常州市2013中考数学试题
注意事项：
1. 本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为20分钟，考生将答案全部填写在答题卡位
置上，写在本试卷上无效，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，考试时不允许使用计算器。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并赶写好答题卡上的考生信息。 3. 作图必须用2B铅笔，并加黑加粗，描写清楚。
一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1. 在下列实数中，无理数是 （ ）
A．2
B．3.14
C．?1 2D．3
答案:D
解析：无理数指无限不循环小数，而A、B、C分别是整数、有理数、分数，而D是无理数。
2.如图所示圆柱的左视图是 （ ）
（第2题） A． B． C． D． 答案：C
解析：圆柱体：正视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形
3. 下列函数中，图像经过点（1，-1)的反比例函数关系式是 （ ）
2?11?2y? A.y? B.y? C. x D.y?xxx答案：A
解析：将点坐标带入各个选项中，发现只有A选项符合
4.下列计算中，正确的是 （ ）
3262 44 623
A．（ab）=abB．a*a=aC．a÷a=aD．3a+2b=5ab 答案：A
解析：幂运算公式的应用，B为a的5次方，C为a的4次方，D为原式 5.已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差S甲?2S乙?21，乙组数据的方差121，下列结论中正确的是 （ ） 10A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．乙组数据的比甲组数据的波动大C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较
答案：B
解析：当均值相同时，方差越大，成绩越不稳定，反之亦然。
6.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离B．相切C．相交D．无法判断 答案：C
解析：圆半径为6，圆心到直线距离为5，当圆心到直线距离小于半径时，直线与圆相交。 7.二次函数y?ax?bx?c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x y -3 12 -2 5 -1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0 4 5 5 12 2给出了结论：
(1)二次函数y?ax?bx?c有最小值，最小值为-3； (2)当?21?x?2时，y<0; 22(3)二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。 则其中正确结论的个数是 （ ） A．3 B．2 C．1 D．0 答案：B
解析：将（-1,0），（0，-3），（3,0）代入解析式，得到二次函数为y?x?2x?3，配方后二次函数变为y?(x?1)?4，所以函数最小值为-4；此题可以借助二次函数图像，
很容易看出（2）、（3）是对的；所以正确的有2个
8.有3张边长为a的正方形纸片，4张边分别为a、b(b>a)的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸乍进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为
（ ） A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
答案：D
解析：将各个选项进行完全平方展开，C首先排除，需要9个正方形才行，A、B、D都可以，但是由于b>a，所以表达式中b越大，则面积越大，故选D
二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9.计算-(-3)=____3____,|-3|=___3____,(-3)-1=___-4____,(-3)2=___-6____. 解析：考查绝对值及相反数的运算。
10.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是_（-3,2）_____,点P关于原点O的对称点P2的坐标是_（-3，-2）_______. 解析：考查点关于x轴、y轴及原点对称问题。
11.已知一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的图象经过点A（0,-2）和点B（1,0），则 k=___2___，b=__-2____。
解析：一次函数，利用待定系数法，将A，B两点代入一次函数解析式可得k与b
12.已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是__5π____cm，扇形的面
2
积是____15π____cm（结果保留π）。
22 解析：求有关弧长、面积问题，扇形弧长l=
n?rlr ，扇形面积=121802x?3的值为0，则x?113.函数y=x?3中自变量x的取值范围是__x_>=3_____，若分式x=_32___。
解析：二次根式及分式的概念
14.我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃） 天数 25 1 26 1 27 2 28 3 则这组数据的中位数是__27______，众数是___28____。 解析：考查中位数、众数基本概念
D22
15.已知x=-1是关于x的方程2x+ax-a=0的一个根，则a=_-2或1
O______。
解析：本题主要考察一元二次方程知识点，首先可以根据x的解代入方程，BC2
得到a+a-2=0，转化为关于a的一元二次方程，从而可根据一元二次方程的四种
A解法解出a的值，用因式分解法颇为简单 （第16题）16.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，
则DC=___23_____.
解析：考查圆内相关问题。由∠BAC=120°，AB=AC得∠C=30°，则∠D=30°，
由直径所对的圆周角为直角得AB=23，∠DBC=30°，在同圆中圆周角所对的弦相等得AB=CD
17.在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数y?1的图象上，第x二象限内的点B在反比例函数y?则k=__?12_____.
2k的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，
2x 解析：考查反比例函数，相似的性质。过点A作AC垂直x轴交与C点，过点B作BD垂直与x轴于D点，由已知得?AOC∽?OBD，由OB=
|k|S?AOC?1，S??OBD22
2OA得S?AOC:S?OBD?2:1，又2
三、解答题（本大题共2小题，共18分）
18.化简（每小题4分，共8分）
4?(?2013)0?2cos600
解析：=2－1＋1 =2
本题目主要考察平方根、幂的运算和锐角三角函数最基本的知识点，属于简单题
2x1 ?x2?4x?2解析：本题目主要考察分式的化简习题，首先要去寻找分母的最小公倍数，需要注意的是当把后面分式的分母x+2化为x2－4时，分母上此时变为x－2，这时候减去的需要时一个整体－（x－2）
19.解方程组和不等式组：（每小题5分，共10分）
?x?2y?0 ?3x?4y?6?解析：本题目主要考察二元一次方程的解法，我们可以采用代入消元法或加减消元法去做 法一：我们可以把x用y代替，或把y用x代替，代入另外一个式子，从而解出其中一个字母，最后解出另外一个，此方法为代入消元法
法二：我们可以把x或y前面的系数化为相等或相反的数，从而再把他们相减或相加，起到消元的效果，此方法为加减消元法
75? x?22解析：此题目主要考察解分式方程，解分式方程的中心思想是要把分式方程转化为整式方程，最终还要把结果进行检验，以免产生增根
四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及
演算步骤）
20.（本小题满分7分）
为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）。 （1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；
（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为____72°____.
解析：本题目主要考察统计相关知识点，思路简单，主要思路为根据已知某项具体的人数及所占的比例求出总的人数，可算出各自所占的百分比，最后算出对应的圆心角的度数。该题属于基础型题。
21.（本小题满分8分）
一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ (2 ) 从箱子中随机摸出一个球，，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球， 求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图。
解：（1）∵共有3个球，2个白球， ∴随机摸出一个球是白球的概率为2/3 （2）根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，
所以，P（两次摸出的球都是白球）=2/6=1/3．
解析：此题目是和概率相关的题目，考察学科对树状图和列表法的理解；始终遵循一个原则：分母上为总的可能性，分子上为符合题目意思的可能性，在第二问中需要注意的是他是有放回的，所以共有9种选择。
五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程） 22．（本小题满分6分）
如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE。 求证：∠A=∠B。
FEDADACBBCE
（第22题） （第23题）23.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。
求证：四边形ABCD是菱形。
解析：22、23两题都是初中阶段平面几何的证明题。22题属于容易题，通过AC=CB和CD=CE、AD=BE三个条件利用SSS证明全等；23题属于中等偏容易的题型，由AB=AC，∠B=60°以及两个外角的条件，通过平分可以得知△ACD也是等边，从而原题得证。
六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）
24.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B （得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题： ∠ABC=___30°___,∠A′BC=___90°__,OA+OB+OC=__7__.
解析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC； 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求A出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C． O25.（本小题满分7分） 某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果B汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克C甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；
每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁。饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲咱饮料x（千克）。
（1） 列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2） 已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，
那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？
解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650-x）千克，根据题意得， 0.6x+0.2(650-x)≤300① 0.3x+0.4(650-x)≤240② 由①得，x≤425， 由②得，x≥200，
所以，x的取值范围是200≤x≤425；
（2）设这批饮料销售总金额为y元，
根据题意得，y=3x+4（650-x）=3x+2600-4x=-x+2600， 即y=-x+2600， ∵k=-1＜0，
∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为-200+2600=2400元．
解析：本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据A、B果汁的数量列出不等式组是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性．
七．解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 26（本小题满分6分）
用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形。设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b，则S?1a?b?1(史称“皮克公式”). 2小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表： 多边形1 格点多边形各边格点边多边形内上的格点的个数 部的格点个数 8 1 格点多边形的面积 8 多边形2 ? 一般格点多边形 7 ? a 3 ? b 11 ? S 则S与a、b之间的关系为S=____S=a+2（b-1）______(用含a、b的代数式表示)。 解析：考查了作图-应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．
27.（本小题满分9分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0）,点B(0,6)，动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB。 （1） 当OC∥AB时，∠BOC的度数为____45°或135°___; （2） 连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC
的面积的最大值。
（3） 连接AD，当OC∥AD时，
① 求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由。
yBByCDCDOAxOAx第27题备用图
解析：作为压轴题之一，27题考查了圆中的动态问题，同时对考生图形的旋转带来的变化提出了较高的能力要求。（1）较为容易，Rt△ABO是明显的等腰直角三角形；
（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2），根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE
的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积； （3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则CF=3，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°，2∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．
28.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为(a,0),(其中a>0),直线l过动点M(0,m)(0 相交于点D、E，P点在y轴上(P点异于C点)满足PE=CE,直线PD与x轴交点点Q，连接PA. (1) 写出A、C两点的坐标； (2) 当0 △HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值; (3) 当1 式表示)；若不能，请说明理由。 yCAOBx第28题 yCAOBx备用图
