2.2.3向量数乘运算及其几何意义
【学习目标】
1．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义；
2．理解两个向量共线的含义，并能证明简单的平行及共线问题； 3.了解向量的线性运算性质及其几何意义； 【新知自学】
???????已知非零向量a，求作a?a和(?a)?(?a)．
知识回顾：
?a 新知梳理：
?? 一般地，实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度与方向规定如下：
??（1）|?a|?|?||a|；
??（2）当??0时，?a的方向与a的方向 ；
??当??0时，?a的方向与a的方向 ；
??当??0 时，?a?0． ??（1）?(?a)?(??)a（结合律）；
???（2）(???)a??a??a（第一分配律）；
????（a+b）=?a??b（第二分配律）（3）?．
对点练习 2．实数与向量的积的运算律：
1．实数与向量的积的定义：
?? ① 对于实数m和向量a,b,恒有
????a—b)=ma— mb； m(? ② 对于实数m,n和向量a，恒有
???(m—n) a=ma—na； ?? ③ 若m a = m b (m ∈ R), 则有
??a=b； ???→
④ 若m a = n b (m,n ∈ R, a ≠ 0), 则有m = n.
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、将
1、下面给出四个命题：
122a?8b?44a?2b化简成最简形式为( ) 12?????? A. 2a?b B. 2b?a C. a?b D. b?a
3．向量共线定理：
????定理： 如果有一个实数?，使b??a （a?0），那么向量b与a是共线向量；反之，
1
????如果向量b与a（a?0）是共线向量，那么有且只有一个实数?，使得b??a．
对点练习3、
与非零向量a同向的单位向量是 ； 与非零向量a反向的单位向量是 ； 与非零向量a共线的单位向量是 .
【合作探究】
典型精析 例1 计算：（1）(?3)?4?a
（
2）3(?a?b?)?2(?a?b?)??a
（3）(2a??3b??c?)?(3a??2b??c?)．
变式练习：1 化简：25?a?b??13?2a?4b??215?2a?13b?
例2．已知向量a?和向量b?，求作向量?2.5a和2a?3b
? a ? b
2
例3．判断并证明：向量a?e1?e2，b??2e1?2e2是否共线？
变式练习：2 已知???AD??3???AB? ， ???DE??3???BC? ，试判断 ??? AC?与???AE?是否共线？
例4．已知两个非零向量e1和e2不共线，AB?2e1?3e2，BC?6e1?23e2，CD?4e1?8e2.
求证：A、B、D三点共线.
3
变式练习：3设两个非零向量a与b不共线，若AB?a?b，BC?2a?8b，
CD?3a?b.求证：A、B、D三点共线.
??
【课堂小结】
【当堂达标】
→
1. 若3x—2(x—a) = 0，则x=( )
→→
A. 2a B. -2a
2→2→C. a D. -a 55
2. 设e1, e2是两个不共线的向量，下列情况下，向量a，b共线的有（ ） ①a?2e，b??2e；
②a?e1?e2，b??2e1?2e2； ③a?4e1?21e2，b?e1?e2 510④a?e1?e2，b?2e1?2e2
A. ①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
→→→
3. 已知向量a,b, 且AB=a+2b, BC=—5a+6b, CD=7a— 2b,则一定共线的三点是( )
A. A、B、D B. A、B、C
C. B、C、D D. A、C、D
???4.已知向量a与b反向，且|a|?r，|b|?R，a??b，则?的值等于( ).
rrRR B. ? C. D. ?
RrRrA.
4
【课时作业】
1. 设?、??R，下面叙述不正确的是（ ）
A. ?(?a)?(??)a B. (???)a??a??b C. ?(a?b)??a??b D.?a与a的方向相同（??0）
2.已知向量a与b不共线，且AB??a?b,AC?a??b，则点A,B,C三点共线应满足（ ）
A.????2
B.????2 C.????1 D. ???1
→→→→
*3. 已知O是ΔABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA+OB+OC = 0，那么( )
→→→→
A. AO=OD B. AO=2OD
→→→→C. AO=3OD D. 2AO=OD
→→
4. 在ΔABC中，BC?a, CA?b,AB?c,三边BC,CA,AB的中点依次是D,E,F，则AD+BE→
+CF= .
→→→→→→→→→→
5. 若a=m+2n, b=3m—4n，且m, n共线，则a与b的关系是 .
→→
6.若AP?tAB(t?R), O为平面上任意一点，则OP= (用OA,OB表示).
7.已知x，y是实数，向量a,b不共线，若_______.
*8. 设e1, e2是两个不共线的向量，已知AB?2e1?ke2,CB?e1?3e2 ,
，则
____，
CD?2e1?e2 . 若三点A,B,D共线，求k的值.
5
*9. 在四边形ABCD中，AB?2a?3b，BC??8a?b，CD??10a?4b，且a，b不共线，试判断四边形ABCD的形状.
【延伸探究】
在ΔABC中，D为BC的一个三等分点，求证: AD→
=
2→3AB + 1→3
AC
ABDC6
*9. 在四边形ABCD中，AB?2a?3b，BC??8a?b，CD??10a?4b，且a，b不共线，试判断四边形ABCD的形状.
【延伸探究】
在ΔABC中，D为BC的一个三等分点，求证: AD→
=
2→3AB + 1→3
AC
ABDC6
