3l?2，细棒的动能：Ek?1mgl, Ek?0.98J 2杆转动到铅直位置时的角速度：???2，??3g，??8.57rad/s l5. 一轻质弹簧的倔强系数为k，它的一端固定，另一端通过一条轻绳绕过一定滑轮和一质量为m的物体相连。定滑轮可看作均匀圆盘，其质量为M，半径为r，滑轮轴是光滑的。若用手托住物体，使弹簧处于其自然长度，然后松手。求物体下降h时的速度v为多大？ ? 研究系统：物体和滑轮，受力分析如图所示 当物体下降x距离时，物体和滑轮的运动方程为 计算题(5)Created by XCH Page 26 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 mg?T?ma T'r?(kx)r?1Mr2?，T?T',2??a rd2x1d2xmg?T?m2，T?(kx)?M2 dt2dt1dv1d2x两式相加：mg?kx?(m?M)2, mg?kx?(m?M)v 2dx2dt1(mg?kx)dx?(m?M)vdv 2111mgx?kx2?(m?M)v2?C，由初始条件：x?0,v?0得到：C?0 2222mgx?kx22mgh?kh2任一位置物体的速度：v?，当x?h，v? 11m?Mm?M22 方法二：当物体下降x距离时 x 弹簧力做的功：Ak??kxdx，Ak??0?12kx，重力做的功：Ag?mgx 2根据动能定理：mgx?121211kx?mv?Mv2，2mgx?kx2?(m?M)v2 22422mgx?kx22mgh?kh2任一位置物体的速度：v?，当x?h，v? 11m?Mm?M22 6. 半径为R的均匀细圆环，可绕通过环上O点且垂直于环面的水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时直径OA沿水平方向，环由此下摆，求A到达最低位置时的速度。 ? 细圆环绕通过O点的定轴转动，取顺时针转过的角度为 正，当圆环从水平位置转到垂直位置，重力矩做的功： ?2 Ag??mgRcos?d?，Ag?01mgR 211mgR?J?2?0 22计算题(6)根据刚体绕定轴转动的动能定理： ??2mgR222, 细圆环绕定轴O的转动惯量：J?mR?mR?2mR Jg, A点的速度：v?2R?，v?2gR R?? Created by XCH Page 27 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 单元五 动量矩和动量矩守恒定理 （一） 一、 选择、填空题 1. 花样滑冰运动员绕自身的竖直轴转动，开始时臂伸开，转动惯量为J0角速度为?0，然后她将两臂收回，使转动惯量减少为J?1J0。这时她转动的角速度变为 【 C 】 3(C)3?0(D)3?0 (A)1?03(B)(1/3)?02. 如图所示，一质量为m的匀质细杆AB，A端靠在光滑的竖直墙壁上，B端置于粗糙水平地面而静止，杆身与竖直方向成?角，则A端对墙壁的压力大小为 【 B 】 (A) 0.25?mg?cos? (B) 0.5?mg?tg? (C)mg?sin? (D)不能唯一确定 选择题(2)选择题(3) 3. 如图所示，一个小物体，置于一光滑的水平桌面上，一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的孔，物体原以角速度?在距孔为R的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉。则物体 【 D 】 (A) 动能不变，动量改变; (B) 动量不变，动能改变; (C) 角动量不变，动量不变; (D) 角动量不变，动量、动能都改变。 4. 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转，初始状态为静止悬挂，现有一个小球自左方水平打击细杆，设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统。 【 C 】 (A) 只有机械能守恒; (B) 只有动量守恒; (C) 只有对轴O的角动量守恒; (D) 机械能、动量和角动量均守恒。 选择题(4)选择题(5)Created by XCH Page 28 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 5. 匀质园盘水平放置，可绕过盘心的铅直轴自由转动，园盘对该轴的转动惯量为J0，当转动角速度为?0时，有一质量为m的质点落到园盘上，并粘在距轴R/2处(R为园盘半径)，则它们的角速度 ??J0?0 12J0?Rm41221ml?，动量矩为L0?ml2?。 636. 质量为m的均质杆，长为l，以角速度?绕过杆的端点，垂直于杆的水平轴转动，杆绕转动轴的动能为Ek? 二、 计算题 1. 长为l质量为m0的细杆可绕垂直于一端的水平轴自由转动。杆原来处于平衡状态。现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，正好与杆下端相碰(设碰撞为完全弹性碰撞)使杆向上摆到??60处，如图所示，求小球的初速度。 ?计算题(1)? 研究系统为小球和直杆，系统所受外力对于转轴 的力矩为零。 系统角动量守恒：mv0l?mvl? 弹性碰撞系统动能守恒： 1m0l2? 311112mv0?mv2?(m0l2)?2 2223碰撞后，直杆绕固定轴转过角度??60，直杆重力矩做的功等于直杆动能的增量 ? 111?m0gl(1?cos600)?0?(m0l2)?2 22311g?l?2 23m?3m6gl 由以上三式得到：v0?012m2. 质量为M=0.03 kg，长为l=0.2 m的均匀细棒，在一水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动，细棒上套有两个可沿棒滑动的小物体，每个质量都为m=0.02 kg，开始时，两小物体分别被固定在棒中心的两侧且距棒中心各为r=0.05 m，此系统以n1=15 rev/min的转速转动， 若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻力正比于速度。(已知棒对中心轴的转动惯量为 1Ml2)求： 12计算题(2)(1) 当两小物体到达棒端时，系统的角速度是多少? (2) 当两小物体飞离棒端，棒的角速度是多少? Created by XCH Page 29 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ? 研究系统为均匀细棒和两个可沿棒滑动的小物体，系统受到的外力对于转轴的力矩以及摩擦阻 力转轴的力矩和为零，系统的角动量守恒。 系统初始的角动量：L1?(1Ml2)?1?m?1r2?m?1r2 12物体到达棒端时系统的角动量：L2?(1llllMl2)?2?m(?2)?m(?2) 12222211l(Ml2)?1?2m?1r2?(Ml2)?2?2m?2()2 12122Ml2?24mr2?1?0.2?rad/s 求得：?2?22Ml?6ml *3. 一质量为M，半径为R并以角速度?旋转的飞轮，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图，假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上。计算： （1）问它能上升多高? （2）求余下部分的角速度，角动 量和转动动能。 当两小物体飞离棒端，由角动量守恒定律可写出 (1l1lMl2)?2?2m?2()2?(Ml2)?3?2m?2()2，?3??2?0.2?rad/s 122122? 碎片脱离前后系统的角动量守恒 11MR2??(MR2?mR2)?'?mR(R?)2211MR2??(MR2?mR2)?'?mR2? 22余下部分的角速度：?'?? v2(R?)2碎片升高：h?，h? 2g2g余下部分的角动量：L?(计算题(3)1MR2?mR2)? 2111(MR2?mR2)?2，Ek?(MR2?2mR2)?2 224余下部分的转动动能：Ek? 4. 有一圆板状水平转台，质量M=200 kg，半径R=3 m，台上有一人，质量m=50 kg，当他站在离转轴r=1m处时，转台和人一起以?1=1.35 rad/s的角速度转动。若轴处摩擦可以忽略不计，问当人走到台边时，转台和人一起转动的角速度?为多少？ 计算题(4)? 研究系统为人和转台，系统所受外力对 矩为零，系统角动量守恒： 转轴的力 11MR2?1?mr2?1?MR2??mR2? 22Created by XCH Page 30 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 r?R2： 5q1?q22000q??10?16C ， ，，?q?q?8000??q?20000??2120202294??0rr3. 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1,R2(R2?R1)带有等值异号电荷，每单位长度的电量 为?，试分别求出当 (1) r?R1; (2) r?R2; (3)R1?r?R2时离轴线为r处的电场强度。 ? 设内圆柱面带正电，外圆柱面带负电，选取半径为r，长度为l的圆柱面为高斯面，穿过高 斯面的电通量：?e?因为： ?S??E?dS?侧面???E?dS?上底???E?dS?下底???E?dS 上底???E?dS?下底???E?dS?0，所以，当r?R1,E?0，当r?R2,E?0 当R1?r?R2, 根据高斯定理得到2?r?lE? ?l?， E? 2??0r?04. 一球体内均匀分布着电荷体密度为? 的正电荷，若保持电 荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为O’，两球心间距离OO'?d，如图所示，求 ?(1) 在球形空腔内，球心O’处的电场强度Eo。 ?(2) 在球体内P点处的电场强度E，设O’、O、P三点在 同一直径上，且OP?d。 计算题(4)? O’的电场是电荷体密度为??的球体和电荷体密度为??，半径为r的球体共同产生的。 小球心O’：E?ER?Er 根据高斯定理：4?d?ER?2???143??d? ?03ER?43?d，，方向沿OO' ??d?E?R4??0d233?01电荷体密度为??，半径为r的球体在O’产生的电场：Er?0 ??????d，方向沿OO' E?ER?Er?ER，E?3?0P点的电场强度可以看作是电荷体密度为??的球体和电荷体密度为??，半径为r的球体共 ???同产生的：EP?ER?Er ?d?r3根据高斯定理可以得到：ER?，方向沿OP，Er??，方向沿O'P 3?012?0d2 ?r3EP?ER?Er?(d?2)，方向沿OP 3?04dCreated by XCH Page 41 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 单元七 静电场环路定理 电势能 电势和电势差 （一） 一． 选择、填空题 1. 静电场中某点电势的数值等于 【 C 】 (A) 试验电荷q0置于该点时具有的电势能；(B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能； (B) 单位正电荷置于该点时具有的电势能； (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力做的功。 2. 如图所示，CDEF是一矩形，边长分别为l和2l。在DC延长线上CA=l处的A点有点电荷+q，在CF的中点B点有点电荷-q，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点，则电场力所作的功等于： 【 D 】 (A) q4??ol?5?1q1?5q3?1q5?1； (B) ； (C) ；(D) ???4??ol4??ol4??ol5?l535选择题(3)选择题(2) 3. 如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、2q、3q。若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为: 【 C 】 (A) 4. 一电量为Q的点电荷固定在空间某点上，将另一电量为q的点电荷放在与Q相距r处。若设两点电荷相距无限远时电势能为零，则此时的电势能We? 5. 如图所示，在带电量为q的点电荷的静电场中，将一带电量为qo的试验电荷从a点经任意路径移动到b点，外力所作的功 23qQ43qQ63qQ83qQ； (B) ； (C) ； (D) 4??oa4??oa4??oa4??oaqQ1。 4??0rA1? qq011qq011 (?)；电场力所作的功A2?(?)。 4??0rbra4??0rarb6. 真空中电量分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r 选择题(5)Created by XCH Page 42 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 时，该电荷系统的相互作用电势能W? q1q21。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。 4??0r????7. 一偶极矩为p的电偶极子放在场强为E的均匀外电场中，p与E的夹角为?角。在此电偶极子 ??绕垂直于(p，E)平面的轴沿?角增加的方向转过180°的过程中，电场力做的功为： A??2pEcos?。 8. 一电子和一质子相距2?10的最小能量是7.2eV。 [ 二． 计算题 1. 如图:AB?2l,OCD是以B为中心，l为半径的半圆， ?10m(两者静止)，将此两粒子分开到无穷远距离时(两者仍静止)需要 14??o?9?109N?m2/C2,1eV?1.6?10?19J] A，B处分别有正负电荷q，-q，试问：(1) 把单位正电 荷从O沿OCD移动到D，电场力对它作了多少功? (2) 把单位负电荷从D沿AB延长线移动到无穷远，电场力对它作了多少功? ? 无穷远处为电势零点，两个电荷构成的电荷系在O点 和D点的电势为 UO?UP?q4??0Lq??q4??0L计算题(1)?0 1?qq ???4??03L4??0L6??0Lq6??0L (1) 单位正电荷从O沿OCD移动到D，电场力做的功：A?(?1)(UO?UP), A?(2) 单位负电荷从D沿AB延长线移动到无穷远，电场力做的功: ?qq A?(?1)(UP?U?)，A??(?0), A?6??0L6??0L *2. 在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为5.29×10 m，已知氢原子核（质子）和电子带电量各为+e和-e ( e=1.6×10 -19 -11 C )。把原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处， 所需的能量叫做氢原子的电离能。求此电离能是多少电子伏特。 1v2? 在正常状态下电子的速度满足：?m 4??or2r e212e21e21e21Ek?mv，电子的动能：，电子的电势能： Ek?EP??EP???dr，228??or4??r4??oror?Created by XCH Page 43 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 e21电子的总能量E?Ek?EP?? 8??ore21氢原子的电离能：W?E??E，E??0, W??13.6eV 8??or 单元七 电势和电势差 电势与电场强度的微分关系（二） 一． 选择、填空题 1. 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为: 【 D 】 选择题(1)(A) (C) q4??oa； (B) ； (D) q8??oa； ?q4??oa?q8??oa 2. 半径为r的均匀带电球面1，带电量为q；其外有一同心的半径为R的均匀带电球面2，带电量为Q，则此两球面之间的电势差U1?U2为: 【 A 】 (A) 11Q111qQq (?)； (B) (?)； (C) (?)； (D) 4??orR4??oRr4??orR4??or q3. 平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的相互作用力F与两极板间的电压U的关系是: 【 D 】 (A) F?U； (B) F?1/U； (C) F?1/U2； (D) F?U2 4. 在静电场中，有关静电场的电场强度与电势之间的关系，下列说法中正确的是: 【 C 】 (A) 场强大的地方电势一定高； (B) 场强相等的各点电势一定相等； (C) 场强为零的点电势不一定为零； (D) 场强为零的点电势必定是零。 5. 在电量为q的点电荷的静电场中，若选取与点电荷距离为r0的一点为电势零点，则与点电荷距离为r处的电势U? 6. 一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点，则圆盘中心O点的电势UO? 7. 电量分别为q1,q2,q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示，设无穷远处为电势 11(?)。 4??0rr0q?R。 2?0Created by XCH Page 44 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 零点，圆半径为R，则b点处的电势U?18??0R(2q1?q2?2q3)。 选择题(7)选择题(8)选择题(10) *8. AC为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为+?和-?，如图所示。 O点在棒的延长线上，距A端的距离为l.P点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l。 以棒的中心B为电势的零点。 则O点电势UO? *9. 一“无限长”均匀带电直线沿Z轴放置，线外某区域的电势表达式为U?Aln(x2?y2),式中A为常数。该区域的场强的两个分量为: Ex?? 10. 如图所示，在一个点电荷的电场中分别作三个电势不同的等势面A，B，C。 已知UA?UB?UC，且UA?UB?UB?UC，则相邻两等势面之间的距离的关系是: RB?RA?RC?RB 11. 一均匀静电场，电场强度E?(400i?600j)V?m?1, 则点a(3，2)和点b(1，0)之间的电势差Uab??2000V。 (x，y以米计) 二．计算题 1. 电荷q均匀分布在长为2l的细直线上，试求 (1) 带电直线延长线上离中心O为z处的电势和电强。(无穷远处为电势零点) *(2) 中垂面上离带电直线中心O为r处的电势和场强。 ?3ln； P点电势UP?0。 4??042Ax；Ez?0。 x2?y2???? (1)带电直线上离中心O为z’处的电荷元dq=?dz’在P点产生的电势 dU?dq1?dz' ?4??0(z?z')4??0(z?z')1l 带电直线在P点的电势：UP??LdU??1?dz'?l4??0(z?z')，UP?q8??0llnz?l z?lCreated by XCH Page 45 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 计算题(1) P点的电场强度：E?????Uqq，E?，E?k ?z4??0(z2?l2)4??0(z2?l2)(2)带电直线上离中心O为z处的电荷元dq=?dz在P点产生的电势 dU?1dq224??0z?r?1?dz224??0z?r l 带电直线在P点的电势：UP??LdU??1?dz4??0z2?r2?l l?l2?r2UP?ln 4??0lrq P点的电场强度：E???Uq，E? 22?r4??0r(r?l)?E? q4??0r(r2?l2)?r0 2. 电荷面密度分别为+?和-?的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与X轴垂直相交于 x1?a,x2??a两点。设坐标原点O处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出曲线。 计算题(2)Created by XCH Page 46 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ? 空间电场强度的分布： ???x??a：E?0 ????a?x?a：E??i ?0a?x???：E?0 0 根据电势的定义：U??a?r??E?dl 0???x??a：U?0?r??E?dl??a???E?dl，U?0?a???E?dl U??a????dx，U??a ?0?00?a?x?a：U??xa0????E?dl，U???dx，U?x x?0?0a?x???： U??r00??0??????E?dl??E?dl，U??E?dl，U???dx，U?a aaa?0?0 3. 如图所示，两个电量分别为q1?20?10C和 ?9?9计算题(3)q2??12?10C的点电荷，相距5m。在它们的连 线上距q2为1m处的A点从静止释放一电子，则该电子沿连线运动到距q1为1m处的B点时，其速度多大? (电子质量me?9.11?10?31kg,, 基本电荷 e??1.6?10?19C, 14??o?9.00?109N?m2/c2) ? 根据动能定理，静电力对电子做的功等于电子动能的增量: mv2?e(UA?UB) 12UA?v?q11q1q1q1，UA??63，UB?153V, UB?1V ?2?24??o44??o14??o14??o4 2e(UA?UB)6, v?8.7?10m/s mCreated by XCH Page 47 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 单元八 静电场中的导体 电容 电场能量（一） 一 选择、填空题 1. 三块互相平行的导体板，相互之间的距离d1和d2，且比板面积线度小得多，外面二板用导线连接。中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为?1和?2，如图所示，则比值?1/?2：【 B 】 21(A) d1/d2； (B) d2/d1； (C) 1； (D) d2 /d2 2. 两个同心簿金属球壳，半径分别为R1和R2(R2?R1),若分别带上电量为q1和q2的电荷，则两者的电势分别为U1和U2(选无穷远处为电势零点)。现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为： 【 B 】 (A) U1； (B) U2； (C) U1?U2； (D) 3. 如图所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S，有一定厚度，带电量分别为Q1和Q2。如不计边缘效应，则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为?1?1(U1?U2) 2Q1?Q2Q?Q2、?2?1、2S2S?3??Q1?Q2Q?Q2、?4?1。 2S2S选择题(1) 选择题(3)选择题(4)4. 如图所示，把一块原来不带电的金属板B，向一块已带有正电荷Q的金属板A移近，平行放置，设两板面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应。当B板不接地时，两板间电势差UAB?Qd； 2?0sB板接地时U'AB? Qd。 ?0s5. 如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电量+q，外球壳带电量-2q，静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表面?q； 外表面?q。 6. 一带电量为q、半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B Created by XCH Page 48 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 ?同心放置，如图。则图中P点的电场强度E?的电势U?q4??0r2??r，如果用导线将A、B连接起来，则A球 q4??0rC。(设无穷远处电势为零) 选择题(5) 选择题(6)选择题(10)7. 一平板电容器充电后切断电源，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变? 【 B 】 (A) 电容器的电容量；(B) 两极板间的场强；(C) 两极板间的电势差； (D) 电容器储存的能量。 8. 两个半径相同的孤立导体球，其中一个是实心的，电容为C1，另一个是空心的，电容为C2， 则C1?C2。(填>、=、<) 9. 两电容器的电容之比为C1：C2=1：2。(1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，它们的电能之比是 W12W1?，(2) 如果是并联充电，电能之比是1?，(3) 在上述两种情况下电容器系W21W22W2?。 W'9统的总电能之比又是 10. 两只电容器，C1?8?F,C2?2?F，分别把它们充电到1000V，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电势差为： 【 C 】 (A) 0V 二．计算题 (B) 200V (C) 600V (D) 1000V 计算题(1)1. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，两圆筒之间是真空。内、外筒分别带有等量异号电荷＋Q和－Q，设b-a< (1) 圆柱形电容器的电容；(2) 电容器贮存的能量。 ? 忽略边缘效应，将两同轴圆筒导体看作是无限长带电 Created by XCH Page 49 7/31/2013 《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页 体，根据高斯定理可以得到两同轴圆筒导体之间的电场强度为E?Q2??0Lr ??同轴圆筒之间的电势差：U1?U2??E?dl?根据电容的定义：C?Q2??0Llnb a2??0LQ ?bU1?U2lna1QQ1Q2DE, 将D?和E?代入, 得到 w?() 22?Lr2??0Lr2?02?Lr静电场能量密度：w?半径为r，厚度为dr的薄圆柱壳的体积：dV?2?rdr?L 该体积元存贮的静电能：dW?b1Q2()?2?rdr?L 2?02?LrQ2b1Q2电容器贮存的能量：W??ln ()?2?rdr?L，W?4??0La2?02?Lra 2. 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R(R< ? 假设直导线A、B 上单位长度分别带电＋?，－?，导线表面 的电荷可以看作是均匀分布，根据导体静电平衡的条件，导线内部的场强为零，两轴线在平面内任意一点产生的电场分别为： E1? ??，E2? 2??0(d?x)2??0x平面内一点的电场强度：E?E1?E2，E?导线之间的电势差：UABd?R?11(?) 2??0xd?x ????E?dl ABUAB??R?d?R?11 ln(?)dx, UAB???0R2??0xd?x?UAB，C?计算题(2)单位长度的分布电容：C???0d?RlnR 考虑到R< d??RlnR3. 半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：(1)每个球上分配到的电荷是多少? (2)按电容定义式，计算此系统的电容。 ? 由于d>>a、b，所以两个球可以看作是孤立导体球。设两球到达静电平衡后，表面的面电荷密 Created by XCH Page 50 7/31/2013
