2019届苏教版（文科数学） 导数法妙解极值、最值问题 单元测试
1．【辽宁省丹东市2018年高三总复习质量测试（二）】已知函数值10，则
，在
处取得极
A． 4或-3 B． 4或-11 C． 4 D． -3 【答案】C
∴
．
故选C．
点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．
（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值． 2．【新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验】若函数是（ ） A． B． 【答案】C
C．
D．
有极大值，则实数的取值范围
①∴
时，令是
，解得：，
时，，时，，
的极小值点，
时，，即
∴一定存在，使
时，
，即，∴
， 符合题意；
②时，
，
，时，，
， ，
递减，在
，
，
故∴③
在递增，故不存在极大值，
不符合题意； 时，若
，
，
时，
，
时，
，
时，
，∴
在上递增，函数一定没有极大值，综上可得只有C选项符合题意.
点睛：本题考查了函数的单调性，函数的极值与最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，有一定难度. 3．已知函数A． C． 【答案】D
有两个极值点，，则下列结论正确的是
B．
D．
4．【江西省景德镇市第一中 等盟校2018届高三第二次联考】若函数个极值点，则实数的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
有两
【答案】B 【解析】分析：函数
一元二次方程根与系数之间的关系求解即可. 详解：
，
有两个根，
设
，则关于的方程
有两个正根，
有两个极值点，
，
有两个极值点，等价于
有两个根，换元后利用
可得，
实数的取值范围是，故选B.
点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有三个：一是对于发方程的解为不做限制的题型可以直接运用判别式解答；二是已知根的符号，根据韦达定理结合判别式列不等式组求解；三是方程的解在区间上
的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、
的符号）的方法解答.
，则（ ）
5．【山东省潍坊市2018届高三第二次高考模拟考试】已知函数A．
有个零点 B．
在
上为减函数
C． 【答案】B
的图象关于点对称 D． 有个极值点
6．【河北省定州中 2018届高三下 期第一次月考】已知函数唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
，若是函数的
A． 【答案】A 【解析】
B． C． D．
分析：首先求得导函数，然后结合题意利用导函数研究函数的极值，最后利用排除法即可求得最终结果. 详解：函数f(x)的定义域是(0,+∞)，
且：
∵x=2是函数f(x)的唯一一个极值点当
时，很明显满足题意.
,
的唯一极值点，
结合选项，只有A选项符合题意. 本题选择A选项.
点睛：本题主要考查导函数研究函数的极值，排除法解答选择题等知识，意在考查 生的转化能力和计算求解能力.
7．【湖北省华中师范大 第一附属中 2018届高三5月押题考试】若曲线：
与曲线：
（其中
无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为（ ）
A． 最大值为2，没有最小值 B． 最小值为2，没有最大值 C． 既没有最大值也没有最小值 D． 最小值为1，最大值为2 【答案】C
或a<0.
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查 生对这些基础知识的掌
握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是求出，再研究函数的最值得解.
8．【河北省唐山市2017—2018 年度高三年级第三次模拟考试】已知，则A．
（ ）
，若的最小值为
B． C． D．
【答案】A
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题. 求函数(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数在
；(3) 解方程
极值的步骤：
求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查
在处取极大值，如果左负右正
的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么
（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如
果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
9．【湖北省部分重点中 2018-2019 年度上 期新高三开 考试】己知函数
恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
，若关于的方程
A． 【答案】C
B． C． D．
又当 时，因此画出函数图像如下图所示：
令
，则方程
恰有3个不同的实数解化为
有两个不同实数根，所以
所以所以选C 【点睛】
，即
本题考查了通过导数求参数的取值范围，需要灵活掌握函数求导及二次函数的性质，属于难题。 10．【江苏省盐城中 2018届高三全仿真模拟检测】已知函数(I)若(Ⅱ)若
，求函数
存在极小值点，且
可作多少条直线与
的单调区间；
，其中
，求证:
； ，
.
(Ⅲ)试问过点的图像相切?并说明理由.
；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.
【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为
(2) ，存在极小值点，则.
，则，
所以则(3)
，又
时，有1条切线；
代入，所以时，有2条切线.
所以；
，
设切点坐标是，依题意：
即设故函数
在
，化简得：，
上零点个数，即是曲线切线的条数. ，
①当②当
时， 时，
，在
在
上恰有一个零点1； 上恒成立，
在故当③故
在时， 时，在
上单调递减，且上有且只有一个零点，
在在
，
]
上恰有个零点； 上递减，在
上递增，
， ，此时
至多有两个零点，且在
单调递增，且值域是
，使
又函数
故对任意实数，必存在
由于函数
在
，
上必有一零点；
]
综上
时，
又当综上：
，时，
在
，所以在上有两个零点
时，有2条切线. ，所以
必有一零点.
，故
时，有1条切线；
点睛：导数在研究函数零点中的作用
(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．
(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 11．【河北省石家庄二中2018届高三三模】设函数（Ⅰ） 讨论函数（Ⅱ）若
，
极值点的个数，并说明理由；
成立，求的取值范围.
，其中
.
【答案】（1）见解析（2）
所以当当同理当当
时
，，
，
，
，单调递增；当单调递增.因此此时函数
，单调递减；
有两个极值点；
， ，
单调递增；
的两个不相等的实数根，，且
，
单调递减，当
，
所以函数只有一个极值点. 综上可知当
时
的无极值点；当
时
有一个极值点；当
时，
的有两个极值点.
12．【2018届四省名校高三第三次大联考】已知函数.
（1）当（2）若
时，判断函数有两个极值点
的单调性；
.
①求实数的取值范围； ②证明：【答案】(1)
.
在上单调递减；(2)①.
；②.证明见解析.
（2）①∵有两个极值点，
有两个根
，则
，
，
，
∴关于的方程设当
即∴当由∴且当要使必有
∴实数的取值范围是
.
即时，
在上单调递减， 最多有一根，不合题意 时，由
，得在区间时，
，得，
，
上单调递增，在区间，当
时，
，
上单调递减.
有两个不同的根，
，解得
②∵∴
，
又∴令则∴∴
在区间
，
，∴，
，
上单调递减， .
又∴
，.
，
点睛：本题主要考查了函数的单调性和最值与导函数的关系，求函数的导数，构造函数是解决本题的关键。 13．【江苏省苏州市第五中 2018届高三上 期期初考试】已知函数（1）若函数
的图象在
处的切线经过点
，求的值；
．
（2）是否存在负整数，使函数理由． 【答案】（1）
；（2）不存在
的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明
【详解】
（1）∵ ∴,
∴函数∴
在处的切线方程为：，解得：
，又直线过点
（2）若当当
，时，时，
，
恒成立，函数在恒成立，函数在
上无极值； 上无极值；
在上，若在处取得符合条件的极大值，则，则，
由（3）得：，代入（2）得： ，结合（1）可解得：，再由
得：，
设，则，当时，，即是增函数，
所以又
，
，故当极大值为正数时，
，从而不存在负整数满足条件．
14．【江西省新余市第四中 2018届高三适应性考试】已知函数（1）若函数
在
处的切线与直线在区间
上最大值；
，求证：
.
平行，求实数的值；
（2）试讨论函数（3）若
时，函数恰有两个零点
【答案】（1）n=6（2）见解析（3）见解析
（2）f′（x）=，（x＞0），
由f′（x）＜0时，x＞n；f′（x）＞0时，x＜n， 所以①当n≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减， 故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=m﹣n；
②当n＞1，f（x）在[1，n）上单调递增，在（n，+∞）上单调递减， 故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（n）=m﹣1﹣lnn；
（3）证明：n=1时，f（x）恰有两个零点x1，x2，（0＜x1＜x2），
由
，f（x2）=
，得，
∴，
设t=＞1，lnt=
，x1=，故x1+x2=x1（t+1）=
，
∴，
记函数，因，
∴h（t）在（1，+∞）递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0， 又lnt＞0，故x1+x2＞2成立
【点睛】
(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查 生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有三点，其一是求出
的关系
，其二是换元t=＞1得到
于零.
15．【山西省太原市2018届高三第三次模拟考试】已知函数（1）若关于的方程（2）当
时，证明函数
的两个实数根为
在函数
，求证：
，其三是求
最小值大
的最大值为
；
.
的最小零点处取得极小值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
∴设所以，
在
，∴
，则上单调递增，
，∴
，
，则
，
，
因，故
在区间
在
，所以；
时，
， ，
（2）由（1）可知，易知，
单调递增，又
递增，
∴，且时，；时，，
当于是
时，时，
，
，
