2016年高中数学学业水平测试知识点
【必修一】
一、 集合与函数概念
并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。 记作：A∪B
交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A∩B 补集：就是作差。
1、集合?a1,a2,...,an?的子集个数共有2个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个；
nnn 非空的真子有2–2个.
2、求y?f(x)的反函数：解出x?f?1(y)，x,y互换，写出y?f?1(x)的定义域； 函数图象关于y=x对称。
3、（1）函数定义域：使得函数解析式有意义的x的集合①分母不为0；②开偶次方被开方数
?0；
③指数的真数属于R、对数的真数?0.
4、函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 偶函数：是f(-x)=f(x)，函数图象关于y轴对称。 6、指数幂的含义及其运算性质： （1）函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数。 （2）指数函数y?ax(a?0,a?1)当 0?a?1为减函数，当 a?1为增函数； ①a?a?a；②(ar)s?ars；③(ab)r?arbr(a?0,b?0,r,s?Q)。 （3）指数函数的图象和性质 a?1 0?a?1 图 象 nrsr?s11-4-20-4-20-1-1(1)定义域：R 性 质 （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 (5)x?0,a?1; x?0,0?a?1 xx(5)x?0,0?a?1; x?0,a?1 xx 1 7、对数函数的含义及其运算性质： （1）函数y?logax(a?0,a?1)叫对数函数。 （2）对数函数y?logax(a?0,a?1)当 0?a?1为减函数，当 a?1为增函数； ①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：loga1?0；③底真相同的对数等于1： logaa?1， （3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： ①logaMN?logaM?logaN； ②loga ③logaMn?nlogaM(n?R)。 （4）换底公式：logab?M?logaM?logaN； Nlogcb(a?0且a?1,c?0且c?1,b?0) logca 1(5)对数函数的图象和性质 2.5a?1 2.50?a?1 图 象 1.51.51-110.50.50-0.51-10 -0.5-1-1-1.5-1.5-2-2.5 -2-2.5(1)定义域：（0，+∞） （2）值域：R （3）过定点（1，0），即x=1时，y=0 性 （4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数 质 (5)0?x?1,logax?0(5)x?1,logax?0x?1,logax?0； 0?x?1,logax?0； ?8、幂函数：函数y?x叫做幂函数（只考虑??1,2,3,?1,1的图象）。 29、方程的根与函数的零点：如果函数y?f(x)在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0，那么，函数y?f(x)在区间 (a , b) 内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0这个c就是方程f(x)?0的根。 2 【必修二】 一、直线 平面 简单的几何体 1、长方体的对角线长l2?a2?b2?c2；正方体的对角线长l?3a 2、球的体积公式： v?4? R3； 球的表面积公式：S?4? R2 33、柱体、锥体、台体的体积公式： 1V柱体=Sh (S为底面积，h为柱体高)； V锥体=Sh (S为底面积，h为柱体高) 31V台体=(S’+S'S+S)h (S’, S分别为上、下底面积，h为台体高) 34、点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （1）四公理三推论: 公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是 一条过这个公共点的直线。 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. （2）空间线线，线面，面面的位置关系： 空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。 空间直线和平面的位置关系： （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a??，a???A，a//?。 空间平面和平面的位置关系： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线。 5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。 a????符号表示：b????a//?。图形表示： a//b??6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两 个平面平行。 a???b?????符号表示：a?b?P???//?。图形表示： ?a//??b//??? 3 7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。 a//???符号表示：a????a//b。 图形表示： ????b??8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平 行。 ?//?,????a,????b?a//b符号表示： 9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。 符号表示： a??,b??,a?b?P,l?a,l?b?l??10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示： l??,l??????11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 a???符号表示：??a//b。 b???12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示： ?l??.l??,????m,l?mP13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。 l直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图） 14、异面直线所成角的取值范围是?0?,90??； ?直线与平面所成角的取值范围是?0?,90??； 二面角的取值范围是?0?,180??； 两个向量所成角的取值范围是?0?,180?? 二、直线和圆的方程 1、斜率：k?tan?，k?(??,??)；直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则斜率为 2、直线的五种方程 ： k（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). ?Hk?y2?y1x2?x1y?y1x?x1( (P?1(x1,y1)、P2(x2,y2)； (x1?x2)、(y1?y2)). y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0) ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0). （3）两点式 3、两条直线的平行、重合和垂直： (1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 ①l1‖l2?k1?k2且b1≠b2; ②l1与l2重合时?k1?k2且b?b2； ③l1?l2?k1k2??1. (2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2?A1B1C1；②l1?l2?A ??1A2?B1B2?0A2B2C24 224、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 │P1P2│=(x2?x1)?(y2?y1) 5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（ x1?x2y?y2，1） 22Ax0?By0?CA?B226、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d= 22 C2?C1A?B22 8、圆的方程：标准方程?x?a???y?b??r2，圆心 22?a,b?，半径为r； 22DED?E?4F） 22一般方程x?y?Dx?Ey?F?0，（配方：(x?)?(y?)?224D2?E2?4F?0时，表示一个以(?D,?E)为圆心，半径为1D2?E2?4F的圆； 2229、点与圆的位置关系： 点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种： 若d?(a?x0)2?(b?y0)2，则 d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内. 直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: 10、直线与圆的位置关系： d?r?相离???0;d?r?相切???0; Aa?Bb?C. d?r?相交???0.其中d?22A?B11、弦长公式： 若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由 二次曲线方程 ax2+bx+c=0(a≠0) y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为： AB=(x2?x1)2?(y2?y1)2 21?k2）（x1?x2）?4x1x2 =1?k2x1?x2 =（?? =1?11y?y?(1?)(y1?y2)2?4y1y2 1222kk??Z =1?k2b2?4ac aFzBCyY13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式： ⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0 xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0 yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0 x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0 y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0 xDXOEA 5 z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0 （y2-y1）?（z2-z1） ⑵│P1P2│=（x2-x1）? 【必修三】 算法初步与统计： 以下是几个基本的程序框流程和它们的功能 图形符号 名称 终端框（起止框） 判断框 流程线 连接点 注释框 连接程序框（流程进行的方向） 连接程序框图的两部分 帮助注解流程图 输入、输出框 处理框（执行框） 表示一个算法输入输出的信息 赋值、计算（语句、结果的传送） 判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N” 222功能 表示一个算法的起始和结束 循环框 程序做重复运算 一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构 二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。 三．三种常用抽样方法： （一）1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。 （二）.系统抽样 1.概念：将总体平均分成几部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。 2.步骤 从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,用系统抽样的一般步骤为: （1）.将总体中的N个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码,如学 6 号、准考证号、门牌号等；（2）.将编号按间隔k分段(k∈N）,其中 k?NnNn 为整数 时，取 ；若 不是整数，则可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除. （3）.确定第一个编号：在第1段用简单随机抽确定第一个个体编号l(l≤k)；（4）.成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔得到第2个个体编号(l＋k)，再加得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． (三).分层抽样步骤:(1) 根据已有信息,将总体分成互不相交的层; （2）根据总体中的个体数N与样本容量n确定抽样比:k=n/N. （3）确定各层应该抽取的个体数。各层的抽取数之和应等于样本容量。对于不能取整的数，求其近似值。 （4）按(3)中确定的数目在各层中随机抽取个体,合在一起得到容量为n的样本. Nn 四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数； （3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。 2、频率分布直方图： 频率=小矩形面积（注意：不是小矩形的高度） 计算公式： 频率=频数样本容量 频数=样本容量?频率 频率=小矩形面积=组距?频率组距 各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1=各小长方形的面积总和 3. 众数：一组数据中出现__次数___最多的数。 中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数 4.直方图中众数、中位数、平均数 1)众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是数据的众数． 2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. 3）平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 5.该组样本容量=该组频数/该组频率 6..茎叶图： 茎叶图的定义：茎表示高位，叶表示低位当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数. 7 折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。 7、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； 将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数； 8、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。 （1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。 （2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。 （3）计算公式： 1s?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]标准差： 1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n?，截距为a?x+a?，即回归方程为y?（此直线必过点（x，y）?=b9.直线回归方程的斜率为b） s?方差： 2n，其中系数a, b由下式确定： ?a?? ??b? 五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C?表示. 随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 1、事件间的关系： （1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； （2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件； （3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）； （4）对立一定互斥，互斥不一定对立。 2、概率的加法公式： （1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)． 3、古典概型： （1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式： P(A)?事件A包含的基本事件个数实验中基本事件的总数?m n4、几何概型： （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。 （2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 8 （3）几何概型的概率公式： P(A)?【必修四】 事件A构成的区域的长度（面积或体积）实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积） 1801、一、 三角函数弧度制：（1）、 ???弧度，1弧度?(180?)??57?18'；弧长公式：l?|?|r （l为?所对的弧长，r为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。 （2）与?终边相同的角?=________________或?=___________________ 2、三角函数： yxyxr?x2?y2 （1）、定义： sin?? cos?? tan?? cot?? rrxy(2)任意角三角函数的符号规则： Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin? cos? tan? 3、特殊角的三角函数值： ?的角0?30?60? 90? 120? 135? 150? 180? 270? 360? 45? 度 ?的弧度 0 0 1 ? 61 23 23 3? 42 2? 33 2? 21 2? 33 23? 42 25? 6? 0 3? 2? 2?1 sin? 1 20 1 cos? tan? 2 21 21 23 20 — ?1 2?3 ?2 ?3 ?1 22?1 0 — 0 ?3 30 0 4、同角三角函数基本关系式：sin??cos??1 tan??sin??cot??1 tancos?5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。 1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3.诱导公式三： sin???2k???sin?,sin???????sin?,sin??????sin?,cos???2k???cos?, cos???????cos?, cos?????cos?, tan???2k???tan?.tan??????tan?.tan??????tan?. 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： ??????sin??????sin?,sin?????cos?,sin?????cos?,?2??2? cos???????cos?, ??????cos?????sin?.cos??????sin?.tan???????tan?.?2??2?6、两角和与差的正弦、余弦、正切： 9 S(???)：sin(???)?sin?cos??cos?sin? S(???)：sin(???)?sin?cos??cos?sin? C(???)：cos(a??)?cos?cos??sin?sin? C(???)： cos(a??)?cos?cos??sin?sin? tan??tan?tan??tan?tan(???)? ： T(???)：tan(T???)?(???)1?tan?tan?1?tan?tan? tan?+tan?= tan(?+?)(1?tan?tan?) tan?-tan?= tan(?-?)(1?tan?tan?) 7、辅助角公式：(1)asinx?bcosx?a2?b2????ab?sinx?cosx? 2222a?b?a?b??a2?b2(sinx?cos??cosx?sin?)?a2?b2?sin(x??)[其中tan?= (2)asinx?bcosx?a2?b2??b] a??ab?sinx?cosx? 2222a?b?a?b? =a2?b2cos(x??) [其中tan?=8、二倍角公式：（1）、S2?：sin2??2sin?cos? a] b C2?：cos2??cos??sin??1?2sin??2cos??1 T2?：tan2??22222tan? 21?tan?（2）、降次公式：（多用于研究性质） 1sin?cos??sin2?2cos2??sin2??1?cos2?11??cos2??222 1?cos2?11?cos2?? 2229、在y?sin?,y?cos?,y?tan?,y?cot?四个三角函数中只有y?cos?是偶函数，其 它三个是奇函数。（指数函数、对数函数是非奇非偶函数） 10．函数y?Asin??x???的图象： （1）用“图象变换法”作图 法一：先平移后伸缩 平移|?|个单位1横坐标变为原来的倍纵坐标变为原来的A倍????y?????????y?sin（?x??） ??????横坐标不变纵坐标不变(??0)或向右(??0)y?sinx?向左????????y?sin(x??)?Asin(?x??) 10 法二：先伸缩后平移 (??0)或向右(??0)???y?sinx???????y?sin?x?向左????????y?sin(?x??)纵坐标不变1横坐标变为原来的倍 A倍?纵坐标变为原来的????????y?Asin(?x??)横坐标不变平移|?|个单位?(x??)（A>0，??0，x?[0，??)）的值域[-A,A]，周期T?2? 函数y?Asin? ? 11、三角函数的图象与性质： 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性 R R {x|x?k???2,k?Z} R [?1,1] 奇函数 2? 在[?1,1] 偶函数 2? ?2]奇函数 ? [2k???2,2k??单调性 (k?Z) 上是增函数 在[2k???2,2k??3?]2在[2k???,2k?](k?Z) 在(k???,k???)(k?Z) 上是增函数 22在[2k?,2k???](k?Z) 上是增函数 上是减函数 (k?Z) 上是减函数 当x?最值 ?2?2k?,k?Z时，当x?2k?,k?Z时，ymax?1 当x??ymax?1 当x?(2k?1)?,k?Z时， ?2?2k?,k?Z时，ymin??1 对称中心(k?,0)，k?Z 对称性 对称轴：ymin??1 对称中心(k?? 无 ?2,0)，x?k?? ?2(k?Z) k?Z 对称轴：x?k?(k?Z) 对称中心(k?,0)，k?Z 对称轴：无 11 二、平面向量 1、平面向量的概念： ?1?在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量． ?2?向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向 ????????，记作??． ?3?向量??的大小称为向量的模（或长度） 量的方向． ?4?模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ???aa?a与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作． 5???6?方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么 ?????(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa+μa;(3)第二分配律： ????λ(a?b)=λa +λb. ????3、向量的数量积的运算律：(1) a·b =b·a （交换律）; ???????????????(2)（?a）·b = ?（a·b）=?a·b =a·（b?）;(3)（a?b）·c= a·c +b·c. 4、平面向量基本定理： ??如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ1e1 +λ2e2． 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5、坐标运算：（1）设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? 数与向量的积：λa???x1,y1????x1,?y1?，数量积：a?b?x1x2?y1y2 （2）、设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则AB??x2?x1,y2?y1?.（终点减起点） ?????????????????????????226、平面两点间的距离公式：（1） dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1) （2）向量a的模|a|：|a|?a?a?x2?y2； （3）、平面向量的数量积： a?b?a?bcos? ， 注意：0?a?0，0?a?0，a?(?a)?0 1212（4）、向量a??x1,y1?,b??x2,y2?的夹角?，则， cos??x12?y12x22?y22 ??????????2xx?yy?7、重要结论：（1）、两个向量平行： a//b?a??b (??R)，a//b? x1y2?x2y1?0 （2）、两个非零向量垂直 a?b?x1x2?y1y2?0 （3）、设P（x，y） 为P1（x1，y1） 与P2（x2，y2）的中点，则 ， x1?x2? x??2中点坐标公式 ?? ?y?y1?y2??2 12 ??????? 三、空间向量 1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似） ?1?在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量． ?2?向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向 ????????，记作??． ?3?向量??的大小称为向量的模（或长度） 量的方向． ???????向相同；当??0时，?a与a方向相反；当??0时，?a为零向量，记为0．?a的长度?是a的长度的?倍． ??3、设?，?为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． ??????分配律：?a?b??a??b；结合律：???a??????a． 2、实数?与空间向量a的乘积?a是一个向量，称为向量的数乘运算．当??0时，?a与a方 ?4?模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ???aa?a与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作． 5???6?方向相同且模相等的向量称为相等向量． ????4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． ?????5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb?0，a//b的充要条件是存在实 ??数?，使a??b． ??6、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 7、向量共面定理：空间一点?位于平面??C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使 ???????????????x???y?C； ????????????8、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点?，作???a，???b，则????称为向 ??????量a，b的夹角，记作?a,b?．两个向量夹角的取值范围是：?a,b???0,??． ?????????9、对于两个非零向量a和b，若?a,b??，则向量a，b互相垂直，记作a?b． 2??????????10、已知两个非零向量a和b，则abcos?a,b?称为a，b的数量积，记作a?b．即 ??????a?b?abcos?a,b?．零向量与任何向量的数量积为0． ?????????11、a?b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos?a,b?的乘积． ??????????a12、若，b为非零向量，e为单位向量，则有?1?e?a?a?e?acos?a,e?； ????????2???aba与b同向???????，a?a?a，a?a?a；?2?a?b?a?b?0；?3?a?b???????aba与b反向?????? 13 ??a?b???4?cos?a,b????． ab13、量数乘积的运算律：?1?a?b?b?a；?2???????a??b??a?b?a??b； ????14、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则 ????， a//b?a/?/ba??b????R????异面垂直时a?b?a?b?a?b?0． ??????15、若空间不重合的两个平面?，?的法向量分别为a，b，则?//??a//b?a??b， ?3?????????a?b?c?a?c?b?c． ?????????????????a?b?a?b?0． ??16、直线l垂直?，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面?的法向量． 【必修五】： 一、解三角形：1.三角形的面积公式：S??2.正弦定理 : 111absinC?acsinB?bcsinA 222abc???2R,边用角表示：a?2RsinA, b?2RsinB，c?2RsinC sinAsinBsinC （2）变式：sinA:sinB:sinC?a：b：c 3.余弦定理： a2?b2?c2?2bc?cosAb2?a2?c2?2ac?cosBc2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?2ab(1?cocC)4.求角： b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2 cosA? cosB? cosC?2bc2ac2ab 二. 数列 1、数列的前n项和：Sn?a1?a2?a3???an； ?a1?S1(n?1)数列前n项和与通项的关系： an?? ?Sn?Sn?1(n?2) 2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 (an?an?1?d)； （2）、1）通项公式：an?a1?(n?1)d （其中首项是a1，公差是d；） 14 2）等差数列?an?中，若m+n=p+q,则am?an （3） ?ap?aq na1(d?0)前n项和：Sn? n(a1?an)n(n?1)?na1?d22（d≠0） a?bA?（4）、等差中项： A是a与b的等差中项： 或2A?a?b， 2三个数成等差常设：a-d，a，a+d 3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 (an?q)（q?0）。 an?1 （2）、1）通项公式：an?a1qn?1（其中：首项是a1，公比是q） 2）等比数列?an?中，若m+n=p+q,则am?an?ap?aq na1,(q?1) ??（3）、前n项和：S n??a?aqa(1?qn)1n1?,(q?1) ?1?q1?q? Gb?（4）、等比中项： G是a与b的等比中项：， 即 aG G2?ab（或G??ab，等比中项有两个） 三：不等式 22a?b1、重要不等式：（1）a,b?R?a?b?2ab 或 (当且仅当a＝bab?2时取“=”号)． 22 2、均值不等式：（2）a,b?R?? (当且仅当a＝b时取“=”号)． 一正、二定、三相等 a?ba?b2?ab 或 ab?()22 15 3.一元二次不等式的解集情况 法一：如下表： 判别式??b2?4ac 二次函数 ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 一元二次方程 ax2?bx?c?0(a?0)的根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 法二：序轴标根法 1）分解因式（各因式未知数x的系数须先化为正数） 2）将因式的跟（按大小顺序）在数轴上标出（原点不是根时不需标出） 3）画线：以数轴为标准，从“最大根”的右上方向左画线，“奇穿偶切”即遇重根点时，奇次穿过数轴，偶次根不穿过而是反切回来，另外带等号零点画实心，否则空心点。 4）取值：大于号取上方，小于号取下方。 16 3.一元二次不等式的解集情况 法一：如下表： 判别式??b2?4ac 二次函数 ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 一元二次方程 ax2?bx?c?0(a?0)的根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 法二：序轴标根法 1）分解因式（各因式未知数x的系数须先化为正数） 2）将因式的跟（按大小顺序）在数轴上标出（原点不是根时不需标出） 3）画线：以数轴为标准，从“最大根”的右上方向左画线，“奇穿偶切”即遇重根点时，奇次穿过数轴，偶次根不穿过而是反切回来，另外带等号零点画实心，否则空心点。 4）取值：大于号取上方，小于号取下方。 16
