昌平区2014-2015学年第一学期初三年级期末质量抽测
数 学 试 卷 2015．1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1
1．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于
2
A．15° B．30° C．45° D．60° 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．正方形 D．正五边形
3．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，那么∠BOC的度数是 A．150°
B．120°
C．90°
D．60°
AOBC4．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E． 若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于
ADE1111A． B． C． D．
9248BC5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝6， AC＝3，则CD的长为 A．1 B．
CD3 2 C．2 D．
5 2AB6．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y?积为3，则k的值为
k的图象上，PA⊥x轴于点A ， △PAO的面xyPAOxA．3 B．- 3 C． 6 D．-6
1
7．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为 A．7 B．3 C．4 D．5
AOCBD8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x， MP ＝y，则表示y与x的函数关系的图象大致为
yyy 777AD M BPC4x4x4x4x2
y7
ABCD二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 抛物线y?(x?2)2?1的顶点坐标是 ．
10．已知关于x 的一元二次方程x?2x?m?0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11． 如图，点P是⊙O的直径BA的延长线上一点，PC切⊙O于 点C，若?P?30，PB=6，则PC等于 ．
2PAOCB
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，记Rt△OAB为三角形①，按图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形②，③，④，……，则三角形⑤的直角顶点的坐标为 ；三角形⑩的直角顶点的坐标为 ；第2015个三角形的直角顶点的坐标为 ．
y
B
① ②③④……
OAx三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13． 计算 :3tan60??sin45??3tan45??cos60?． 14． 解方程:2x?3x?1?0．
2
22
15．已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转
90°，得到△A1B1C． （1）在网格中画出△A1B1C；
（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．
ACB16． 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?ax?b的图象与反比例函数y?1，4)，B(2，m)两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式ax?b＜
k
的图象交于A(-x
yAOk的解集． xBx17．如图，在△ABC和△CDE中，∠B =∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，
BC=6．求CD的长．
A
E
BCD18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC=3， AC=3.
（1）求∠B的度数；
（2）求AB及BC的长． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知抛物线y?x?(2m?1)x?m?m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y?x?3m?3的一个交点在y轴上，求m的值．
22ABDC20．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？
3
B45°A30°C
21．已知： 如图，在Rt△ABC中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F， EB为⊙O的直径． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当BC=2，cos∠ABC ?
22．已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF＝45°． （1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程．
DACFOB1时，求⊙O的半径． 3EADBC五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知：如图，一次函数y?x?2的图象与反比例函数y?标为（1，m）． （1）求反比例函数y?
k
的图象交于A、B两点，且点A的坐x
k
的表达式； x
k
的图象上，求△AOC的面积； x
（2）点C（n，1）在反比例函数y?
（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P
的坐标．
yACBOxyACB4
Ox备用图
24.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，AB =AC，AD =AE．连接 BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF． （1）如图1，求证：BD⊥CE；
（2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线； （3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长.
NBFMBEFENM
C
ADCAD图1图225．如图，二次函数y=-x+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C． （1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．
C2
yCyAOBAxOBx备用图
5
2014-2015学年第一学期初三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2015．1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 D 5 C 6 D 7 D 8 B 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 答案 9 （2，1） 10 11 23 12 m＞-1 （84124028412 ，） （36，0） （，）5555三、解答题（本题共30分，每小题5分）
?2?1??3?1? …………………………4分 13．解：原式?3?3???2?2?? ?3?211?3? 22 ?0． ……………………………………5分
14．解法一：∵ a?2，b??3，c?1，
∴ ??(?3)2?4?2?1?1. ……………………………………2分 ∴ x?3?1． ……………………………………3分 4 ∴ 原方程的根为：x1?1，x2?2解法二： x?1. ……………………………………5分 231x??． 222 x?3919x????． ………………………………………1分 2162166
3?1? ?x???． ………………………………………2分
4?16? x?231??． ………………………………………3分 441． ………………………………………5分 2 ∴ x1?1，x2?解法三：?2x?1??x?1??0 ………………………………………2分 2x?1?0，或x?1?0． ………………………………………3分 ∴ x1?1，x2?
15．解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形． ……………3分 （2）BB=2π． ……………………………5分
116．解：（1）∵ 反比例函数y?
1． ………………………………………5分 2k
经过A(-１，4)，B(2，m)两点， x
∴ 可求得k =-4，m =-2．
4 ∴ 反比例函数的解析式为 y??．
x B(2，-2)． ……………………………………2分 ∵ 一次函数y?ax?b也经过A、B两点，
?4??a?b， ∴ ?
?2?2a?b.??a??2， 解得 ?
b?2.?yA-1O2Bx ∴ 一次函数的解析式为 y??2x?2． ……………………………………3分 （2）如图，-1＜x＜0，或x＞2． ……………………………………5分
A17．解：∵ 在△ABC中，∠B =90o， ∴ ∠A +∠ACB = 90o．
7
EBCD
∵ AC⊥CE， ∴ ∠ACB +∠ECD =90o．
∴ ∠A=∠ECD． ……………………………………2分 ∵ 在△ABC和△CDE中， ∠A=∠ECD，∠B=∠D=90o，
∴ △ABC∽△CDE． ……………………………………3分 ∴ AB?BC． ……………………………………4分
CDDE ∵ AB = 3，DE =2，BC =6，
∴ CD =1． ……………………………………5分 18．解：（1）∵ 在△ACD中，?C?90?，CD=3，AC=3， ∴ tan?DAC?CDAC33?．
A ∴ ∠DAC =30o． ……………………………………1分 ∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC =2∠DAC =60o． ……………………………2分 ∴ ∠B =30o． …………………………………………3分
(2) ∵ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30o，AC=3，
BDC ∴ AB =2AC =6． ……………………………………4分
8
BC?AC?3?33． ……………………………………5分
tanB33
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19 （1）证明：∵ △=??(2m?1)??4(m2?m)2…………………………………… 1分
=4m2?4m?1?4m2?4m =1＞0，
∴ 此抛物线与x轴必有两个不同的交点． …………………………… 2分
（2）解：∵ 此抛物线与直线y?x?3m?3的一个交点在y轴上，
∴ m2?m??3m?3． ………………………………………………………… 3分 ∴ m2?2m?3?0．
∴ m1??3，m2?1． ………………………………………………………… 5分 ∴ m的值为?3或1．
20．解：如图，作CD⊥AB于点D．
DB45°∴ ∠ADC=90°．
∵ 探测线与地面的夹角分别是30°和45°， ∴ ∠DBC=45°，∠DAC=30°． ∵ 在Rt△DBC中，∠DCB=45°， ∴ DB=DC． ............................. 2分 ∵ 在Rt△DAC中，∠DAC=30°， ∴ AC=2CD． ........................... 3分 ∵ 在Rt△DAC中，∠ADC=90°，AB=8，
9
A30°C
∴ 由勾股定理，得 AD2?CD2?AC2．
∴ (8?CD)2?CD2?(2CD)2． ……………………………………… 4分 ∴ CD?4?43．
∵ CD?4?43不合题意，舍去． ∴ CD?4?43．
∴ 有金属回声的点C的深度是(4?43)米． ……………………………… 5分
21（1）证明：如图，连结OD．
∴ OD?OB． ∴ ?1??2． ∵ BD平分?ABC, ∴ ?1??3．
∴ ?2??3． …………………………．．1分 ∴ OD∥BC． ∴ ?ADO??C?90°． ∴ OD⊥AC． ∵ OD是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线． …………………………………………………………………2分
（2）解：在Rt△ACB中，?C?90，BC=2 , cos∠ABC ? ∴ AB?AED2CF13OB1, 3BC?6． …………………………………………………… 3分
cos?ABC10
设⊙O的半径为r，则AO?6?r． ∵ OD∥BC， ∴ △AOD∽△ABC． ∴
ODAO?． BCABr6?r?． 263． 2∴
解得 r?∴ ⊙O的半径为
3． ………………………………………………………… 5分 222． 解：（1）如图1． ………………………… 1分
（2）猜想tan∠ADF的值为求解过程如下: 如图2.
在BA的延长线上截取AG=CE,连接DG． ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°． ∴ ∠GAD = 90°．
∴ △AGD ≌ △CED． ………………………………3分 ∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE． ∵ ∠FDE=45°,
11
1 ．……………………2分 3AFDBEC图1
∴ ∠ADF+∠EDC=45°． ∴ ∠ADF+∠GDA =45°． ∴ ∠GDF=∠EDF ． ∵ DF = DF，
∴ ∠GDF≌∠EDF ． ……………………………… 4分 ∴ GF =EF． 设AF=x, 则FB=6-x, ∵ 点E为BC的中点, ∴ BE=EC=3． ∴ AG=3． ∴ FG=EF=3+x．
在Rt△BEF中，∠B =90°， 由勾股定理，得 BF2?BE2?EF2, ∴ 32?(6?x)2?(3?x)2 ． ∴ x=2． ∴ AF=2． ……………………………………………………………… 5分 ∴ 在Rt△ADF中，tan∠ADF=
GAFDBEC图2
AF1?． AD3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y?x?2的图象上，
∴ m=3．
12
∴ 点A的坐标为（1，3）． ………………………………………………………1分 ∵点A（1，3）在反比例函数y?∴ k =3． ∴反比例函数y?
k
的图象上， x
3k
的表达式为y? …………………………………………2分
x．x
（2）∵点C（n，1）在反比例函数y?3的图象上， x ∴ n=3． ∴ C（3，1）． ∵ A(1,3），
∴ S△AOC =4． …………………………………………………………5分 （3）所有符合条件的点P的坐标：
P1(?7?1，0)，P2(7?1，0)． ……………………………………………7分
24．（1）证明：如图1．
∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，
NBFMCADE∴ ∠CAE=∠BAD． 在△CAE和△BAD中，
图1?AC?AB，? ??CAE??BAD，?AE?AD，?∴ △CAE≌△BAD． …………………………………… 1分 ∴ ∠ACF=∠ABD． 13
∵ ∠ANC=∠BNF， ∴ ∠BFN=∠NAC=90°．
∴ BD⊥CE． …………………………………… 2分 B（2）证明：如图1’．
作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K． CNGFME由（1）知 △CAE ≌△BAD， ∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ． ………………… 3分 ∴ AG = AK． ∴ 点A在∠CFD的平分线上． ………… 4分 即 FA是∠CFD的平分线．
（3）如图2．
BAK图1'D∵ ∠BAC = 90°，AB =AC， FENM ∴ ∠ACB=∠ABC =45°．
C∵ ∠BCE=15°，
∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN． 在Rt△ACN中
∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°，
AD图2∴ AN?233,CN?43． …………………………………… 5分
3∵ AB=AC=2，
14
∴ BN= 2-233． …………………………………… 6分
在Rt△ACN中
∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°，
∴ NF?12BN?3?3．
33． …………………………………… 7分
∴ CF?CN?NF?1?2
25．解：（1）∵ 二次函数y=-x+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），
∴ ??0??1?b?c,
?0??4?2b?c.?b?1,
?c?2.
解得 ?
∴ 二次函数的解析式为y= -x2 +x +2． ………………………………………2分 （2）如图1.
∵二次函数的解析式为y=-x+x+2与y轴相交于点C，
2
yCEB∴ C(0，2)．
设 E(a,b)，且a >0,b >0．
AOF图1x∵ A（-1，0），B（2，0）， ∴ OA=1，OB=2，OC=2． 则S四边形ABEC= ?1?2?1211(2?b)?a?(2?a)?b= 1?a?b 22∵ 点 E(a,b)是第一象限的抛物线上的一个动点，
15
∴ b = -a2 +a +2， ∴ S四边形ABEC = - a2+2a+3 = -（a -1）2+4
∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1,4），且四边形ABEC的最大面积为
4．
………………………………………………5分
y（3）如图2.
设M(m,n)，且m>0． ∵ 点M在二次函数的图象上， ∴ n =-m2 +m +2．
∵ ⊙M与y轴相切，切点为D， ∴ ∠MDC =90°． ∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似， ∴
CDMBxAO图2CDOA1CDOC??，或??2． …………………………………6分 DMOC2DMOA-m2?m1?m2?m?,或?2 ． ①当n >2时，
m2m解得 m1=0(舍去)，m2=
1， 或m3=0(舍去)，m4=-1(舍去)． 23，或m3=0（舍去），m4=3． 2②同理可得，当n<2时，m1=0(舍去) ，m2=
综上，满足条件的点M的坐标为（
4）． ……………8分
1935，），（， ），（3，-242416
17
