专题08 万有引力定律
第I卷
一、选择题（本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，至少有一项符合题目要求） 1．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )
A．a2>a3>a1 C．a3>a1>a2 【答案】D
B．a2>a1>a3 D．a3>a2>a1
【题型】选择题 【难度】容易
2．登上火星是人类的梦想。“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比( )
行星 地球 火星 半径/m 6.4×10 3.4×10 66质量/kg 6.0×10 6.4×10 2324轨道半径/m 1.5×10 2.3×10 1111A．火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大 【答案】B
【题型】选择题 【难度】较易
3．卫星A、B的运行方向相同，其中B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，已知地球半径为R，卫星A离地心O的距离是卫星B离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g，则( )
A．卫星A、B的运行周期的比值为
TA4= TB1vA1= vB2B．卫星A、B的运行线速度大小的比值为
C．卫星A、B的运行加速度的比值为
aA1= aB4D．卫星A、B至少经过时间t＝【答案】BD
16π7R，两者再次相距最近 g4π2Mm【解析】由地球对卫星的引力提供向心力G2＝m2r知T＝2π
rTr3∝r3，而rA＝GMGMv2MmTA84rB，所以卫星A、B的运行周期的比值为＝，A项错误；同理，由G2＝m得v＝rrTB1r∝11v，所以卫星A、B的运行线速度大小的比值为A＝，B项正确；
2vBr
【题型】多选题 【难度】一般
4．如图所示是我国发射的“嫦娥三号”卫星被月球俘获的示意图，“嫦娥三号”卫星先绕月球沿椭圆轨道Ⅲ运动，在P点经两次制动后最终沿月球表面的圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，已知圆轨道半径为r，椭圆Ⅲ的半长轴为4r，卫星沿圆轨道Ⅰ运行的周期为T，则下列说法中正确的是( )
A．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅱ上运行的机械能大于在轨道Ⅲ上运行的机械能 B．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小大于在P点的速度大小 C．“嫦娥三号”卫星在三个轨道上运行时，在P点的加速度总是相同的 D．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，从M点运动到P点经历的时间为4T 【答案】CD
【解析】因“嫦娥三号”卫星从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ上运行时，必须在P点进行减速，即在轨道Ⅱ上运行的机械能小于在轨道Ⅲ上运行的机械能，A项错误；由开普勒行星运动第二定律知“嫦娥三号”卫星在近月点速度大，即“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小小于在P点的速度大小，B项错误；
由GMm＝ma知卫星离中心天体高度相同时，运行的加速度相同，C项正确；令“嫦娥三号”r2(4r)3r3卫星从M点运动到P点经历的时间为t，则由开普勒行星运动第三定律得2＝，即t2T(2t)＝4T，D项正确。 【题型】多选题 【难度】一般
5．欧航局彗星探测器“罗塞塔”分离的“菲莱”着陆器，于北京时间13日零时5分许确认成功登陆彗星“67P/丘留莫夫－格拉西缅科”(以下简称67P)。这是人造探测器首次登陆一颗彗星．若“菲莱”着陆器着陆前与探测器“罗塞塔”均绕彗星67P(可视为半径为R的球形)的中心O做半径为r、逆时针方向的匀速圆周运动，如图所示。不计着陆器与探测器间的相互作用力，彗星67P表面的重力加速度为g，则( )
gr2A．着陆器与探测器的向心加速度大小均为2
RB．探测器从图示位置运动到着陆器所在位置所需时间为C．探测器要想追上着陆器，必须向后喷气
D．探测器要想追上着陆器，该过程中万有引力对探测器先做正功后做负功 【答案】BD
?rRr g
加速到着陆器所在轨道，才可能追上着陆器，因此该过程中万有引力对探测器先做正功后做负功，D正确。 【题型】多选题
【难度】一般
6．利用探测器探测某行星，先让探测器贴近该行星表面飞行，测得探测器做圆周运动的周期为T1，然后调节探测器离行星表面的高度，当离行星表面高度为h时，探测器做圆周运动运行一周的时间为T2。已知引力常量为G，则下列判断正确的是( ) A．可求出该行星的质量 B．可求出该行星的密度
C．可求出探测器贴近行星表面飞行时，行星对它的引力 D．可求出该行星的第一宇宙速度 【答案】ABD
【题型】多选题 【难度】较难
7．已知地球自转周期为T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( ) A.
T03T03T0T0B.C.D. 4477【答案】CD
【解析】设地球的质量为M，卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力
Mm4π2mr由万有引力提供，有：G2＝解得：T＝2π2rTr3。同步卫星的周期与地球自转GM周期相同，即为T0。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人
r311T造卫星与同步卫星的周期之比是：＝＝，解得：T＝T0。设卫星至少每隔t时3(4r)88T0间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt得：
nTT3T2π2πt＝2nπ＋t，解得t＝0，当n＝1时t＝0，n＝3时t＝0，故A、B错误，T777T0
C、D正确。 【题型】多选题 【难度】较难
8．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( ) A.
3πg0－g
GT2g03π GT2
D.
B.
3πg0
GT2g0－gC.
3πg0
GT2g【答案】B
【题型】选择题 【难度】较难
9．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h 【答案】B
【解析】万有引力提供向心力，对同步卫星有：
B．4 h C．8 h
D．16 h
4π24π2r3MmG2＝mr2，整理得GM＝2
rTT
【题型】选择题 【难度】困难
10．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×10 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s.则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×10 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 【答案】BD
3
2
3
g月M月R地2Mm12
【解析】设月球表面的重力加速度为g月，根据2＝mg则＝＝×3.7，解
Rg地M地R月281得g月≈1.7 m/s.
由v＝2g月h，得着陆前的速度为v＝2g月h＝2?1.7?4 m/s≈3.7 m/s，选项A错误；悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×10 N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重
3
2
2
GMv2Mm力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误；G2＝m，v=设RRR探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则
v1＝v2M月R地3.7?＝＜1，故v1＜v2，选项D正确。 M地R月81【题型】多选题 【难度】较难 第Ⅱ卷
二、非选择题（本题共2个小题。写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）
11．2013年6月11日下午，神舟十号载人飞船进入近地点距地心为r1、远地点距地心为r2的椭圆轨道正常运行。已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，飞船在近地点的速度为v1，飞船的质量为m。若取距地球无穷远处为引力势能零点，则距地心为
r、质量为m的物体的引力势能表达式为Ep＝－
(1)地球的半径； (2)飞船在远地点的速度。 【答案】(1)GMm，求： r2GM2GMGM2 (2)v1? ?r2r1g【解析】(1)设地球表面有质量为m的物体， 则GMm＝mg R2解得地球的半径：R＝GM g
解得飞船在远地点的速度：
v2＝v12?2GM2GM ?r2r1【题型】计算题 【难度】一般
12．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求： (1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T。
m2m27【答案】(1) 23G2 (2)7G2 (3)a (4) π
aa4a3 GmmAmB2m2【解析】(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G＝G2＝FCA，
r2am2方向如图所示，则合力大小为FA＝23G2
a
(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
mAmB2m2FAB＝G＝G2， 2ramCmBm2FCB＝G＝G2，方向如图所示
r2am2m222由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2G2，FBy＝FABsin60°＝3G2，可得FB＝FBx?FBy＝aam27G2
a
【题型】计算题 【难度】困难
