平行线的有关证明 复习
一、知识点归纳
（一）关于命题、定理及公理
1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的 。 2. 判断一件事情的句子，叫做 。 3. 每个命题都由 和 两部分组成。
4. 正确的命题称为 ，不正确的命题称为 。
想要判定一个命题是假命题只需要 ,而要说明一个命题是真命题则需 . 5. 公认的真命题称为公理（书P82 6条公理）（等量代换）
6. 推理的过程称为 。 7. 经过证明的真命题称为 。 8．由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的 同步练习：
1. 把命题“对顶角相等”改写成“如果??那么??”形式为_________ _。 2. 请给出命题：“如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”是 （真命题或假命题），理由：______________________________________。 3. 下列语句不是命题的是（ ）
A. 2008年奥运会的举办城是北京 B. 如果一个三角形三边a，b，c满足a＝b＋c，则这个三角形是直角三角形 C. 同角的补角相等 D. 过点P作直线l的垂线 4. 如图，线段a与b的大小关系是（ ） A. a＞b
B. a＝b
C. a＜b D. 无法确定
2
2
2
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A.?a一定是负数 B.a?0
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 有一角为80°的等腰三角形的另两个角都为50° （二）平行线的性质及判定
判定： （1）同位角相等，两直线平行。（公理）
（2）同旁内角互补，两直线平行。 （3）内错角相等，两直线平行。 性质： （1）两直线平行，同位角相等。（公理）
（2）两直线平行，同旁内角互补。 （3）两直线平行，内错角相等。 1. 如图1，若直线a∥b，且分别交直线c于点A、B，∠1＝70°，则∠2＝（ ） A. 70°
B. 20°
C. 110°
D. 40°
2. 如图2，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ） A. ∠2＋∠3＝180° B. ∠1＋∠5＝180° C. ∠4＝∠7 D. ∠1＝∠8
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c c 4 1 a A 1 a 3 2 3 2 B b 5 8 b 6 7 A D B C
图1 图2 图3 图4
3. 如图3，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（ ） A. 同位角相等两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 内错角相等两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 平行四边形的对角相等，其证明过程如下，请在每一步括号内填写理由。 4， 已知：如图4，四边形ABCD是平行四边形。 求证：∠A＝∠C，∠B＝∠D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形（ ）
∴AD∥BC，AB∥CD（ ）
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°（ ） ∴∠A＝180°－∠B，∠C＝180°－∠B（ ） ∴∠A＝∠C（ ） 同理，可证∠B＝∠D
5，已知，如图5，AB∥CD，若∠ABE = 130°,∠CDE = 152°,则∠BED =__________. 6，已知，如图6，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B +∠D=__________.
E 图5 图6 D（三）三角形的内角和外角的定理
CFABABECD1，三角形内角和定理： 。 2，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
1，在△ABC中，∠ C = 2（∠A+∠B ），则∠C=________. 2，如图8，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________. 3，如图9，△ABC中，∠B = 55°,∠C = 63°,DE∥AB,则∠DEC等于( ) A.63° B.62° C.55° B2DA1E3C D.118°
图8 图9 图10
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A4、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A、锐角三角形
B、钝角三角形 C、直角三角形 D、无法确定
FB5、如下图左：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（ ） A、180o
B、360o
C、540o
D、720o
EC6、锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
D A、0o＜α＜90o B、60o＜α＜90o C、60o＜α＜180o D、60o≤α＜90o 7，如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，∠BPC＝130°，求∠A。 二、中考链接
1，（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是( )
A．三角形三个内角的和等于l80° B．两直线平行，同位角相等 C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角．
2．（2010浙江杭州）如图13 , 已知∠1 =∠2 =∠3 = 62°，则?4? .
3．（2010山东日照）如图14，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A，
o
o
A P 1 2 B C B两岛的视角∠ACB等于 ．
4．（2010山东烟台）如图15，将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____________。
图14 图15 图13 5，（2010福建宁德）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ∠1=35°，那么∠2是_______°．
，?2?110°，6，（2009年黄石市）如图16，AB∥CD，?1?50°则?3? ．
B
图16 图17 图18
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7．（2010湖南衡阳）如图17所示，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为_____． 8．（2010四川内江）如图18，将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为 . 9．（2010湖北十堰）如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3= . 10．（2010云南曲靖）如图，AB//CD，AC⊥BC， 垂足为C，若∠A=40，则∠BCD= 度。 三、训练提高
1. 如果?A和?B的两边分别平行，那么?A和?B的关系是（ ）
A. 相等 B. 互余或互补 C. 互补 D. 相等或互补
2，三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（ ）
A. 45°，45°，90° B. 30°，60°，90° C. 25°，25°，130° D. 36°，72°，72°
3. 如图1所示，AB?EF，CD?EF，?1??F?30°，那么与?FCD相等的角有（ ） A. 1个
B. 2个 C. 3个
D. 4个
0
图1 图2 图3 4. 下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。 （2）如果?1和?2是对顶角，那么?1=?2。 （3）一个角的余角一定小于这个角的补角。 （4）如果?1和?3互余，?2与?3的余角互补，那么?1和?2互补。 A. 1个
B. 2个 C. 3个
D. 4个
5. 如图2所示，?B=?C，则?ADC与?AEB的大小关系是（ ）
A. ?ADC??AEB B. ?ADC??AEB C. ?ADC??AEB D. 大小关系不能确定 6，如图3所示，AD平分?CAE，?B=30°，?CAD=65°，?ACD=（ ）
A. 50°
B. 65° C. 80°
D. 95°
7、如上图，已知，∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1=∠2， 求证：∠A=∠C.
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知）
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DEC∴ ∠1＝
11∠ABC，∠3＝∠ADC（ ） 2211∠ABC＝∠ADC（ ） 22∵∠ABC＝∠ADC（已知）∴
∴∠1＝∠3（ ）
∵∠1＝∠2（已知）∴∠2＝∠3（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）
∴∠A＋∠ ＝180o ，∠C＋∠ ＝180o（ ） ∴∠A＝∠C（ ） 四、证明题
1．已知，如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C． 求证：∠1=∠2．
2．已知，如图，△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC． 求证：∠DAE=
3．如图，直线l1∥l2，直线l3与直线l1，l2分别交于C，D两点，有一点P1（∠C－∠B）． 2在C，D之间运动(不与C，D两点重合)，在它运动过程中，试分析∠1 、∠2 、∠3三者之间的关系？你能选用两种方法说明得到的关系吗？
B
A
1 2 3 D P
l3 C
l1
l2
4. 把矩形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形。（1）求证：△AFC是等腰三角形；（2）若∠EAF=30°，求∠EAC的度数；（3）若AB=8㎝，BC=6㎝，求△AFC的面积。
A E F B 第 5 页 共 6 页
D C 5，如图所示，?XOY=90°，点A、B分别在射线OX，OY上移动，BE是?ABY的平分线，BE的反向延长线与?OAB的平分线相交于点C，试问?ACB的大小是否变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A、B的移动变化，请给出变化范围。
6、如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F.
（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？ （2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？
7．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上． (1)点P是△ABC内一点，求证：∠P>∠A;
(2)试判断：在△ABC外又和点A在直线l同侧， 是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？试证明你的结论．
9、已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点E，F．
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； (2)若∠ABC＝，∠ACB＝，用，的代数式表示∠BOC的度数． (3)在第(2)问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用，的代数式表示∠BOC的度数．
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5，如图所示，?XOY=90°，点A、B分别在射线OX，OY上移动，BE是?ABY的平分线，BE的反向延长线与?OAB的平分线相交于点C，试问?ACB的大小是否变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A、B的移动变化，请给出变化范围。
6、如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F.
（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？ （2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？
7．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上． (1)点P是△ABC内一点，求证：∠P>∠A;
(2)试判断：在△ABC外又和点A在直线l同侧， 是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？试证明你的结论．
9、已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点E，F．
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； (2)若∠ABC＝，∠ACB＝，用，的代数式表示∠BOC的度数． (3)在第(2)问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用，的代数式表示∠BOC的度数．
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