第二学期第二次考试
高一年级数学试题
班级 姓名
注意事项：
1、全卷共三大题，22小题。满分共150分，测试时间120分钟。 2、答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。
3、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其它答案标号。
4、答非选择题时，用圆珠笔或黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上。 5、所有题目必须在规定的答题卡上作答，在试卷上作答无效。
参考公式：
???x?a?中系数计算公式b 线性回归方程y?b?(xi?1nni?x)(yi?y)i? x． ??y?b，a?(xi?1?x)2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
π
1. 下列函数中，周期为的是( )
2
xx
A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x
242. 已知向量a＝(－1，1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝( ) A．2 B．－2 C．－3 D．3 3. 化简sin 2 013°的结果是( )
A．sin 33° B．cos 33° C．－sin 33° D．－cos 33° 4. 若cos α＝－
3
，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是( ) 2
A．23 B．±23 C．－22 D．－23 π
5. 已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
6A．23 B.3 C．0 D．－3 π
2x－?的定义域是( ) 6. 函数y＝tan?4??A.
kπ3π??
?x|x≠＋，k∈Z?
28??
B.
kπ3π??
?x|x≠＋，k∈Z?
24??
C.
3π??
?x|x≠kπ＋，k∈Z?
8??
3π??
D.?x|x≠kπ＋4，k∈Z?
?
?
7. 已知|a|＝2，|b|＝5，a与b的夹角为120°，则|a＋b|等于( ) A. 19 B. 39 C.19
D.
39
8. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是( ) 13103735A. B. C. D. 31075
→
9. 如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD＝( ) 2→1→1→2→2→1→1→2→A.AB－AC B.AB＋AC C.AB＋AC D.AB－AC 33333333
10. 已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 C．等腰三角形
B．等腰直角三角形 D．以上均不正确
ππ
11. 将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一
22π?π
半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．则f??6?＝ ( ) 6A．
2121
B． C．－ D．－ 2222
12. 已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3，4)，b＝(0，2)，则|a×b|的值为( )
A．－8 B．－6 C．8 D．6 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
1?π?13. 如果cos(π＋A)＝－，那么sin?＋A?＝__________.
2?2?
14. 设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为 ． π??15.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A＞0，ω＞0，|φ|＜?的图象，则其解析式是
2
??
________________.
π??16. 设函数f(x)＝sin?2x＋?，现有下列结论： 3??①f(x)的图象关于直线x＝②f(x)的图象关于点?
π
对称； 3
?π，0?对称；
??4?
π
③把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象；
12
?π?④f(x)的最小正周期为π，且在?0，?上为增函数．
6??
其中正确的结论有________________ (把你认为正确的序号都填上)．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）
某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
推销员编号 工作年限x/年 推销金额y/万元 1 3 2 2 5 3 3 6 3 4 7 4 5 9 5
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(7分)
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (3分)
18．（本小题满分12分）
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数a的值；(3分)
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3分)
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率. (6分)
19. （本小题满分12分）
π3
2x＋?＋，x∈R. 已知f(x)＝sin?6?2?(1)求函数f(x)的最小正周期；(2分) (2)求函数f(x)的单调减区间；(5分) (3)求函数f(x)在[???,]的最大值和最小值。(5分)
6320．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(6分) →→→
(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．(6分) 21．（本小题满分12分）
如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：DE∥平面A1CB；(3分)
(2)求证：A1F⊥BE；(5分)
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(4分)
22．已知点A(1 , 0)，直线l：x?2y?3?0，点R是直线l上的一点，动点P满足
RA?2AP．
⑴求动点P的轨迹方程；(6分)
⑵动点P在运动过程中是否经过圆x2?y2?4x?3?0？请说明理由．(6分)
第二学期第一次考试
高一数学评分标准
一、选择题答题处：（本题共12小题，每小题5分，共60分） 3 4 5 6 7 8 9 题号 1 2 C D B A C B C 答案 D C 二、填空题答题处：（共4题，每题5分，共20分）
1π
13、 14、(－4，－2) 15、f(x)＝3sin?2x＋? 16、③
3??2
10 B 11 A 12 D 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）
某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
推销员编号 工作年限x/年 推销金额y/万元
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(7分)
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (3分) ^^^
解：（1）设所求的线性回归方程为y＝bx＋a. －1
x＝(3＋5＋6＋7＋9)＝6，
5－1
y＝5(2＋3＋3＋4＋5)＝3.4，
1 3 2 2 5 3 3 6 3 4 7 4 5 9 5 ^则b＝
＝
10^－^－
＝0.5，a＝y－b x＝0.4， 20^
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y＝0.5x＋0.4. ……7分 ^
(2)当x＝11时，y＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．
所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．……10分 18．（本小题满分12分）
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数a的值；(3分)
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3分)
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段
内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率. (6分)
解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01）＝1.解得a＝0.03. ……3分
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×（0.005＋0.01）＝0.85. 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544人. ……6分
（3）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2人，分别记为A，B. 成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4人，分别记为C，D，E，F. 若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种.
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种.
7
所以所求概率为P（M）＝.……12分
15
19. （本小题满分12分）
已知f(x)＝sin??
2x＋π6??＋3
2，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2分) (2)求函数f(x)的单调减区间；(5分) (3)求函数f(x)在[??6,?3]的最大值和最小值。(5分)
解：(1)T＝2π
2
＝π. ……2分
(2)由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π
2，k∈Z，
得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π
3
，k∈Z.
所以所求的单调减区间为??
kπ＋π2π
6，kπ＋3??(k∈Z)．……7分 当x?[??6,?3]时，2x?[??3,2?3]，2x???5?6?[?6,6]，(3) 当2x??6???6即x???6时f(x)的最小值是sin(??36)?2?1, 当2x?????356?2即x?6时f(x)的最大值是sin2?2?2.分
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(6分) (2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→
＝0，求t的值．(6分) 解：(1)由题设知AB→＝(3，5)，AC→
＝(－1，1)，则 AB→＋AC→＝(2，6)，AB→－AC→
＝(4，4)． 所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→
|＝42.
故所求的两条对角线长分别为42，210.……6分 (2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→
＝(3＋2t，5＋t)． 由(AB→－tOC→)·OC→＝0，
……12
得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 11
从而5t＝－11，所以t＝－.……12分
521．（本小题满分12分）
如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：DE∥平面A1CB；(3分) (2)求证：A1F⊥BE；(5分)
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(4分)
(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点， ∴DE∥BC.
又DE?平面A1CB，∴DE∥平面A1CB. ……3分 (2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC， ∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD. ∴DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1F.
又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE.∴A1F⊥BE. ……8分 (3)解：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：
如右图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又DE∥BC，∴DE∥PQ. ∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.
又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.∴A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ. ……12分
22．22．已知点A(1 , 0)，直线l：x?2y?3?0，点R是直线l上的一点，动点P满足
RA?2AP．
⑴求动点P的轨迹方程；(6分)
⑵动点P在运动过程中是否经过圆x2?y2?4x?3?0？请说明理由．(6分) ⑴设P(x , y)是轨迹上任意一点，对应的直线l上的点为R(x0 , y0)，则
RA ?(1?x0 , ?y0)，AP ?(x?1 , y)……1分，由RA?2AP得
?1?x0?2(x-1)?x0?3?2x……2分，即?……3分，因为R(x0 , y0)在直线l上，所??y?2yy??2y?0?0以
3?2x?2(?2y)?3?0……5分，即x?2y?0……6分
⑵圆x2?y2?4x?3?0即(x?2)2?y2?1……7分，其圆心为C(?2 , 0)……8分，半径r?1……9分，C(?2 , 0)到直线x?2y?0的距离d?|1?(?2)?0|2?122……10分，
?2?1?r……11分，所以动点P在运动过程中经过圆x2?y2?4x?3?0……12分 5
