计算（三）等差数列求和
知识精讲
一、定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用Sn来表示 。
三：求和公式：和?(首项?末项)?项数?2，sn?(a1?an)?n?2。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(思路1)1?2?3???98?99?100
???101?50?5050 ?（1?100）?（2?99）?（3?98）???（50?51）???????????????????共50个101(思路2)这道题目，还可以这样理解：
和=1?2?3?4???98?99?100+和?100?99?98?97???3?2?1 2倍和?101?101?101?101???101?101?101?101?50???5050。 即，和? (100?1)?100?2??四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均
数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
（4?36）?9?2?20?9?1800， 譬如：① 4?8?12???32?36?题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20?9；
（1?65）?33?2?33?33?1089， ② 65?63?61???5?3?1?题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于
33?33。
例题精讲： 例1：求和：
（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋?＋85=
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29
和=（1+85）×29÷2=1247
答案：（1）21 （2）36 （3）1247
例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+?+199
（2）2+4+6+?+78
（3）3+7+11+15+?+207
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900
答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355
例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？
分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，
即为：8?7?56
答案：56
例4：求1+5+9+13+17??+401该数列的和是多少。
分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：
和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301
例5：有一串自然数2、5、8、11、??，问这一串自然数中前61个数的和是多少？
分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和， 根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182 根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612 答案：5612
例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；?
求：
（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？
（2）207排在第几排第几个数？
（3）第13排各数的和是多少？
分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列 若排数为n（n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。
（1）第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数，
所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144
（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数
（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144 （2）第十五排第10个数 （3）3925
例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？
分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：1995?15?133，
（15?8）?147。 所以这个数列最大的奇数即第15个数是：133?2?答案：147。
例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都
是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？ 分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，
这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。
即第1个数是15，第6个数是40。 答案：第1个数：15；第6个数：40。
例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是
多少？
分析：公差=19-15=4
项数=（443-15）÷4+1=108 倒数第二项=443-4=439 奇数项组成的数列为：15，23，31??439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35??443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216
答案：216
例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？
分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9?9?1，最大的数是99?9?11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一
（9?99）?11?2?594． 共有：11?1?1?11项，所以，所求数的和是：9?18?27???99?也可以从找规律角度分析． 答案：594
例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6??问：从左面
第一个数起，前105个数的和是多少？
分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：
6,9,12,15......
即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和 末项=6+3×（35-1）=108 和=（6+108）×35÷2=1995 答案：1995
16例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、
已经填好，这12个数的和为。
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?16 ??? ? ??? ?10 ??? ? ??? ? ??? ?
分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(4?26)?12?2?180。 答案：180。
本讲小结：1.一个数列的前n项的和为这个数列的和，我们称为。
2. 求和公式：和?(首项?末项)?项数?2，sn?(a1?an)?n?2。 3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。
练习：
1. 求和：（1）1+3+5+7+9= （2）1+2+3+4＋?＋21=
（3）1+3+5+7+9＋?＋39=
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 答案：（1）25 （2）231 （3）400
2.求下列各等差数列的和。 （1）1+2+3+?+100 （2）3+6+9+?+39
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 答案：（1）5050 （2）273
3. 一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少?
分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，
即为：20×9=180
答案：180
4.所有两位单数的和是多少？
分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。 和=（11+99）×45÷2=2475 答案：2475
5. 数列1、5、9、13、??，这串数列中，前91个数和是多少？ 分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得： 末项=1+（91-1）×4=361
和=（1+361）×91÷2=16471 答案：16471
6.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，
?2，an?15，所以n?（15?1）?2?1?8， 其中a1?1，d??（1?8）?8?2?36 所以，白色方格数是：1?2?3???8?（1?7）?7?2?28。 黑色方格数是：1?2?3???7?答案：28
（2005?2006?2007?2008?2009?2010?2011）?2008?。 7.
分析：根据中项定理知：2005?2006?2007?2008?2009?2010?2011?2008?7,所以原式 ?2008?7?2008?7。
答案：7。
8. 把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？
分析：公差为2的递增等差数列。
平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。
即：最大的数为38。 答案：38
9.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
分析：解法1：可以看出，2，4，6，?，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，?，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，
所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000
解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000 答案：1000
10. 在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的
1??2?（?1）0?0?1，?自然数和了．
9?18?27???99?（9?99）?11?2?594，所有不能被9整除的自然数和：5050?594?4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。 答案：594
11.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？
分析：观察发现，这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3，公差是1 ，末项是10，项数是8
根据求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根） 所以这堆钢管共有52根。
?
答案：52根。
12. 求100以内除以3余2的所有数的和。
解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、??98公差为3的等差数列，首先求出一
?3?1?33 ，再利用公式求和(2?98)? 33?2?1650 。 共有多少项，(98?2)??答案：1650。
