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因式分解的高端 方法及恒等变形
满分晋级
代数式7级 因式分解的 概念和基本方法 代数式10级
因式分解的常用方法及应用 代数式11级
因式分解的高端方法及
恒等变形
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漫画释义
小人物与大人物
初二秋季·第6讲·提高班·教师版
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题型一：换元法
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换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．
例题精讲
【引例】 分解因式：(x2?4x?8)2?3x(x2?4x?8)?2x2 【解析】 令x2?4x?8?u，
原式?u2?3xu?2x2?(u?x)(u?2x)
又∵u?x2?4x?8
∴原式?(x2?4x?8?x)(x2?4x?8?2x)
?(x2?5x?8)(x2?6x?8)
?(x?2)(x?4)(x2?5x?8)
典题精练
【例1】 分解因式：
2
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?⑵?x⑴x2?x?3x2?x?5?3；
22???x?1??x??x?2??12；
⑶?x?1??x?3??x?5??x?7??15．
【解析】 ⑴解法一：令x2?x?4?y，则
原式??y?1??y?1??3
??y?2??y?2?
??x2?x?6??x2?x?2? ??x?1??x?2??x?2??x?3?
解法二：令x2?x?3?y，则 原式?y?y?2??3
?y2?2y?3 ??y?1??y?3?
??x2?x?3?1??x2?x?3?3?
??x2?x?2??x2?x?6? ??x?1??x?2??x?2??x?3?；
⑵令x2?x?1?y，则
原式?y?y?1??12
?y2?y?12 ??y?3??y?4?
??x2?x?2??x2?x?5? ??x?1??x?2??x2?x?5?．
备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式????x?1??x?7??????x?3??x?5????15
设x?8x?7?y，则
2??x2?8x?7??x2?8x?15??15，
原式?y?y?8??15
?y2?8y?15??y?3??y?5?
??x2?8x?10??x2?8x?12? ??x?2??x?6??x2?8x?10?．
【例2】 分解因式：
⑴?6x?1??4x?1??3x?1??x?1??9x4 ⑵16?6x?1??2x?1??3x?1??x?1??25
【解析】
⑴原式?6x2?7x?112x2?7x?1?9x4，设6x2?7x?1?t，
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????
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原式?t?6x2?t??9x4??t?3x2???9x2?7x?1?
22⑵原式??6x?1??4x?2??6x?2??4x?4??25?24x2?16x?224x2?16x?8?25 设24x2?16x?2?t，原式?t?t?10??25??t?5???24x2?16x?3?
22????题型二：拆、添项及配方法
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基本方法
示例剖析 拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的 方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以 例如：因式分解：x4?3x2?1 应用公式. ?x4?2x2?1?x22常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式， ??x2?1??x2 拆开中项是最常见的. 22?x?1?xx?1?x????2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决.
例题精讲
【引例】 分解因式：a?3a?3a?2
32
【解析】 解法一：原式?a3?3a2?3a?1?1
??a?1??13
2??a?1?1???a?1???a?1??1?
????3??a?2??a2?a?1?．
解法二：原式?a3?2a2?a2?2a??a?2?
?????a2?a?2??a?a?2???a?2?
??a?2??a2?a?1?．
????a?a?a?1??2?a?a?1? ??a?2??a?a?1?．
解法四：原式??a?1???3a?3a?3?
22解法三：原式?a3?a2?a?2a2?2a?2
?232
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??a?1??a2?a?1??3?a2?a?1?
【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、
一次项都拆项后再分解．
??a?2??a2?a?1?．
典题精练
【例3】 ⑴因式分解：若x?y??1，则x4?5x3y?x2y?8x2y2?xy2?5xy3?y4的值等于( )
A 0 B ?1 C 1 D 3
⑵若点P的坐标?a，b?满足a2b2?a2?b2?10ab?16=0，求点P的坐标．
【解析】 ⑴x4?5x3y?x2y?8x2y2?xy2?5xy3?y4
??x4?x3y???4x3y?4x2y2???x2y?xy2???4x2y2?4xy3???xy3?y4??x3?x?y??4x2y?x?y??xy?x?y??4xy2?x?y??y3?x?y?322223???x?xy?3xy?3xy?xy?y???????xy???22????x?x?y??3xy?x?y??y?x?y??xy??
?x2?2xy?y2??x?y?2?1故选C．
⑵原式=a2b2?8ab?16?a2?b2?2ab=0
=?ab?4???a?b?=0
?ab=?4，a?b=0
?a=2，b=?2或a=?2，b=2
22 点P的坐标为?2，?2?或??2，2?
【例4】 分解因式：
⑴x4?x2y2?y4
⑵4x2?4x?y2?4y?3 ⑶x4?2x3?3x2?2x?1
【解析】 ⑴ 原式?x4?2x2y2?y4?x2y2
??x2?y2???xy?
22??x2?y2?xy??x2?y2?xy?
⑵ 原式?(4x2?4x?1)?(y2?4y?4)
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?(2x?1)2?(y?2)2
?(2x?1?y?2)(2x?1?y?2) ?(2x?y?3)(2x?y?1)
⑶法一x4?2x3?3x2?2x?1
?x4?2x3?x2?2x2?2x?1 ?[x(x?1)]2?2x(x?1)?1
?[x(x?1)?1]2 ?(x2?x?1)2
法二x4?2x3?3x2?2x?1=x4?x3?x2?x3?x2?x?x2?x?1
=x2?x2?x?1??x?x2?x?1???x2?x?1?=?x2?x?1?
2
【例5】 分解因式：
⑴4x3?31x?15 ⑵x3?2x2?5x?6 ⑶3x3?7x2?4
⑷x4?x3?4x2?3x?3
【解析】 ⑴ 原式?4x3?x?30x?15
?x?2x?1??2x?1??15?2x?1???2x?1??2x2?x?15???2x?1??2x?5??x?3?⑵ 原式?x3?x2?x2?5x?6
?x2?x?1???x?6??x?1???x?1??x2?x?6???x?1??x?3??x?2?
????
⑶ 法一：原式?3x3?6x2?x2?4
?3x2?x?2???x?2??x?2???x?2??3x2?x?2???x?1??x?2??3x?2?????
法二：原式?3x3?3x2?4x2?4
?3x2?x?1??4?x?1??x?1???x?1??3x2?4x?4???x?1??x?2??3x?2?????
法三：原式?3x3?2x2?9x2?4
?x2?3x?2???3x?2??3x?2???3x?2??x2?3x?2???x?1??x?2??3x?2?????
⑷法一：原式?(x4?x3?x2)?(3x2?3x?3)
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?x2(x2?x?1)?3(x2?x?1)?(x?3)(x?x?1)22
法二：原式?(x4?3x2)?(x3?3x)?(x2?3)
?(x2?3)(x2?x?1)
【探究对象】 对拆项、添项法的探究
【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究1】因式分解：1?b?a2x2?abx3 【解析】 原式=?1?ax?1?ax?bx2．
点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，
如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式 子，整理完后在继续分解.
【探究2】因式分解：a3?3a2?3a?b3?3b2?3b?2 【解析】 原式=?a?b?2?a2?ab?b2?a?b?1．
点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆
项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.
【探究3】因式分解：x4?26
【解析】 原式=x2?8?4xx2?8?4x
点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方
法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.
例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到.
【备选例题】x3?6x2?11x?6
【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.
原式?x3?x2?5x2?5x??6x?6??x2?x?1??5x?x?1??6?x?1???x?1??x?2??x?3? 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为?x?1?x2?5x?6，因为没有学十字相乘法
分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.
????????????????题型三：恒等变形
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例题精讲
【引例】 矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3?x2y?xy2?y3?0，求矩形的面积． 【解析】 由题得2(x?y)?28，则x?y?14
∵x3?x2y?xy2?y3?0 ∴x2(x?y)?y2(x?y)?0 ∴(x?y)(x2?y2)?0
∴(x?y)(x?y)(x?y)?0 ∵x?y?14 ∴x?y?0 ∴x?7，y?7 ∴S矩?xy?49
典题精练
【例6】 ⑴设x?2z=3y，试判断x2?9y2?4z2?4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；
否则，请说明理由；
⑵证明：对于任意自然数n，3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数；
⑶已知：x2?bx?c（b、c为整数）是x4?6x2?25及3x4?4x2?28x?5的公因式，求b、c的值．
【解析】 ⑴把x2?9y2?4z2?4xz进行因式分解得：?x?2z??9y2=?x?2z?3y??x?2z?3y?
把x?2z=3y代入式子得原式是定值为0； ⑵ 原式?3n?2?3n?2n?2?2n
?3n?32?1??2n?22?1??10?3n?5?2n2????
?10?3n?10?2n?1∴3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数； ⑶x4?6x2?25?x4?10x2?25?4x2
??x2?5???2x?222??x?2x?5??x?2x?5?2
∵x4?6x2?25及3x4?4x2?28x?5有公因式 ∴3x4?4x2?28x?5?x2?mx?53x2?nx?1 ?n?3m?0∴? 即
m?5n?28??m??2 ?n?6?????即3x4?4x2?28x?5?x2?2x?53x2?6x?1
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