13.3等腰三角形
基础巩固
1.（知识点2）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=80° C.AB=AC=2，BC=4
D.AB=3，BC=7，周长为10
2.（题型一）如图13-3-1，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）
图13-3-1
A.120° B.125° C.130° D.140° 3.（知识点1）如图13-3-2，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β.若α=10°，则β的度数是（）
图13-3-2
A.40° B.50° C.60° D.不能确定
4.（知识点3）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所组成的三角形是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
5.（知识点3）如图13-3-3，M，N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN，则∠BAN= .
图13-3-3 图13-3-4
6.（知识点1）如图13-3-4，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA＝BD，∠DAC＝12∠B，∠C＝50°，则∠BAC的度数为 . 7.（题型一）如图13-3-5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °.
图13-3-5 图13-3-6
8.（知识点2）如图13-3-6，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm.
9.（知识点1）如图13-3-7，在△ABC中，AB=AC，BE=EC.求证：∠ABE=∠ACE.
图13-3-7
10.（知识点1）如图13-3-8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，连接DE，DF⊥AB于点F.求证：∠BDF=∠ADE.（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
图13-3-8
能力提升
11.（知识点3）一个正方形和两个等边三角形的位置如图13-3-9，若∠3=50°，则∠1+∠2= °.
图13-3-9
12.（题型三）如图13-3-10，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′. （1）求证：△ABC≌△CDA.
（2）请写出图中所有的等腰三角形（不添加字母），并证明.
（3）图中阴影部分△AB′O和△CDO是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，请说明理由.
图13-3-10
答案 基础巩固
1. B 解析：A.根据三角形的内角和定理，得∠C=180°-60°-30°=90°，故不是等腰三角形；B.根据三角形的内角和定理，得∠C=180°-50°-80°=50°，故是等腰三角形；C.根据三角形中三边的关系知，任意两边之和大于第三边，而AB+AC=4=BC，故不能组成三角形；D.周长为10，而AB+BC=10，与周长相等，第三边长为0，则不能组成三角形.故选B.
2. D 解析：∵O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.∵∠BAC=70°，∴∠OBA+∠OCA=70°，∴∠OBC+∠OCB=40°，∴∠BOC=180°-40°=140°.故选D.
3.B解析：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB.∵α=10°，∠ADB=α+∠C，∴∠C=β-10°.∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，即β+β-10°=90°，解得β=50°.故选B. 4. D 解析：
图D13-3-1
如图D13-3-1，连接OP.∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，∴OP1=OP，OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2.∴
OP1=OP2，∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB.∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°.∴△P1OP2是等边三角形.故选D.
5. 90° 解析：∵BM=MN=NC=AM=AN，∴△AMN是等边三角形，
∠B=∠BAM，∴∠MAN=∠AMN=60°.∵∠B+∠BAM=∠AMN，∴∠B+∠BAM=60°，∴∠BAM=30°，∴∠BAN=∠BAM+∠MAN=30°
+60°=90°.
6. 90° 解析：设∠DAC＝x，则∠B＝2x，∠BDA＝∠C＋∠DAC＝50°＋x.∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝50°＋x.∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴2x＋50°＋x＋50°＋x＝180°，解得x＝20°.∴∠BAD＝∠BDA＝50°＋20°＝70°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝
70°＋20°＝90°.
7. 15 解析：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=
∠ABD.∵∠ADE=40°，∴∠A=90°－40°=50°.∴∠ABD=∠A=50°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12（180°－∠A）=65°.∴∠DBC=
∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°.
8. 5 解析：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABP=
∠PBD，∠ACP=∠PCE.∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠
ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长为PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5 cm. 9.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵BE=EC，∴∠EBC=∠ECB（等边对等角）.
∴∠ABE=∠ACE（等式的性质）.
10. 证明：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.
∵E是AC的中点，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE. 在△ABD中，∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°.
∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°， ∴∠BAD=∠BDF， ∴∠BDF=∠CAD， ∴∠BDF=∠ADE. 能力提升
11. 100 解析：如图D13-3-2，∠BAC=180°-90°-∠1=90°-∠1，∠ABC=180°-60°-∠3=120°-∠3，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2.在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°-∠1+120°-∠3+120°-∠2=180°，∴∠1+∠2=150°-∠3.∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°-50°=100°.
图D13-3-2
12.（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC. 在△ABC和△CDA中，∠BCA=∠DAC，
