第三讲：因式分解
姓名：_________ 日期：_________
课前热身 1．下列多项式能分解因式的是( )
A．x2＋y2 B．－x2－y2 C．－x2＋2xy－y2 D．x2－xy＋y2 2．下列式子变形是因式分解的是( )
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 3．下列各因式分解正确的是( )
A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2) B．x2＋2x－1＝(x－1) C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2) 4．因式分解：
①a2－b2＝______________. ②m2－6m＋9＝______________. ③4x2－2x＝______________. ④2x2－8＝______________. ⑤2x2＋4x＋2＝___________. ⑥a－6ab＋9ab2＝______________. ⑦ab3－4ab＝______________. ⑧x3－4x2－12x＝______________. 5．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
6．若m2－n2＝6且m－n＝3，则m＋n＝________. 7．分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )
A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 x2－2xy＋y2
8．已知：x＝3＋1，y＝3－1，求的值．
x2－y2
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知识回顾 一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。 2、因式分解与整式乘法是 运算。
3、判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
①公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
②提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。 ③提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。 2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a2－b2= ,
②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
③运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a
11与b。如：x－x+符合完全平方公式形式，而x2－x+就不符合该公式的形式。
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3、十字相乘法：
x2+(p+q)x+pq= 三、因式分解的一般步骤
1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。 2、二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。 3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
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考点例析 考点一：因式分解的概念
1、多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ． 2、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．a（x－y）=ax－ay C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 考点二：因式分解常用方法
1、分解因式：2x2－4x= ． 2、下列因式分解正确的是（ ）
A．x2－xy+x=x（x－y） C．x2－2x+4=（x－1）2+3
B．a3－2a2b+ab2=a（a－b）2 D．ax2－9=a（x+3）（x－3） B．x2+2x+1=x（x+2）+1 D．x3－x=x（x+1）（x－1）
3、因式分解：mx2－my2= ． 4、在实数内因式分解：m3－5m= ． 5、下列分解因式正确的是（ ） A．3x2－6x=x（3x－6） C．4x2－y2=（4x+y）（4x－y）
B．－a2+b2=（b+a）（b－a） D．4x2－2xy+y2=（2x－y）2
6、分解因式：ab2－4ab+4a= ． 7、已知x2?x?m?(x?n)2，则m=____ ，n=____ 。 8、分解因式4x－x2= ． 9、分解因式：5x2－20= ． 10、分解因式：m3－4m= ． 11、分解因式：2m3－8m= ． 12、分解因式：2a2－8b2= ． 13、分解因式：a2b－4b3= ． 114、分解因式：－3x2+2x－= ． 315、分解因式：3a2－12ab+12b2= ． 16、若x2?2(m?3)x?16是完全平方式，则m的值等于_____。
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考点三：形如x2+(p+q)x+pq型的因式分解 1、将下列式子因式分解：
①x2+3x+2 ②x2－5x－14 ③x2－x－12 ④x2+x－12
2、若x2?3x?10??x?a??x?b?，则a=________，b=________。 3、x2?(_____) x?2?(x?2)(x?_____)4、已知2x2?3xy?y2?0,(xy?0)，则考点四：因式分解的应用
1、已知a+b=2，则a2－b2+4b的值为 ． 2、已知ab=2，a－b=3，则a3b－2a2b2+ab3= ． 3、若x2?6x?k是x的完全平方式，则k=__________。
4、若x?y?5,xy?6则x2y?xy2=_________，2x2?2y2=__________。 5、已知x?2y?1?x2?4xy?4y2?0，则x?y=___________。 6、如果9x2?kx?25是一个完全平方式，那么k的值是_______。 7、若x?y?4,x2?y2?6则xy?___ 。
xy?的值是________。 yx聚焦中考 1、下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1
B．x2+2x－1
C．x2－1
D．x2－6x+9
2、分解因式a3－a的结果是（ ）
A．a(a2－1)
B．a(a－1)2
C．a(a+1)(a－1)
D．(a2+a)(a－1)
3、把x2y－2y2x+y3分解因式正确的是（ ）
A．y(x2－2xy+y2) B．x2y－y2(2x－y) C．y(x－y)2
D．y(x+y)2
4、多项式ax2－a与多项式x2－2x+1的公因式是 ． 5、分解因式：a2－2a= ． 第4页
6、分解因式：x2+xy= ． 7、因式分解：a2－9= ． 8、因式分解：x2－4x+4= ． 9、分解因式：x3－4x＝___________． 10、因式分解：x2－9y2= ． 11、分解因式：x2－4（x－1）= ． 12、因式分解：ab2－a= ． 13、分解因式：am2－4an2= ． 14、因式分解：x2y4－x4y2= ． 15、若m2－n2=6，且m－n=2，则m+n= ． 16、已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为 ． 17、已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x+a)(x+b)，其中a、b均为整数，则a+3b= ． 18、若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝________. 19、分解因式：x2－y2－3x－3y＝______________.
20、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
21、若x、y互为相反数，且(x?2)2?(y?1)2?4，求x、y的值
22、对于任意自然数n，(n?7)2?(n?5)2都能被24整除。
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课后作业 1、下列变形，是因式分解的是（ ）
A .(x?4)(x?4)?x2?16 B.x2?3x?16?(x?2)(x?5)?6 C.x2?16?(x?4)(x?4) D.x2?6x?16?(x?8)(x?2) 2、下列各式中，不含因式a?1的是（ ）
A.2a2?5a?3 B.a2?2a?3 C.a2?4a?3 D.a2?3、下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（ ） A.a2?16 B.a2b2?4a C.3(a?b)2?27 D.a3?b3 4、当n是整数时，?2n?1???2n?1?是( )
A.2的倍数 B.4的倍数 C.6的倍数 D.8的倍数
15、已知2x?y?，xy?2，求 2x4y3?x3y4的值。
32231a? 22
6、已知m、n互为相反数，且满足?m?4???n?4??16，求m2?n2?
7、把下列各式因式分解：
（1）?m2?2mn?n2 （2）x4?16 （3）x3?2x2y?xy2
（4）x2?x?2 （5）(x2?y2)2?4x2 （6）x2?xy?30y2
22m的值。 n
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课后作业 1、下列变形，是因式分解的是（ ）
A .(x?4)(x?4)?x2?16 B.x2?3x?16?(x?2)(x?5)?6 C.x2?16?(x?4)(x?4) D.x2?6x?16?(x?8)(x?2) 2、下列各式中，不含因式a?1的是（ ）
A.2a2?5a?3 B.a2?2a?3 C.a2?4a?3 D.a2?3、下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（ ） A.a2?16 B.a2b2?4a C.3(a?b)2?27 D.a3?b3 4、当n是整数时，?2n?1???2n?1?是( )
A.2的倍数 B.4的倍数 C.6的倍数 D.8的倍数
15、已知2x?y?，xy?2，求 2x4y3?x3y4的值。
32231a? 22
6、已知m、n互为相反数，且满足?m?4???n?4??16，求m2?n2?
7、把下列各式因式分解：
（1）?m2?2mn?n2 （2）x4?16 （3）x3?2x2y?xy2
（4）x2?x?2 （5）(x2?y2)2?4x2 （6）x2?xy?30y2
22m的值。 n
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