§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规
划问题
2014高考会这样考 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．
复习备考要这样做 1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．
1． 二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2． 线性规划相关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 3. 应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
意义 由变量x，y组成的一次不等式 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [难点正本 疑点清源]
1． 确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． 2． 求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝
azzz
－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．要注意：当b>0时，截距取最bbbbzz
大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，
bbz
z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
b
1． 若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是__________．
答案 －5 解析 由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0， 即(m＋5)(m－10)<0，∴－5 2． 如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________． 答案 x＋y－1>0 xy 解析 平面区域的边界线方程为＋＝1， 11即x＋y－1＝0.所以平面区域满足不等式是 x＋y－1>0. 3． 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工 资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人的约束条件是________________． 50x＋40y≤2 000??* 答案 ?x∈N ??y∈N* x－y≥－1，??x＋y≤3， 4． (2012·课标全国)设x，y满足约束条件?x≥0， ??y≥0， ________． 答案 [－3,3] 则z＝x－2y的取值范围为 解析 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示， 作直线x－2y＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z＝x－2y取最大值；当直线过点B时，z＝x－2y取最小值． ???x－y＋1＝0，?y＝0， 由?得B(1,2)，由?得A(3,0)． ??x＋y－3＝0x＋y－3＝0?? ∴zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3，∴z∈[－3,3]． 5． (2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、 B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 A．1 800 元 C．2 800 元 答案 C 解析 设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元， x＋2y≤12，??2x＋y≤12，则?x≥0，??y≥0， ( ) B．2 400 元 D．3 100 元 z＝300x＋400y. 作出可行域，如图阴影部分所示． 作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时， z＝300x＋400y取最大值， ?x＋2y＝12，?x＝4，??由?得? ??2x＋y＝12y＝4，?? ∴A(4,4)， ∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800. 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 x≥0，?? 例1 若不等式组?x＋3y≥4， ??3x＋y≤4 分，则k的值是 7 A. 3 4 所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部 3 3D. 4 ( ) 3B. 74C. 3 440，?在已知的平面区域内，直线系过定点?0，?，思维启迪：画出平面区域，显然点??3??3?结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可． 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图所示． 444 0，?.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面由于直线y＝kx＋过定点??3?33区域． 15? 因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D??2，2?. 15?45k4 ，时，＝＋， 当y＝kx＋过点??22?32237 所以k＝. 3 探究提高 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，画出图形后，面积关系可结合平面知识探求． 0≤x≤2，?? 已知关于x，y的不等式组?x＋y－2≥0， ??kx－y＋2≥0 则k的值为 A．1 所表示的平面区域的面积为4， ( ) B．－3 D．0 C．1或－3 答案 A 解析 其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定 一个封闭的区域，作出平面区域即可求解． 平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程， 得k＝1. 题型二 求线性目标函数的最值 7x－5y－23≤0?? 例2 已知x，y满足条件?x＋7y－11≤0 ??4x＋y＋10≥0 ，求4x－3y的最大值和最小值． 思维启迪：目标函数z＝4x－3y是直线形式，可通过平行移动，求最值． 7x－5y－23≤0?? 解 不等式组?x＋7y－11≤0 ??4x＋y＋10≥0 表示的区域如图所示． 可观察出4x－3y在A点取到最大值，在B点取到最小值． 解方程组 ??7x－5y－23＝0?， ?4x＋y＋10＝0? ??x＝－1得?， ?y＝－6? 则A(－1，－6)． ???x＋7y－11＝0?x＝－3解方程组?，得?. ?4x＋y＋10＝0???y＝2 则B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分别为14，－18. 探究提高 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得． (2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系． (2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 ?0≤x≤ ?y≤2，?x≤2y A．3 答案 B 2， →→ 给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·OA 的最大值为 ( ) B．4 C．32 D．42 解析 由线性约束条件 ?0≤x≤ ?y≤2，?x≤2y 2， →→ 画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝OM·OA＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)的坐标代入z＝2x＋y得z的最大值为4. 题型三 线性规划的简单应用 例3 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过 9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙 两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 思维启迪：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题． 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得 x＋y≤300，?? ?500x＋200y≤90 000，??x≥0，y≥0. 目标函数为z＝3 000x＋2 000y. 二元一次不等式组等价于 x＋y≤300，?? ?5x＋2y≤900，??x≥0，y≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如图： 作直线l：3 000x＋2 000y＝0， 即3x＋2y＝0. 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． ??x＋y＝300，联立? ?5x＋2y＝900.? 解得x＝100，y＝200. ∴点M的坐标为(100,200)， ∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)． 即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． 探究提高 解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答． (1)(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资 金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为 A．50,0 ( ) B．30,20 D．0,50 C．20,30 2x－y＋2≥0，?? (2)如果点P在平面区域?x＋y－2≤0， ??2y－1≥0的最小值为 3 A. 2 B. 上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ| ( ) 4 －1 5 C．22－1 答案 (1)B (2)A D.2－1 x＋y≤50，?? 解析 (1)设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知?1.2x＋0.9y≤54， ??x，y∈N＋，＝x＋0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示． 求目标函数z 当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大． 13 0，?，Q取点(0，－1)时，|PQ|有最小值为. (2)如图，当P取点??2?2 利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值 x－4y＋3≤0?? 典例：(12分)变量x、y满足?3x＋5y－25≤0 ??x≥1 ， y (1)设z＝，求z的最小值； x(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围； (3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围． 审题视角 (x，y)是可行域内的点．(1)z＝ y－0 可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线的斜x－0 率．(2)x2＋y2可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线距离的平方．(3)x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2可以理解为点(x，y)与(－3,2)的距离的平方．结合图形确定最值． 规范解答 x－4y＋3≤0?? 解 由约束条件?3x＋5y－25≤0，作出(x，y)的可行域如图所示． ??x≥1 ??x＝1 由?， ?3x＋5y－25＝0? 22 1，?. 解得A?5?? ?x＝1? 由?，解得C(1,1)． ?x－4y＋3＝0???x－4y＋3＝0由?，解得B(5,2)．[4分] ?3x＋5y－25＝0? yy－0(1)∵z＝＝. xx－0 ∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率． 2 观察图形可知zmin＝kOB＝.[6分] 5 (2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[9分] (3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝?－3－5?2＋?2－2?2＝8. ∴16≤z≤64.[12分] 温馨提醒 (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． (3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题． 方法与技巧 1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)． 2．求最值：求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截azz 式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取 bbb得． 3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 失误与防范 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． zz 2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，bbzz z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小 bbz 值；截距取最小值时，z取最大值． b A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 设A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴 影部分)是 ( ) 答案 A x＋y>1－x－y，??1 解析 由已知得?x＋?1－x－y?>y，即y<2， ??y＋?1－x－y?>x，1 ?? ???x<2.1x＋y>，2 x≥0，??y≥0， 2． (2011·湖北)直线2x＋y－10＝0与不等式组?x－y≥－2， ??4x＋3y≤20 表示的平面区域的公共点有 ( ) A．0个 答案 B 解析 在坐标平面内画出直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个． x＋2y≥2，?? 3． (2012·山东)设变量x，y满足约束条件?2x＋y≤4， ??4x－y≥－1， 是 B．1个 C．2个 D．无数个 则目标函数z＝3x－y的取值范围 ( ) 3 －，6? A.??2?C.[－1，6] 答案 A 3 －，－1? B.??2?3－6，? D.?2?? 解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向左上、右下平移． 由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值． ??x＋2y－2＝0，由?解得A(2,0)； ?2x＋y－4＝0???4x－y＋1＝0，1?由? 解得B??2，3?. ?2x＋y－4＝0? 13 ∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－. 223 －，6?. ∴z＝3x－y的取值范围是??2? 4． 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原 料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料x箱， 乙车间加工原料y箱， x＋y≤70?? 则?10x＋6y≤480??x，y∈N ( ) 目标函数z＝280x＋200y， 结合图象可得：当x＝15，y＝55时，z最大． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． (2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那 么2x－y的最小值为________． 答案 1 解析 令b＝2x－y，则y＝2x－b，如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b， 当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1. ??3≤2x＋y≤9，6． (2011·课标全国)若变量x，y满足约束条件?则z＝x＋2y的最小值为 ?6≤x－y≤9，? ________． 答案 －6 解析 作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)． 易知直线z＝x＋2y过点B时，z有最小值． ???x－y＝9，?x＝4，由?得? ??2x＋y＝3y＝－5.?? 所以zmin＝4＋2×(－5)＝－6. 7． 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产 每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元． 答案 27 解析 设生产甲产品x吨、乙产品y吨， 则获得的利润为z＝5x＋3y. x≥0， ??y≥0， 由题意得?3x＋y≤13， ??2x＋3y≤18，可行域如图阴影所示． 由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)． 三、解答题(共22分) 8． (10分)画出2x－3 ?y>2x－3，? 解 先将所给不等式转化为? ?y≤3.? 而求正整数解则意味着x，y还有限制条件， y>2x－3??即求?y≤3 ??x，y>0 的整数解． ?y>2x－3?所给不等式等价于? ??y≤3. 依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)． y>2x－3，?? 对于2x－3 ??x，y>0 表示的平面区域．如图(2)所示： 可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组． 9． (12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某 投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目， ??0.3x＋0.1y≤1.8， 由题意知?x≥0， ??y≥0， x＋y≤10， 目标函数z＝x＋0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域． 将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最 大． 这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点． ??x＋y＝10， 解方程组? 得x＝4，y＝6， ?0.3x＋0.1y＝1.8，? 此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值， 所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大． B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) x＋y－3≤0，?? 1． (2012·福建)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件?x－2y－3≤0， ??x≥m， 最大值为 1 A．－ 2答案 B 则实数m的 ( ) B．1 3C. 2 D．2 解析 在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及 ??x＋y－3≤0，? 所表示的平面区域，如图阴影部分所示． ?x－2y－3≤0? 由图可知，当m≤1时， 函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件， 故m的最大值为1. 2． (2012·课标全国)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x， y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是 A．(1－3，2) C．(3－1,2) 答案 A B．(0,2) D．(0,1＋3) ( ) 解析 如图， 根据题意得C(1＋3，2)． 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2 3． 设不等式组?x－2y＋3≥0， ??y≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( ) 28 A. 5答案 B 解析 B．4 12 C. 5 D．2 x≥1?? 不等式组?x－2y＋3≥0 ??y≥x ???x＝1?x＝1 ，所表示的平面区域如图所示，解方程组?，得?. ?y＝x???y＝1 |3－4－9| 点A(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离为d＝＝2，则|AB|的最小值为4. 5二、填空题(每小题5分，共15分) y≤x，?? 4． 已知z＝2x－y，式中变量x，y满足约束条件?x＋y≥1， ??x≤2， 答案 5 则z的最大值为________． 解析 在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x－y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时，相应直线在x轴上的截距最大，此时z＝2x－y取得最大值，最大值是z＝2×2－(－1)＝5. x＋2y－3≤0，?? 5． 已知变量x，y满足条件?x＋3y－3≥0， ??y－1≤0， 若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处 取得最大值，则a的取值范围是__________． 1 ，＋∞? 答案 ??2?解析 画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大11 值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，∴a>. 226． (2011·湖北改编)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1， 则z的取值范围为__________． 答案 [－3,3] 解析 ∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b， ∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0， 即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分， ∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，zmin＝3. ∴z∈[－3,3]． 三、解答题 7． (13分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水 化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至 少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则x≥0，y≥0， ??12x＋8y≥64， 依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足?6x＋6y≥42， ??6x＋10y≥54，x≥0，y≥0， ??3x＋2y≥16，即?x＋y≥7，??3x＋5y≥27. 画出可行域如图所示． 让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移， 2．5x＋4y在(4,3)处取得最小值，由此可知z＝22. 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
