4．3 平面向量的数量积及其应用
[知识梳理] 1．两个向量的夹角
2．平面向量的数量积
3．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|或|a|＝a·a.
2
a·b(4)cosθ＝. |a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y或|a|＝x＋y.
→
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝?x2－x1?＋?y2－y1?. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝
2
2
2
2
2
2
2
x1x2＋y1y2
. 22
x2x21＋y1·2＋y2
特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别． (2)对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，
b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，
有可能a⊥b.
(3)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c不一定成立．例如a·b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，a与c不一定相等．
又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故a·b＝b·c，但a≠c.
(4)两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.
(5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． (6)a·b中的“·”不能省略． [诊断自测] 1．概念辨析
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( ) (3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
→→→→(4)在△ABC中，AB·BC＝|AB|·|BC|cosB.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(必修A4 P108T3)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( ) A．12 B．6 C．33 D．3 答案 B
解析 a·b＝－122＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选B.
(2)(必修A4 P104例1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 |b|cosθ＝4×cos120°＝－2. 3．小题热身
3??1?31?
(1)(2017·包头质检)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )
?22??22?A．30° B．45° C．60° D．120° 答案 A
→
解析 cos∠ABC＝
→
→→＝
3
，所以∠ABC＝30°.故选A. 2→
→
BA·BC|BA||BC|
(2)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________. 答案 23
1222
解析 由题意知a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×＝1，则|a＋2b|＝(a＋2b)＝|a|＋
24|b|＋4a·b＝4＋4＋4＝12.
所以|a＋2b|＝23.
2
题型1 平面向量数量积的运算角度1 求数量积
典例 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接
→
→
DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
51111A．－ B. C. D. 8848本题可采用向量坐标法． 答案 B
解析 建立平面直角坐标系，如图．
?1??1?则B?－，0?，C?，0?， ?2??2?
A?0，
??3??， 2?
→
所以BC＝(1,0)．
111
易知DE＝AC，则EF＝AC＝，
244因为∠FEC＝60°，
3??1
所以点F的坐标为?，－?，
8??853??1
所以AF＝?，－?，
8??8
153??1
所以AF·BC＝?，－?·(1,0)＝8.故选B.
8??8角度2 平面向量的夹角与垂直问题
典例 已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比
→→
数列，则BA·BC的取值范围为( )
A．[2,18)
→
→→
?3?5－1??B.?，2? ?2?
D．(2,9－35)
?27－95?
C.?2，?
2??
本题采用转化思想、向量法、余弦定理． 答案 C
解析 由题意可得a＋b＋c＝6，且b＝ac， ∴b＝ac≤
2
a＋c6－b2＝2
，从而0 2 2 2 2 再由|a－c| ∴(6－b)－4b 35－3 ， 2 2222 35－3 a2＋c2－b2a2＋c2－ac∵cosB＝＝， 2ac2ac→ → ∴BA·BC＝accosB＝ → → a2＋c2－b2?a＋c?2－2ac－b2?6－b?2－3b2 2 ＝ 2 ＝2 ＝－(b＋3)＋27， 2 27－95 则2≤BA·BC<.故选C. 2角度3 求向量的模(或最值、范围) 22 已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则典例→→ → |PA＋PB＋PC|的最大值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 本题采用三角函数法、不等式法． 答案 B 解析 解法一：由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径． → → → → →→ → 22故PA＋PC＝2PO＝(－4,0)(O为坐标原点)． →→→ 设B(cosα，sinα)，∴PB＝(cosα－2，sinα)，∴PA＋PB＋PC＝(cosα－6，sinα)，|PA＋PB＋PC|＝?cosα－6?＋sinα＝37－12cosα≤37＋12＝7，当且仅当cosα＝－ → → → →→ → →→方法技巧 求向量模及最值(范围)的方法 →→ →→ → → → → →→ → →→ 解法二：同解法一得PA＋PC＝2PO(O为坐标原点)，又PB＝PO＋OB，∴|PA＋PB＋PC|＝|3PO＋OB|≤3|PO|＋|OB|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO与OB同向时取等号，此时B点坐标为(－1,0)，故|PA＋PB＋PC|max＝7.故选B. 1时取等号，此时B(－1,0)，故|PA＋PB＋PC|的最大值为7.故选B. 1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． 2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的取值范围． 冲关针对训练 ?2?1．已知向量a，b，c，满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·?c－b?＝0，则|b?3? －c|的最小值是( ) A．2－3 B．2＋3 C．1 D．2 答案 A ?2?解析 根据条件，设a＝(1, 3)，b＝(3,0)，设c＝(x，y)，则(c－2a)·?c－b?＝?3? (x－2，y－23)·(x－2，y)＝0； ∴(x－2)＋(y－3)＝3； ∴c的终点在以(2，3)为圆心，3为半径的圆上，如图所示： ∴|b－c|的最小值为 ?2－3?＋?3－0?－3＝2－3. 故选A. →→ 2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________. 答案 2 2 2 2 2 ?→1→?122122 解析 解法一：AE·BD＝?AD＋AB?·(AD－AB)＝AD－AB＝2－×2＝2. 222?? 解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)， → → → → 题型2 平面向量的综合应用 角度1 在平面几何中的应用 →→ BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP·(BA典例 已知△ABC的三边长AC＝3，→ －BC)的最大值为________． 本题采用坐标法、基向量法． →→→→→→ D(0,2)，AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，则AE·BD＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案 9 解析 (坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且 → 值9. 角度2 三角函数与向量 典例 已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 利用转化法将向量方程转化为三角方程． 解 (1)证明：由题意得|a－b|＝2，即(a－b)＝a－2a·b＋b＝2. 因为a＝b＝|a|＝|b|＝1，所以1－2a·b＋1＝2.所以a·b＝0.故a⊥b. (2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)， ??cosα＋cosβ＝0，所以? ?sinα＋sinβ＝1，? 2 2 2 2 2 2 2 2 →→→→ 0≤y≤3,0≤x≤4，则CP·(BA－BC)＝CP·CA＝(x，y)·(0,3)＝3y，当y＝3时，取得最大 由此得cosα＝cos(π－β)，由 0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，所以α＝π－β. 1代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝， 25ππ 又α>β，所以α＝，β＝. 66角度3 向量与解析几何的综合 22 已知动直线l与圆O：x＋y＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为典例1 →→→ 5 直线l上一点，且满足CB＝CA，若M是线段AB的中点，则OC·OM的值为( ) 2 A．3 B．23 C．2 D．－3 运用数形结合思想，坐标法化为代数问题． 答案 A 解析 动直线l与圆O：x＋y＝4相交于A，B两点， 且满足|AB|＝2，则△OAB为等边三角形， 于是可设动直线l为y＝3(x＋2)， 2 2 → 根据题意可得B(－2,0)，A(－1，3)， ∵M是线段AB的中点， 3??3 ∴M?－，?. ?22?设C(x，y)， →5 ∵CB＝CA， 2 5 ∴(－2－x，－y)＝(－1－x，3－y)， 2→ ??∴?5 －y＝??2? 5 －2－x＝?－1－x?， 2 3－y?， 1x＝－，??3解得? 53y＝??3， ?153? ∴C?－，?， ?33? 3?15?153??3 ∴OC·OM＝?－，?·?－，?＝2＋2＝3， ?33??22?故选A. 典例2 已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆C. (1)求圆C的方程； → 坐标原点)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 坐标法，利用向量的坐标与解析几何的坐标的关系求解． 3－2?35?解 (1)线段AB的中点E?，?，kAB＝＝－1， 1－2?22?53 故线段AB的中垂线方程为y－＝x－，即x－y＋1＝0. 22因为圆C经过A，B两点，故圆心在线段AB的中垂线上． 又因为直线m：3x－2y＝0平分圆C，所以直线m经过圆心． ??x－y＋1＝0， 由? ?3x－2y＝0，? →→ → (2)若直线l：y＝kx＋2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得OM·ON＝6(O为 ??x＝2， 解得? ?y＝3，? 即圆心的坐标为C(2,3)， 而圆的半径r＝|BC|＝?2－2?＋?2－3?＝1， 2 2 所以圆C的方程为(x－2)＋(y－3)＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将y＝kx＋2代入圆C的方程，即(1＋k)x－(2k＋4)x＋4＝0， 422 由Δ＝(2k＋4)－16(1＋k)>0，得0 3∴x1＋x2＝→ → 2 2 2 22 2k＋44 2，x1x2＝2， 1＋k1＋k∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝6， 42k＋42 ∴(1＋k)2＋2k·2＋4＝6， 1＋k1＋k即3k＋4k＋1＝0， 1 解得k＝－1或k＝－. 3 此时不满足Δ>0，与直线l与圆C交于M，N两点相矛盾， →→ 所以不存在直线l，使得OM·ON＝6. 方法技巧 1．平面向量的模及其应用的类型及解题策略 (1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)＝|a|±2a·b＋|b|，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 2．向量在平面几何中的应用 用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．如角度1典例． 3．向量与三角函数综合应用 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决． (2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识． 4．向量在解析几何中的作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是 2 2 2 2 利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． (2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．如角度3典例1. 冲关针对训练 → → →→ → → → → 1．(2018·沈阳模拟)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝( ) A．20 B．15 C．9 D．6 答案 C → →→→33 ∴根据图形可得：AM＝AB＋BC＝AB＋AD， 44→→ →→→ 22 AN＝AD＋DC＝AD＋AB， 33→→→ →→→→→ → →→ →→ → 2 →→→ 解析 如图所示，∵四边形ABCD为平行四边形，点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC， →→ ∵NM＝AM－AN， → → ∴AM·NM＝AM·(AM－AN)＝AM－AM·AN， AM2＝AB2＋AB·AD＋AD2， →→ →→→→22323 AM·AN＝AB＋AD＋AB·AD， 342→→ → → |AB|＝6，|AD|＝4， →→1232 ∴AM·NM＝AB－AD＝12－3＝9.故选C. 316 1AB4AC2．已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且AP＝＋， t→→ |AB||AC| →→ → → → → → 3 2916 →→ A．13 B．15 C．19 D．21 答案 A 解析 由题意建立如图所示的坐标系， 则PB·PC的最大值等于( ) ?1?可得A(0,0)，B?，0?， ?t? C(0，t)， →∵AP＝ → →＋4AC， →|AC| AB→|AB| ∴P(1,4)， ?1?∴PB＝?－1，－4?， ?t? → → PC＝(－1，t－4)， 1??1??∴PB·PC＝－?－1?－4(t－4)＝17－?4t＋?， → → ?t??t? 1 由基本不等式可得＋4t≥2 1 tt·4t＝4， 1??∴17－?4t＋?≤17－4＝13， t?? 11 当且仅当4t＝，即t＝时取等号， t2→ → 2 ∴PB·PC的最大值为13，故选A. 3．过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物 →→→→ 线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程为( ) A．y＝8x C．y＝16x 答案 B → → → → 解析 如图所示，AF＝FB?F为线段AB中点，∵AF＝AC，∴∠ABC＝30°.由BA·BC＝ 22 B．y＝4x D．y＝42x 2 2 48，得BC＝43，得AC＝4. 12 ∴由中位线的性质有p＝AC＝2.故抛物线的方程为y＝4x.故选B. 2 1.(2017·湖南长沙二模)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，→ →→ 34 A．－2 B．－ C．－ D．－1 23答案 B → →→→→→ → →→ → → 2 则PA·(PB＋PC)的最小值是( ) →→ 解析 解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有PB＋PC＝2PD， 则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD → 2 → 2 ＝2(PE＋EA)·(PE－EA)＝2(PE－EA)．而AE＝? → 2 ?3?23 ?＝， ?2?4 →→ → 2 → 当P与E重合时，PE有最小值0，故此时PA·(PB＋PC)取最小值，最小值为－2EA＝33 －2×＝－.故选B. 42 解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图， 则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，3)，设P(x，y)，取BC的中点D， 3??1 则D?，?. ?22?→ → → → → PA·(PB＋PC)＝2PA·PD 3?1? ＝2(－1－x，－y)·?－x，－y? 2?2?3?????1?＝2??x＋1?·?x－?＋y·?y－?? ?2?2????3?23???1?2? ＝2??x＋?＋?y－?－?. 4?4???4?? 133?3?因此，当x＝－，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为2×?－?＝－.故442?4?选B. 2．(2018·江西质检)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则m＝________. 答案 －2 解析 由|a＋b|＝|a|＋|b|，可得a·b＝0. ∴a·b＝m＋2＝0，∴m＝－2. 3．(2017·河北模拟)已知α是锐角三角形的最小内角，向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，则a·b的取值范围是________． 答案 (1，2 ] π?πππ7π?解析 由题意知0<α≤，a·b＝sinα＋cosα＝2sin?α＋?，由<α＋≤， 4?34412?得 π?2? 4?2?答案 15 → →→ → 22 2 2 2 2 2 →→→ →→→→→ 解析 因为AP＝(λ－1)OA，所以OP＝λOA，即O，A，P三点共线，因为OA·OP＝72，所以OA·OP＝λ|OA|＝72，，设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上 → 的投影长度为|OP||cosθ|＝|λ||x|＝ 72|x|72|x|72 ＝2≤2＝→x＋y169 |x|＋2 25|x|2|OA| 72 ＝15，当且16×925 15 仅当|x|＝时取等号． 4 [基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( ) A. 881616 B．－ C. D．－ 65656565 答案 C 解析 由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)．由cos〈a，b〉＝ a·b16 ＝.故选C. |a||b|65 2．已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则55A．－ B．1 C．2 D. 34答案 B |2a－b| 等于( ) a·?a＋b? 解析 ∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴ |2a－b|5 ＝＝1.故选B. a·?a＋b?5 →→ →→ 则向量EF在FD方向上的投影为( ) A．6 B．－6 C．23 D．－23 答案 B → → → → →→ 解析 由OD＋DE＋DF＝0得，DO＝DE＋DF. ∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF. → → → 连接OF，∵|OF|＝|OD|＝|DF|＝4， ∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°. ∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝43. →→ → → → ∴向量EF在FD方向上的投影为|EF|·cos〈EF，FD〉＝43cos150°＝－6，故选B. → ?→?→ABAC?＋?·BC＝0 4．已知非零向量AB与AC满足 ?→→??|AB||AC|? → → ( ) A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形 答案 D → ?→?→ABAC?＋?·BC＝0，所以∠BAC因为非零向量AB与AC满足 ?→→??|AB||AC|? → → B．直角三角形 D．等边三角形 →且 →·→ → → 3．已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果OD＋DE＋DF＝0，且|OD|＝|DF|， AB→|AB| AC1 ＝，则△ABC为→2 |AC| 解析 的平分线垂直于 →→·BC，所以AB＝AC.又cos∠BAC＝ AB→|AB| AC1π＝，所以∠BAC＝. →23|AC| 所以△ABC为等边三角形．故选D. → → → → → → → → 5．在△ABC中，|AB＋AC|＝3|AB－AC|，|AB|＝|AC|＝3，则CB·CA的值为( ) 99 A．3 B．－3 C．－ D. 22答案 D → →→ → →→ → →→ →→ → → 2 → 2 →→→ 2 → 2 解析 由|AB＋AC|＝3|AB－AC|两边平方可得，AB＋AC＋2AB·AC＝3(AB＋AC－922 2AB·AC)，即AB＋AC＝4AB·AC，又|AB|＝|AC|＝3，所以AB·AC＝，又因为CB＝AB－AC， 2992 所以CB·CA＝(AB－AC)·(－AC)＝AC－AB·AC＝9－＝，故选D. 22 → → →→ → → → → → 6．(2017·龙岩一模)已知向量OA与OB的夹角为60°，且|OA|＝3，|OB|＝2，若OC＝mOA＋nOB，且OC⊥AB，则实数的值为( ) 11 A. B. C．6 D．4 64答案 A →→→ → → → → →→→ → → →→→→ → 2 →→→→→ →→→→→→→→ mn解析 OA·OB＝3×2×cos60°＝3，∵OC＝mOA＋nOB，且OC⊥AB， → 2 ∴(mOA＋nOB)·AB＝(mOA＋nOB)·(OB－OA)＝(m－n)OA·OB－mOA＋nOB＝0， ∴3(m－n)－9m＋4n＝0， m1 ∴＝.故选A. n6 322 7．已知直线y＝x＋m和圆x＋y＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若AO·AB＝，则2实数m＝( ) A．±1 B．±答案 C 321 C．± D．± 222 → → ??y＝x＋m， 解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立?22 ?x＋y＝1，? 消去y得2x＋2mx＋m－1＝0， 22 由Δ＝4m－8(m－1)>0，得－2 22 m2－1 2→ ，xA＋xB＝－m，所以yAyB＝(xA＋m)(xB＋m)＝ m－1 2 322 ，由AO·AB＝AO·(OB－OA)＝－OA·OB＋OA＝－xAxB－yAyB＋1＝－m＋2＝，222 .故选C. 2 →→→→→→→ 解得m＝±α·β 8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝.若两个非零的平面向 β·β ??ππ??，量a，b满足a与b的夹角θ∈?且a·b和b·a都在集合??， ?42??? ? 2 ??n? 则a·b?n∈Z?中， ?? 等于( ) 531 A. B. C．1 D. 222答案 D 解析 根据新定义，得a·b＝|a||b|cosθ|b| ＝cosθ. 2 |a||a| 又因为a·b和b·a都在集合么(a·b)·(b·a)＝cosθ＝ 2 a·b|a||b|cosθ|a|b·a＝＝cosθ，b·a＝＝2b·b|b||b|a·a ?n??n1n2 ??n∈Z?中，设a·b＝，b·a＝(n1，n2∈Z)，那 22?2?? n1n2 ?ππ?，又θ∈?，?，所以0 4?42? n11 所以n1，n2的值均为1，故a·b＝＝.故选D. 22 9．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t， ?c＋ta＋1b?的最小值是( ) ?t??? A．2 B．22 C．4 D．42 答案 B 解析 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由c·a＝c·b＝1，得c＝(1,1)，c＋ ????ta＋b＝(1,1)＋t(1,0)＋(0,1)＝?t＋1，1＋?，?c＋ta＋b?＝ t??t?tt? t2＋2＋2t＋＋2≥22，当且仅当t＝1时等号成立．故选B. tt1 2 1111 ?1?22 ?t＋1?＋?1＋?＝ ? t? 10．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围 是( ) A．[2－1，2＋1] C．[1，2＋1] 答案 A 解析 以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，设c＝(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)＋(y－1)＝1.即(x，y)是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|＝x＋y.所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|－r≤|c|≤|OM|＋r，即|c|∈[2－1，2＋1]．故选A. 二、填空题 11．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|a－2b|＝27，则|b|＝________. 答案 3 解析 因为|a|＝2，|a－2b|＝27，所以(a－2b)＝28，即4－4a·b＋4|b|＝28，又向量a，b的夹角为60°，所以4－4×2×|b|cos60°＋4|b|＝28，解得|b|＝3. 1 12．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2 3的夹角为β，则cosβ＝________. 答案 22 3 2 2 2 2 2 2 2 B．[2－1，2＋2] D．[1，2＋2] 1 解析 a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8. 3122 ∵|a|＝(3e1－2e2)＝9＋4－12×1×1×＝9， 3∴|a|＝3. 122 ∵|b|＝(3e1－e2)＝9＋1－6×1×1×＝8， 3∴|b|＝22， ∴cosβ＝ a·b822 ＝＝. |a||b|3×223 π 13．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC， 3→→ |BM||CN| CD上的点，且满足＝，则AM·AN的取值范围是________． →→ |BC||CD| 答案 [2,5] → → →→ |BM||CN| 解析 如图所示，设＝＝λ，则λ∈[0,1]， →→ |BC||CD| →→ →→ →→ →→ → →→ →→ → → → → → AM·AN＝(AB＋BM)·(AD＋DN)＝(AB＋λBC)·[AD＋(λ－1)CD]＝AB·AD＋(λ－ 1 1)AB·CD＋λBC·AD＋λ(λ－1)BC·CD＝1×2×＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－ 21)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ＋λ＝－(λ＋1)＋6. → → → ＝－4，则λ的值为________． 答案 3 11 → →→ → →→ → → → → ∵λ∈[0,1]，∴AM·AN∈[2,5]． 14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE2 2 解析 由题意，知|AB|＝3，|AC|＝2， AB·AC＝3×2×cos60°＝3， →→ →→ 2212 AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC， 3333 →→ → → → → ?1→2→? ∴AD·AE＝?AB＋AC?·(λAC－AB) 3??3 →→→→ λ－212λ＝AB·AC－AB2＋AC2 333＝ λ－212λ22 ×3－×3＋×2 333 →→→→ 113＝λ－5＝－4，解得λ＝. 311三、解答题 15．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边 → → → 围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)． 2 (1)若m＝n＝，求|OP|； 3 (2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． →→2 解 (1)∵m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)， 322 ∴OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)， 33→ ∴|OP|＝2＋2＝22. → (2)∵OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)， ∴? ?x＝m＋2n，? ??y＝2m＋n， 2 2 → → 两式相减，得m－n＝y－x. 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1. 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))， n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－. (1)求sinA的值； → 3 解 (1)由m·n＝－， 5 3 得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－， 53 所以cosA＝－.因为0 5所以sinA＝1－cosA＝ 2 35 → (2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影． ?3?241－?－?＝. ?5?5 b(2)由正弦定理，得＝， sinAsinB45bsinA2 则sinB＝＝＝， a242 5× a π 因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝. 4 ?3?222 由余弦定理得(42)＝5＋c－2×5c×?－?， ?5? 解得c＝1，c＝－7(舍去)， →→ → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝ccosB＝1× 22＝. 22
