2．斜面问题 （1）分解速度
例题4. 在倾角为θ的斜面上以初速度v0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜面的最大距离是多少？
（2）分解位移
例题5. 如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab =bc =cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落 在斜面上的（ ） O A．b与c之间某一点 d B．c点 c C．c与d之间某一点 b a D．d点
3．相对运动中的平抛
例题6. 正沿平直轨道以速度v匀速行驶的车厢内，前面高h的支架上放着一个小球，如图所示，
若车厢突然改以加速度a，做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到架子的水平距离为多少？
vo
h
4．雨滴问题
例题7.雨伞边缘的半径为r，距水平地面的高度为h，现将雨伞以角速度ω匀速旋转，使雨滴自伞边缘甩出，落在地面上成一个大圆圈。求： (1)大圆圈的半径是多少？
(2)雨滴落到地面时速率是多少？
R
ω h
5、碰钉问题：
例题8. 一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方L/2处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间（ ） A．小球线速度没有变化
B．小球的角速度突然增大到原来的2倍 O L C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍 D．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍
6、类平抛运动
21
例题9 如图所示，光滑斜面长为a ，宽为b ，倾角为? ，一物体从斜面左上方P点水平射入，而从斜面右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。
7. 转化为平抛运动
例题10. 所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为R，且井壁光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度
v0抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第n次碰撞处的深
度。
二．匀速圆周运动 1. 基本解法
例题11. 在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为?。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，?应等于（ ）
v2v2A.arc sinarc tanRg B、Rg 12v2v2arc sinarc cot2RgRg C、 D、
例题12. 如图所示，暗室内，电风扇在频闪光源照射下运转，光源每秒闪光30次。如图电扇叶片有3个，相互夹角120°。已知该电扇的转速不超过500 r/min.现在观察者感觉叶片有6个，则电风扇的转速是________ r/min。
2. 皮带传动和摩擦传动问题
例题13. 如图所示，是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品。A轮处装有光电计数器，它可以记录通过A处的产品数目。已知测得轮A、B的半径分别为rA=20cm，rB=l0cm，相邻两产品距离为30cm，lmin内有41个产品通过A处，求： （1）产品随传输带移动的速度大小；
（2）A、B轮轮缘上的两点P、Q及A轮半径中点M的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度方向；
（3）如果A轮是通过摩擦带动C轮转动，且rC=5 cm，在图中描出C轮的转动方向，求出C轮的角速度（假设轮不打滑）。
22
3. 水平面上圆周运动
例题14.如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰,做匀速圆周运动.图中a、b两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹.不考虑车轮受到的侧向摩擦,下列说法中正确的是（ ） A．在a轨道上运动时角速度较大 B．在a轨道上运动时线速度较大
a C．在a轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大
b D．在a轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较大
例题15. 如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连，开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为重力的μ倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？
O A B
例题16.如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？
A B O
．
4. 竖直面上圆周运动
例题17. 如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg．求A、B两球落地点间的距离．
C
O
B A
5．圆周运动中的多解问题 例题18. 如图所示，某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔A、B，A、B与轴的垂直连线之间的夹角为θ，一质点（质量不计）在某时刻沿A孔所在直径方向匀速射入圆筒，恰从B孔穿出，若质点匀速运动的速度为v，圆筒半径为R．则，圆筒转动的角速度为多大？
23
课后练习
1. 抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。（设重力加速度为g）
（1）若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点（如图实线所示），求P1点距O点的距离x1。
（2）若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点（如图虚线所示），求v2的大小。
（3）若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处，求发球点距O点的高度。
2. 一位同学将一足球从楼梯顶部以
v0?2m/s的速度踢出
（忽略空
气阻力），若所有台阶都是高0.2m， 宽0.25m，问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上？ 3. 在倾角为?的斜面顶端A处以速度
v0水平抛出一小球，落在斜面上的某一
点B处，
设空气阻力不计，求：
(1)小球从A运动到B处所需的时间和位移。
(2) 从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？ 4. 从倾角为θ的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度 水平向右抛出，第一次初速度为度方向与斜面的夹角为
v1，球落到斜面上前一瞬间的速
?1，第二次初速度v2，球落在斜面上前
?2，若v1?v2，试比较?1、?2的大小 两小球，则
一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为5．如图所示，在斜面上O点先后以
v0和2v0的速度水平抛出A、B
V0 从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为（ ）
o A．1 ：2 B．1 ：3 C．1 ：4 D．1 ：5
6. 如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板O点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端 挂 一个质量m为0.5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10 N。小球在水平面 内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v?9m/s的速度落在墙边。
24
求这个圆柱形房屋的高度H和半径R。（g取10 m/s2）
7. 在运动的合成与分解的实验中，红蜡块在长1 m的玻璃管中竖直方向能做匀速直线运动，现在某同学拿着玻璃管沿水平方向做匀加速直线运动，并每隔一秒画出了蜡块运动所到达的位置如图所示，若取轨迹C(x，y)点作该曲线的切线（图中虚线）交y轴于A点，则OA的坐标为（ ） A．(0，0.6 y) B．(0，0.5 y) C．(0，0.4 y) D．不能确定
8. 如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动
摩擦小轮
小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，
小发电机
小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速车轮 n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相小齿轮
大齿轮 对滑动）
链条 9. 如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20cm处放置一小 物块A，其质量为m＝2kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k＝0.5），（取g=10m/s2）试求:
⑴当圆盘转动的角速度ω＝2rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？ ω 方向如何？
O m ⑵欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？
10. 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
A O
ω
11. 如图为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别装在一个迅速转动的轴 上，两盘平行．若圆盘以转速3600r／min旋转，子弹以垂直圆盘方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距1m，两盘上被子弹穿过的半径夹角15°，则子弹的速度的大小为_____________。
12. 如图所示，半径为R的圆板做匀速运动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方h处以平行于OB方向水平抛出一球，小球抛出时的速度及圆盘转动的角速度为多少时，小球与圆盘只碰撞一次，且落点为B。 v
h 第五讲 万有引力与天体运动
O ω 一．天体运动问题的处理方法 B
处理天体的运动问题时，一般来说建立这样的物理模型：中心天体不动，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到的中心天体的万有引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律与圆周运动规律进行分析，一般来说有两个思路：
一是环绕天体绕中心天体在较高轨道上做匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，
25
第一讲 直线运动规律 一．解题方法 1. 解题思想
分析物体的运动过程(一般一个特定加速度对应一个过程)，针对对每个过程逐个列关系表达式，最后解方程组 2. 解题方法
1
① 基本公式法：公式vt＝v0＋at、x＝v0t＋at2、vt2－v02＝2ax
2合理地运用和选择三式中的任意两式是求解运动学问题最常用的基本方法．
②平均速度法：x＝vt对任意性质的运动都适用，而
v?v0?vt2仅适用于匀变速直线运动．
③推论法：利用Δx＝aT2：其推广式xm－xn＝(m－n)aT2，对于纸带类问题用这种方法尤其快捷． ④比例法：根据已知的条件，用比例的性质求解．
⑤逆向思维法：如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动．
⑥图象法：用v－t图可以求出某段时间的位移大小；用x－t图象可求出任意时间内的平均速度等． 二．例题分析
1. 匀变速直线运动公式的理解与应用
例题1. 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零，如图所示．已知物体第一
3次运动到斜面长度4处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
方法一
方法二
方法三
方法四
方法五
基本公式法
比例法
中间时刻速度法
图象面积法
推论法
1
借题发挥——匀变速直线运动常用解题方法的确定
(1)要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯．特别对较复杂的运动，画出示意图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究．
(2)匀变速直线运动题目常可一题多解．解题时要思路开阔，筛选最简的解题方案． (3)列运动学方程时，每一个物理量都要对应于同一个运动过程，切忌乱套公式．
(4)解题的基本步骤：审题——画出示意图——判断运动性质——选取正方向(或建坐标轴)——选用公式列方程——求解方程，必要时对结果进行讨论．
变式1. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动．它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是 ( )． A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
例题2. 甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．
例题3. 发射卫星一般用多级火箭，第一级火箭点火后，使卫星向上匀加速直线运动的加速度为50 m/s2，燃烧30 s后第一级火箭脱离，又经过10 s后第二级火箭启动，卫星的加速度为80 m/s2，经过90 s后，卫星速度为8600 m/s.求在第一级火箭脱离后的10 s内，卫星做什么运动，加速度是多少？(设此过程为匀变速直线运动)
2. 逆向思维的应用
逆向思维-----是指在解决问题的过程中从正面入手有一定难度时可有意识地去改变思考问题的顺序，沿着正向(由前到后，由因到果)思维的相反(由后到前、由果到因)途径思考、解决问题的方法，常见的有可逆性原理、反证归谬、执果索因等逆向思维途径．
例题2. 运动着的汽车制动后做匀减速直线运动，经3.5 s停止，试问它在制动开始后的1 s内、2 s内、3 s
2
内通过的位移之比为多少？
变式2. 如图所示，在光滑水平面上运动的小球，刚好能越过一个倾角为α的固定在水平面上的光滑斜面做自由落体运动，落地时的速度大小为v，不考虑空气阻力及小球滚上斜面瞬间的能量损失，下列说法正确的是( )．
A．小球冲上斜面前在水平面上的速度应大于v
vB．小球在斜面上运动的时间为gsin?
v2C．斜面的长度为gsin?
D．小球在斜面上运动的加速度大于gsin?
3. 实际应用题——汽车的“刹车”问题
汽车刹车问题的实质是汽车做单方向匀减速直线运动问题．汽车在刹车过程中做匀减速直线运动，速度减为0
t?后，车相对地面无相对运动，加速度消失，汽车停止不动，不再返回，汽车运动时间满足
2v0x?2a. 足
v0a，发生的位移满
例题3一辆汽车以10 m/s的速度沿平直的公路匀速前进，因故紧急刹车，加速度大小为0.2 m/s2，则刹车后汽车在1 min内通过的位移大小为( )．
A．240 m B．250 m C．260 m D．90 m
借题发挥——找准方法，远离刹车问题陷阱
求解汽车刹车类问题时，一定要认真分析清楚汽车的运动过程，一般都是先判断刹车时间或刹车位移，即判定汽车在给定时间内或位移内是否已停止，千万不能乱套公式．
变式3. 飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，其着陆速度为60 m/s，求： (1)它着陆后12 s内滑行的位移s；
(2)整个减速过程的平均速度(用两种方法求解)； (3)静止前4 s内飞机滑行的位移s′.
例题4. 为了最大限度地减少道路交通事故，全国开始了“集中整治酒后驾驶违法行为”专项行动．这是因为一般驾驶员酒后的反应时间比正常时慢了0.1～0.5 s，易发生交通事故．图示是《驾驶员守则》中的安全距离图示(如图4所示)和部分安全距离表格.
3
车速 v(km/h) 40 60 80 反应距离 s(m) 10 15 A 刹车距离 x(m) 10 22.5 40 停车距离 L(m) 20 37.5 60 请根据该图表
回答下列问题(结果保留两位有效数字)：
(1)请根据表格中的数据计算驾驶员的反应时间．
(2)如果驾驶员的反应时间相同，请计算出表格中A的数据． (3)如果路面情况相同，车在刹车后所受阻力恒定，取g＝10 m/s2，请计算出刹车后汽车所受阻力与车重的比值． (4)假设在同样的路面上，一名饮了少量酒的驾驶员驾车以72 km/h速度行驶，在距离一学校门前50 m处发现有一队学生在斑马线上横过马路，他的反应时间比正常时慢了0.2 s，会发生交通事故吗？ 、
4. 理解运动图象
要深刻理解x－t图象和v－t图象中“点”“线”“面”“轴”“斜”“截”的物理意义，对于给定的图象，首先要明确图象反映的是哪两个物理量间的关系(纵轴和横轴的物理量)，然后根据物理原理(公式)推导出两个量间的函数关系式，结合图象明确图象斜率的意义、截距的意义或“面积”的意义，从而由图象给出的信息求出未知量．
例题5. 图是某质点运动的速度图象，由图象得到的正确结果是 ( )． A．0～1 s内的平均速度是2 m/s B．0～2 s内的位移大小是2 m
C．0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度
D．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反
变式4. 质点做直线运动的v－t图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为( )． A．0.25 m/s 向右 B．0.25 m/s 向左 C．1 m/s 向右 D．1 m/s 向左
5. 追及、相遇问题
例题6． A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20 m/s的速度做匀速运动．经过12 s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？
6. 自由落体运动
例7. 一条铁链AB长为0.49m，悬于A端，使其自然下垂，然后让它自由下落.求整个铁链通过悬点下方2.45m处的小孔O时需要的时间是多少？
4
变式5. 一只小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s内通过高为△t=2m的窗口，问窗口的顶端距屋檐多高？（g取10m/s2）
7. 竖直上抛运动
竖直上抛运动问题的处理方法：
（1） 画运动草图示意图．并在草图上一定要有规定的正方向 （2） 处理上抛运动时，分段法和整体法都可使用：
分段法：上升阶段看作末速度为零、加速度大小为g的匀减速直线运动，下降阶段为自由落体运动；
整体法：从全程来看，加速度方向始终与初速度v的方向相反，所以把竖直上抛运动看成是一个匀变速直线运动时，要特别注意v0、vt、g、h等矢量的正负号．
对称法：在竖直上抛运动中，速度、时间都具有对称性，分析问题时，请注意利用对称性．
例题7. 气球以10 m/s的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17 s到达地面．求物体刚脱离气球时气球的高度．(g取10 m/s2)
课后练习
1．一辆汽车沿着一条平直的公路行驶，公路旁边有与公路平行的一行电线杆，相邻电线杆间的间隔均为50 m，取汽车驶过某一根电线杆的时刻为零时刻，此电线杆作为第1根电线杆，此时刻汽车行驶的速度大小为v1＝5
m/s，假设汽车的运动为匀加速直线运动，10 s末汽车恰好经过第3根电线杆，则下列说法中正确的是 ( )
A．汽车运动的加速度大小为1 m/s2
B．汽车继续行驶，经过第7根电线杆时的瞬时速度大小为25 m/s C．汽车在第3根至第7根电线杆间运动所需的时间为20 s D．汽车在第3根至第7根电线杆间的平均速度为20 m/s
2．静止置于水平地面的一物体质量为m＝57 kg，与水平地面间的动摩擦因数为0.43，在F＝287 N的水平拉力
作用下做匀变速直线运动，则由此可知物体在运动过程中第5个7秒内的位移与第11个3秒内的位移比为 ( )
A．2∶1 B．1∶2 C．7∶3 D．3∶7
3．一木块以某一初速度在粗糙的水平地面上做匀减速直线运动，最后停下来．若此木块在最初5 s和最后5 s内通过的路程之比为11∶5，问此木块一共运动了多长时间？
4. 有一串佛珠，穿在一根长1.8 m的细线上，细线的首尾各固定一个佛珠，中间还有 5个佛珠．从最下面的佛珠算起，相邻两个佛珠的距离为5cm、15 cm、25 cm、 35 cm、45 cm、55 cm，如图3所示．某人向上提起线的上端，让线自由垂下， 且第一个佛珠紧靠水平桌面．松手后开始计时，若不计空气阻力，g取10 m/s2， 则第2、3、4、5、6、7个佛珠 ( )
5
A．落到桌面上的时间间隔越来越大 B．落到桌面上的时间间隔相等
C．其中的第4个佛珠落到桌面上的速率为4 m/s
D．依次落到桌面上的速率关系为1∶2∶3∶2∶5∶6
5. 从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一个小球，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下照片，如图所示，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm，求： (1)小球的加速度；
(2)拍摄时B球的速度； (3)拍摄时xCD的大小；
(4)A球上方滚动的小球还有几个．
6. 一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端的站台前观察，第1节车厢通过他历时2 s，全部车厢通过他历时8 s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，求： (1)这列火车共有多少节车厢？
(2)第9节车厢通过他所用时间为多少？
7． 一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2.则物体运动的加速度为 ( )
A.
2?x?t1?t2?t1t2?t1?t2? B.
?x?t1?t2?t1t2?t1?t2? C.
2?x?t1?t2?t1t2?t1?t2? D.
?x?t1?t2?t1t2?t1?t2?
8. 为了安全，在行驶途中，车与车之间必须保持一定的距离．因为，从驾驶员看见某一情况到采取制动动作的时间里，汽车仍然要通过一段距离(称为思考距离)；而从采取制动动作到车完全停止的时间里，汽车又要通过一段距离(称为制动距离)．下表给出了汽车在不同速度下的思考距离和制动距离等部分数据．请分析这些数据，完成表格.
速度(km/h) 45 75 90 105 思考距离(m) 9 15 21 制动距离(m) 14 38 75 停车距离(m) 23 73 96 9. 如图所示，物体从光滑斜面上的A点由静止开始下滑，经过B点后进入水平面(设经过B点前后速度大小不变)，最后停在C点．每隔0.2 s通过速度传感器测量物体的瞬时速度，下表给出了部分测量数据．(重力加速度g＝10 m/s2)求：
t(s) v(m/s) 0.0 0.0 0.2 1.0 0.4 2.0 ? ? 1.2 1.1 1.4 0.7 ? ? (1)物体在斜面和水平面上滑行的加速度大小； (2)物体在斜面上下滑的时间； (3)t＝0.6 s时的瞬时速度v.
10. 滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水龙头的水一滴一滴的滴到其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子而听到响声时后一滴水恰好离开水龙头.则出n次听到水击盘声的总时间t，则刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h.设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1s，声速为340m/s，则（ ）. A.水龙头距人耳的距离至少34m
6
B.水龙头距盘子的距离至少34m
2hn22C.重力加速度的计算式为t 2h(n?1)2t2D. 重力加速度的计算式为
11. 一跳伞员从350m高空离开直升机落下，开始未打开伞，自由下落一段距离后才打开伞以2m/s2的加速度匀
减速下落，到达地面时的速度为4m/s，求跳伞员在空中自由下落的高度.(g取10m/s2)
12．甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比． 13. 甲、乙两物体从同一位置同时开始，朝同向做直线运动，甲做初速度为零的加速度为a的匀加速直线运动，经时间t1速度达到v，发生的位移为s；乙物体先做初速度为零的加速度为a1（a1＞a）的匀加速直线运动，接着又做加速度为a2（a2＜a）的匀加速直线运动，待发生位移s时，速度也为v，所用的总时间为t2，则t1和t2的关系（ ）. A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1=t2 D．无法确定 14. 如图所示是在全运会中我国某优秀跳水运动员在跳台上腾空而起的英姿，运动 员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位 于从手到脚全长的 中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖 直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)求：(计算时，可以 把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2) (1)运动员起跳时的速度v；
(2)从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t(结果保留3位有效数字)．
15． 将一小物体以初速度v0竖直上抛，若物体所受的空气阻力的大小不变，则小物体到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程为x1和x2，速度的变化量为Δv1和Δv2的大小关系为( ) A．x1>x2 B．x1
16. 在四川汶川抗震救灾中，一名质量为60 kg、训练有素的武警战士从直升机上通过一根竖直的质量为20 kg的长绳由静止开始滑下，速度很小可认为等于零．在离地面18 m高处，武警战士感到时间紧迫，想以最短的时间滑到地面，开始加速．已知该武警战士落地的速度不能大于6 m/s，以最大压力作用于长绳可产生的最大加速度为5 m/s2；长绳的下端恰好着地，当地的重力加速度为g＝10 m/s2.求武警战士下滑的最短时间和加速下滑的距离．
17．如图所示水平传送带A、B两端点相距x＝7 m，起初以v0＝2 m/s的速度顺时针运转．今将一小物块(可视为质点)无初速度地轻放至A点处，同时传送带以a0＝2 m/s2的加速度加速运转，已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.4，求：小物块由A端运动至B端所经历的时间． 18. “10米折返跑”的成绩反应了人体的灵敏素质，如图所示．测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时，受试者到达折返线处时，用手触摸折返线处的物体(如木箱)，再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终点线的垂直面时，测试员停表，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度为4 m/s2，运动过程中的最大速度为4 m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度为8 m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线．求该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？
7
第二讲 受力分析力与物体平衡 一．解题方法 1. 受力分析
物体的运动状态是由物体受到的全力决定的，受力分析是平衡问题及应用牛顿运动定律解决变速问题的关键。受力分析时要注意：
（1）研究对象的选取： 选择研究对象的原则是使问题的研究尽量简便。研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体（整体）。
（2）受力分析：只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（既研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力。
（3）按顺序分析力：把研究对象从实际情景中分离出来，按一定的顺序逐分析研究对象所受的力，一般先已知力，再重力，再弹力，然后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力），最后其它力，并画出各力的示意图。
（4）防止添力和漏力：每分析一个力，都要想一想它的施力物体是谁，避免分析出某些不存在的力.画完受力图后要进行定性检验，看一看根据你画的受力图，物体能否处于题目中所给的运动状态. 受力分析方法： 整体法：将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行分析的方法。受力分析时不考虑系统内各物体之间的相互作用力，只研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统整体的加速度。
隔离法：将所研究的对象从周围的物体中分离出来的方法。研究系统内部各物体之间的相互作用力。 2. 物体平衡的条件
（1）共点力作用下物体的平衡条件：物体受到的合力为零，若物体保持匀速直线运动或静止状态，则物体处于平衡状态，其特征是物体所受的合力为零，加速度也为零。
F合?0或Fx?0及Fy?0
（2）解决平衡的常用方法有分解法、合成法、正交分解法、图解法和相似三角形法。 二． 例题分析
(一)平衡的条件与特征
例题1. 关于平衡状态，下列说法中正确的是（ ） A、当物体速度等于零时，物体处于平衡状态 B、运动的物体一定不是处于平衡状态
C、若物体的运动状态保持不变，则物体处于平衡状态 D、当物体处于平衡状态时，一定不受外力作用
A 例题2. 如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持
B 静止。物体B的受力个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 F 例题3. 如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点P在F1、F2和F3三力作用下保持静止。下列判断正确的是 ( ) A. F1 > F2> F3 B. F3 > F1> F2 C. F2> F3 > F1 D. F3> F2 > F1
(二)分析平衡问题的常用方法 1、正交分解法与解三角形法
例题4. 如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30?角，则每根支架中承受的压力大小为（ ）
12mgmg A. 3 B. 3
8
323mgmg69C. D.
例题5. 如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α,重力加速度为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，楔形石块侧面所受弹力的大小为（ ）
mgmg A. 2sin? B. 2cos?
11mgtan?mgcot?22 C. D.
2、物体系的平衡问题
例题6. 如图，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块正在沿斜面以速度v0匀速下滑，斜劈保持静止，则地面对斜劈的摩擦力（ ） A. 等于零 B. 不为零，方向向右
C. 不为零，方向向左
D. 不为零，v0较大时方向向左，v0较小时方向向右
例题7. 如图，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P之间以及桌面之间的动摩擦因数都μ，两物块的质量都是m，滑轮轴上的摩擦不计，若用一水平向右的力F拉P使它做匀速运动，则F的大小为（ ） A. 4μmg B. 3μmg C. 2μmg D. μmg
Q F
P
3、动态平衡问题
例题8. 重为G的物体系在两根等长的细绳OA、OB上，轻绳的A端、B端挂在半圆形的支架上，如图所示.若固定A端的位置，将绳OB的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的过程中，则（ ） A. OB绳上的拉力先增大后减小 B. OB绳上的拉力先减小后增大 CA O C. OA绳上的拉力先增大后减小
D. OA绳上的拉力不断减小
O B
G (三) 弹簧弹力作用下的平衡问题
1.弹簧类的问题时应依题意先判断弹簧原状态与形变后的状态，然后确定弹簧的受力特点。
2. 涉及弹簧的弹力及静摩擦力有关的平衡问题，分析时应注意胡克定律的应用，注意静摩擦力的可变性，静摩擦力的大小由物体所受外力和运动状态决定的。
例题8. 图中a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们连接如图并处于平衡状态。（ ）
A. 有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态
R B. 有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态 a C. 有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态
M D. 有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态 N
c b 例题9. 用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体，静止时弹簧伸长量为L 。现用该弹簧沿
9
斜面方向拉住质里为2 m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L 。斜面倾角为30°，如图所示。则物体所受摩擦力（ ） A．等干零
1
B．大小为mg，方向沿斜面向下
2
3
mg，方向沿斜面向上 2
D． 大小为mg，方向沿斜面向上
警示易错试题
警示1：:注意“死节”和“活节”问题。
例10．如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B ，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问： ① 绳中的张力T为多少? A B ② A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?
α α 例11.如图所示，AO、BO和CO三根绳子能承受的最大拉力相等，O为结点，OB与竖直方向夹角为θ，悬挂物质量为m。 求：
（1）OA、OB、OC三根绳子拉力的大小 。 B （2）A点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何变化？ ? O A C
警示2：注意“死杆”和“活杆”问题。
例12．如图所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，求细绳OA中张力T大小和轻杆OB受力N大小。 A
θ O B
C 例6 mg 例13． 如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，一轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物， C．大小为?CBA?30?，则滑轮受到绳子作用力为：
A. 50N B. 503N C. 100N
10
C 30o A B m
D. 1003N
课后练习
1． 如图所示，一物体在粗糙水平地面上受斜向上的恒定拉力F作用而做匀速直线运动，则下列说法正确的是( )
A. 物体可能只受两个力作用 B. 物体可能受三个力作用 C. 物体可能不受摩擦力作用 D. 物体一定受四个力
2. 如图所示长木板L的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始木板成水平位置．当木板向下转动，θ角逐渐增大的过程中，摩擦力
Ff 的大小随θ角变化最有可能的是图中 （ ）
3．如图所示，一辆汽车沿
水平面向右运动，通过定滑轮将重物A缓慢吊起，在吊起重物的过程中，关于绳子的拉力FT、汽车对地面的压力FN和汽车受到的摩擦力Ff的说法中正确的是（ ） A．FT不变，FN不变，Ff逐渐增大
B．FT不变，FN逐渐增大，Ff逐渐增大 C．FT逐渐增大，FN不变，Ff逐渐增大 D．FT逐渐减小，FN逐渐增大，Ff逐渐增大
4. 如图是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图．使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上．撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为
涂料滚 F2，以下说法正确的是 （ ）
墙 A. F1增大 ， F2减小 B. F1减小， F2 增大
壁 C. F1、、F2均增大 D. F1、、F2均减小 撑杆 5. 如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上向右滑行，木块同时受到向
右的拉力F的作用，长木板处于静止状态，已知木块与木板间的动摩擦因数
11
为
?1，
木板与地面间的动摩擦因数为
?2，则( )
mMFA．木板受到地面的摩擦力的大小一定是?1mg B．木板受到地面的摩擦力的大小一定是C．当F >
?2(m?M)g
?2(m?M)g时，木板便会开始运动
D．无论怎样改变F的大小，木板都不可能运动
6． 如图所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮，两物块P、Q用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），P悬于空中，Q放在斜面上，均处于静止状态。当用水平向左的恒力推Q时，P、Q仍静止不动，则( ) A. Q受到的摩擦力一定变小 B. Q受到的摩擦力一定变大
Q P C. 轻绳上拉力一定变小
D. 轻绳上拉力一定不变
7．A、B、C三物块质量分别为M、m和m０，作如图所示的联结。绳子不可伸长，且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计。若B随A一起沿水平桌面作匀速运动，则可以断定 A. 物块A与桌面之间有摩擦力，大小为m０g B. 物块A与B之间有摩擦力，大小为m０g
C. 桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相同，合力为m０g D. 桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相反，合力为m０g
1
8 在固定于地面的斜面上垂直安放呢一个挡板，截面为 圆的柱状物
4
体甲放
在斜面上，半径与甲相等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态，如图所示。现在从球心O1处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向极其缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止。设乙对挡板的压力F1，甲对斜面的压力为F2，在此过程中( ) A．F1缓慢增大，F2缓慢增大
乙 B．F1缓慢增大，F2缓慢减小 F甲 C．F1缓慢减小，F2缓慢增大 OOD．F1缓慢减小，F2缓慢不变
9． 如图所示，光滑水平地面上放有截面为四分之一圆面的柱状物体A，A与竖直墙面之间放一光滑的圆柱形物体B。对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持静止，则以下说法正确的是（ ） A．水平外力F增大 B．墙对B的作用力减小
C．地面对A的支持力减小 D．B对A的作用力减小
10． 如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态.则 ( ) A. B受到C的摩擦力一定不为零 B. C受到水平面的摩擦力一定为零
C. 不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左 D. 水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
12
11．一个倾角为?（0?＜?＜90?）的光滑斜面固定在竖直的光滑墙壁上，一铁球在一水平推力F作用下静止于墙壁与斜面之间，与斜面的接触点为A，如图所示。已知球的半径为R，推力F的作用线过球心，则下列判断正确的是（ ）
A．推力F增大，斜面对球的支持力一定增大 B．斜面对球的支持力一定大于球的重力 F R C．推力F的最小值等于G cot?
O D．推力F增大，地面对斜面的支持力不变
?A ??
12. 如图，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不 可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在
l绳子距a端2得c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳
的ac段
m1m正好水平，则重物和钩码的质量比2为( ) 5 A. 5 B. 2 C、2 D、2 13. 如图，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m的小物块， 小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为：（ ） A. （M+m）g B. （M+m）g－F
C. （M+m）g +Fsinθ D.（M+m）g －Fsinθ
14. 木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动磨擦因数均为0.25；夹在A、B之间轻弹簧被压缩了2cm，弹簧的劲度系数为400N/m。系统置于水平地面上静止不动。现用F=1 N的水平拉力作用在木块B上。如图所示.。力F作用后
A. 木块A所受摩擦力大小是12.5 N B. 木块A所受摩擦力大小是11.5 N F
A B C. 木块B所受摩擦力大小是9 N
D. 木块B所受摩擦力大小是7 N
第三讲 牛顿运动定律
一．解题方法： 1. 整体法和隔离法
(1)整体法：当连接体内(即系统内)各物体具有相同的加速度时，可以把连接体内所有物体组成的系统作为整体考虑，分析其受力和运动情况，运用牛顿第二定律对整体列方程求解的方法．
(2)隔离法：当研究对象涉及由多个物体组成的系统时，若要求出连接体内物体间的相互作用力，则应把某个物
13
体或某几个物体从系统中隔离出来，分析其受力情况及运动情况，再利用牛顿第二定律对隔离出来的物体列式求解的方法． 2. 正交分解法. 3. 解题的基本思路
（1） 选取合适的研究对象：在物理过程中，一般会涉及两个或两个以上的物体，通常选取我们了解得相对较多的那个物体作为研究对象。
（2） 分析受力情况和运动情况：画出示意图，分析物体的受力情况与物体的运动情况，分析物体的运动情况是指确定加速度与速度的方向，判断物体是做加速直线还是减速直线运动，或是曲线运动。
（3） 建立直角坐标系：一般选取加速度的方向为x轴的正方向，将各个力沿坐标轴方向进行正交分解。有时为了解题的方便，而选取互相垂直的两个力的方向作为x轴和y轴，将加速度沿坐标轴进行正交分解。总之，坐标轴方向的选取要视具体问题灵活运用。
（4） 列F＝ma方程求解：如果还无法求出未知量，则可运用运动学公式求加速度。求解加速度是解牛顿运动定律题目的关键，因为加速度是联系物体受力情况与运动情况之间的桥梁；如果不求出加速度，则受力情况与运动情况之间的对应关系就无法建立起来，也就无法解题。
二．例题分析
（一） 两类动力学问题
1．由受力情况判断物体的运动状态
基本思路：先求出几个力的合力，由牛顿第二定律(F合＝ma)求出加速度，再由运动学的有关公式求出速度或位移。
2．由运动情况判断受力情况
基本思路：已知加速度或根据运动规律求出加速度，再由牛顿第二定律求出合力，从而确定未知力，至于牛顿第二定律中合力的求法可用力的合成和分解法则(平行四边形定则)或正交分解法。
例题1. 如图所示，质量m＝2 kg的物体静止于水平地面的A处，A、B间距L＝20 m，用大小为30 N，沿水平方向的外力拉此物体，经t0＝2 s拉至B处。(已知cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，取g＝10 m/s2) (1) 求物体与地面间的动摩擦因数μ；
(2) 用大小为30 N，与水平方向成37°的力斜向上拉此物体，使物体从A处由静止开始运动并能到达B处，求该力作用的最短时间t。
例题2. 如图所示，抗震救灾运输机在某场地缷放物资时，通过倾角为30°的固定光滑斜轨道面进行。有一件质量为m＝2.0 kg的小包装盒，由静止开始从斜轨道的顶端A滑至底端B，然后又在水平面上滑行一段距离后停下。若A点距离水平面的高度h＝5.0 m，重力加速度g取10 m/s2，求 (不计斜面和地面接触处的能量损耗):
14
(1)包装盒由A滑到B所经历的时间；
(2)若小包装盒与地面间的动摩擦因数为0.5，包装盒在水平地面上还能滑行多远？
例题3. 如图7所示，质量m=1kg的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量M=2 kg，斜面与物体的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，θ=370。现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，力F应为多大？（设物体与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2）
F
θ
（二）牛顿运动定律与图象的结合
图像能形象地表达物理规律，鲜明地表示物理量间的关系。利用函数图像分析物理问题，可使分析过程更巧妙、更灵活。
例题3. 如图甲所示为学校操场上一质量不计的竖直滑杆，滑杆上端固定，下端悬空。为了研究学生沿杆的下滑情况，在杆顶部装有一拉力传感器，可显示杆顶端所受拉力的大小。现有一学生(可视为质点)从上端由静止开始滑下，5 s末滑到杆底时速度恰好为零。以学生开始下滑时刻为计时起点，传感器显示的拉力随时间变化情况如图乙所示，g取10 m/s2。求： (1)该学生下滑过程中的最大速率？ (2)滑杆的长度为多少？
(3)1 s末到5 s末传感器显示的拉力为多少？
变式1．如图甲所示，一物体沿倾角为θ＝37°的固定粗糙斜面由静止开始运动，同时受到水平向右的风力作用，水平风力的大小与风速成正比。物体在斜面上运动的加速度a与风速v的关系如图乙所示，则(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2) ( )
A．当风速为3 m/s时，物体沿斜面向下运动
B．当风速为5 m/s时，物体与斜面间无摩擦力作用
mM 15
C．当风速为5 m/s时，物体开始沿斜面向上运动 D．物体与斜面间的动摩擦因数为0. 5
变式2．如图甲所示，固定光滑细杆与水平地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向向上的推力F作用下向上运动。0～2 s内推力的大小为5.0 N, 2～4 s内推力的大小变为5.5 N，小环运动的速度随时
间变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)小环在加速运动时的加速度a的大小； (2)小环的质量m；
(3)细杆与水平地面之间的夹角α。
（三）瞬时加速度的问题
分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻物体的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度。此类问题应注意两种基本模型：
(1)“轻绳”模型：轻绳的质量和重力均可视为0，只能受拉力作用，不能承受压力，各处受力相等且沿绳子背离受力物体，轻绳一般不可伸长，拉力可以发生突变。
(2)“轻质弹簧”的质量和重力也不计，既能受拉力作用，也可受压力作用(橡皮筋除外)，其受力方向与弹簧形变方向相反，因其发生形变需要一定时间，其弹力不能发生突变，但当弹簧和橡皮筋被剪断时，其所受的弹力立即消失。 求解瞬时性问题时应注意：
(1)物体的受力情况和运动情况是时刻对应的，当外界因素发生变化时，需要重新进行受力分析和运动分析。 (2)加速度可以随着力的突变而突变，而速度的变化需要一个过程的积累，不会发生突变。
例题4. 在动摩擦因数μ＝0.2的水平面上有一个质量为m＝2kg的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成θ＝45°角的不可伸长的轻绳一端相连，如图所示，此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零。当剪断轻绳的瞬间，取g＝10 m/s2，以下说法错误的是 ( ) A．此时轻弹簧的弹力大小为20 N
B．小球的加速度大小为8 m/s2，方向向左
C．若剪断弹簧，则剪断的瞬间小球的加速度大小为10m/s2，方向向右 D．若剪断弹簧，则剪断的瞬间小球的加速度为0
变式3. 如图所示，A、B两木块间连一轻质弹簧，A、B质量相等，一起静止地放在一块光滑木板上，若将此木板突然抽去，在此瞬间，A、B两木块的加速度分别是( ) A．aA＝0，aB＝2g B．aA＝g，aB＝g
C．aA＝0，aB＝0 D．aA＝g，aB＝2g
（四）传送带问题
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求解的关键在于正确对物体所受的摩擦力进行分析判断。判断摩擦力时要注意比较物体的运动速度与传送带的速度，物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。 1. 水平传送带
例题5. 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，如图所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v＝1 m/s运行，一质量为m＝4 kg的行李无初速度地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离L＝2 m，g取10 m/s2。求：
(1) 求行李刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小； (2) 求行李做匀加速直线运动的时间； (3 )如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处，求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。
2. 倾斜传递带
例题6. 如图所示，一皮带输送机的皮带以v＝13.6 m/s的速率做匀速运动，其有效输送距离AB＝29.8 m，与水平方向夹角为θ＝37°。将一小物体轻放在A，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.1，求物体由A到B所需的时间。(g取10 m/s2)
（五）滑块—滑板模型
模型特点: 涉及两个物体，并且物体间存在相对滑动。 常见的两种位移关系: 滑块由滑板的一端运动到另一端的过
程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运动时，位移之和等于板长。
解题思路: (1)分析滑块和滑板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和滑板的加速度。
(2)对滑块和滑板进行运动情况分析，找出滑块和滑板之间的位移关系或速度关系，建立方程。特别注意滑块和滑板的位移都是相对地的位移。
例题7. 如图所示，光滑水平面上静止放着长L＝4 m，质量为M＝3 kg的木板(厚度不计)，一个质量为m＝1 kg的小物体放在木板的最右端，m和M之间的动摩擦因数μ＝0.1，今对木板施加一水平向右的拉力F，(g取10 m/s2) (1)为使两者保持相对静止，F不能超过多少？ (2)如果F＝10 N，求小物体离开木板时的速度？
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变式4. 物体A的质量M=1kg，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为m=0.5kg、长L=1m．某时刻A以v0=4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力．忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数μ=0.2，取重力加速度g=10m/s2．试求： （1）若F=5N，物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离； （2）如果要使A不至于从B上滑落，拉力F大小应满足的条件．
A
V0 B
F
课后练习
1． 如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F＝kt(k是常数)，木板和木块加速度的大小分别为a1和a2。下列反映a1和a2变化的图线中正确的是 ( )
2． 如图所示，带支架的平板小车沿水平面向左做直线运动，小球A用细线悬挂于支架前端，质量为m的物块B始终相对于小车静止地摆放在右端。B与小车平板间的动摩擦因数为μ。若某时刻观察到细线偏离竖直方向θ角，则此刻小车对物块B产生的作用力的大小和方向为 ( ) A．mg，竖直向上
B．mg1＋μ2，斜向左上方 C．mgtanθ，水平向右
D．mg1＋tan2θ，斜向右上方
3．如图所示，在光滑水平面上有甲、乙两木块，质量分别为m1和m2，中间用一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧连接起来，现用一水平力F向左推木块乙，当两木块一起匀加速运动时，两木块之间的距离是 ( )
Fm2Fm1
A．L＋ B．L－ ?m1＋m2?k?m1＋m2?k
18
Fm1C．L－ m2k
Fm2D．L＋ m1k
4. 如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ 5．如图所示，质量分别为m、2m的球A、B由轻质弹簧相连后再用细线悬挂在正在竖直向上做匀加速运动的电梯内，细线中的拉力为F，此时突然剪断细线，在线断的瞬间，弹簧的弹力的大小和小球A的加速度大小分别为( ) 2F2FF2F,?g,?g33m33m A. B. 2FFFF,?g,?g3m C. 3 D. 33m 6．放在粗糙水平面上的物块A、B用轻质弹簧测力计相连，如图所示，物块与水平面间的动摩擦因数均为μ， 今对物块A施加一水平向左的恒力F，使A、B一起向左匀加速运动，设A、B的质量分别为m、M，则弹簧测力计的示数为( ) MFA. m F?C. MF B. m?M F??(m?M)Mgm D. ?(m?M)Mgm?M. 7．如图所示，一个质量m＝2 kg的滑块在倾角为θ＝37°的固定斜面上，受到一个大小为40 N的水平推力F作用，以v0＝10 m/s的速度沿斜面匀速上滑。 (sin37°＝0.6，取g＝10 m/s2) (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数； (2)若滑块运动到A点时立即撤去推力F，求这以后滑块再返回A点经过的时间。 8．如图所示，薄板A长L＝5 m，其质量M＝5 kg，放在水平桌面上，板右端与桌边相齐。在A上距右端s＝3 m处放一物体B(大小可忽略，即可看成质点)，其质量m＝2 kg。已知A、B间动摩擦因数μ1＝0.1，A与桌面间和B与桌面间的动摩擦因数均为μ2＝0.2，原来系统静止。现在在板的右端施一大小一定的水平力F持续作用在A上直到将A从B下抽出才撤去，且使B最后停于桌的右边缘。求： (1)B运动的时间； (2)力F的大小。 9. 传送带是一种常用的运输工具，被广泛应用于矿山、码头、货场、车站、机场等．如图12所示为火车站使用的传送带示意图。绷紧的传送带水平部分长度L＝5 m，并以v0＝2 m/s的速度匀速向右运动．现将一个可视为质点的旅行包无初速度地轻放在传送带的左端，已知旅行包与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。 19 (1)求旅行包经过多长时间到达传送带的右端。 (2)若要旅行包从左端运动到右端所用时间最短，则传送带速度的大小应满足什么条件？最短时间是多少？ 10. 如图所示，放在水平地面上的长木板B，长为1 m，质量为2 kg，B与地面之间的动摩擦因数为0.2。一质量为3 kg的小铅块A，放在B的左端，A、B之间的动摩擦因数为0.4，当A以3 m/s的初速度向右运动之后，求最终A对地的位移和A对B的位移。 第四讲 平抛运动和圆周运动 一.平抛运动 研究方法：平抛运动看作为一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动这两个分运动的合动动，水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性． 1．常规题的解法 例题1. 如图所示，某滑板爱好者在离地h= 1.8 m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移 S1= 3 m。着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v=4 m/s，并以此为初速沿水平地面滑行S2=8 m 后停止，已知人与滑板的总质量m=60 kg。求： （1）人与滑板离开平台时的水平初速度。 2m/s（2）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小。（空气阻力忽略不计，g取10) 例题2. 如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成530角，飞镖B与竖直墙壁成370角，两者相距为d，假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离?(sin370=0.6，cos370＝0.8) 例题3. 如图所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在网前3m处正对球网跳起将球水平击出。 (1)若击球高度为2.5m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围； (2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？ 20 即 Mmv24?22G2?m2+m?r?m2r?manrrT, mg?G二是物体绕中心天体在中心天体表面附近作近地运动，物体受到的重力近似等于万有引力， MmR2(R为 中心天体的半径)。 例题1. 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（ ） v?A．线速度 GMR B．角速度??gR RGMa?g D．向心加速度R2 T?2?C．运行周期 例题2. 我国和欧盟合作正式启动伽利略卫星导航定位系统计划，这将结束美国全球卫星定位系统（GPS) —统天下的局面.据悉，“伽利略”卫星定位系统将由30颗轨道卫星组成，卫星的轨道高度为2.4X104km，倾角为56°，分布在3个轨道面上，每个轨道面部署9颗工作卫星和1颗在轨备份卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作.若某颗替补卫星处在略低于工作卫星的轨道上，则这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较，以下说法中正确的是（ ） A．替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度 B．替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度 C． 替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度 D．替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度 二．中心天体质量和密度的估算 Mmv24?2G2?m2rr=mω2r=mT2r=man。由上式知，若能测出行星绕天体作圆周运动时向心力由万有引力提供，即 中心天体运动的某些物理量，则可求出中心天体的质量，一般情况下是通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径 r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。当卫星沿中心天体表面绕天体运行时， 3?2中心天体的密度为：ρ＝GT。 例题3. 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D.行星的质量 例题4. 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火 26 一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为 h1和 h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量 分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出（ ） A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C．火星的半径和“萤火一号”的质量 D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 三. 宇宙速度与同步卫星 人造卫星有三种宇宙速度：第一宇宙速度(环绕速度)：是发射地球卫星的最小速度，也是卫星围绕地球做圆周运动的最大运行速度，大小为7.9 km/s。第二宇宙速度(逃逸速度)：是人造卫星挣脱地球束缚而成为一颗太阳的人造小行星的最小发射速度，大小为11.2 km/s。第三宇宙速度(脱离速度)：是人造卫星挣脱太阳的束缚而成为一颗绕银河系中心运行的小恒星的最小发射速度，大小为16.7 km/s。三个宇宙速度的大小都是以地球中心为参考系的，人造卫星的理论发射速度在7.9 km/s到11.2 km/s之间，在此发射速度范围内，卫星绕地球作椭圆运动，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同。 地球轨道同步卫星有四个特点： (1)同步卫星位于赤道正上方，轨道平面与赤道平面共面； (2)同步卫星的轨道半径一定，距离地球表面的高度一定，约36000 km； (3)同步卫星的运行周期和地球的自转周期相同，T＝24 h，且转动方向相同； (4)所有地球轨道同步卫星的半径、线速度大小、角速度大小及周期都相同 例题5. 关于第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ） A．它是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度。 B．它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度。 C．它是能使卫星绕地球运行的最小发射速度。 D．它是人造卫星绕地球作椭圆轨道运行时在近地点的速度。 例题6. 由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的（ ） A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同 C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同 四. 天体运动中的变轨问题 天体运动的变轨问题涉及变轨过程和变轨前后天体的稳定运动，主要讨论天体在不同轨道上运动过程中的速度、加速度、周期等相关物理的分析与比较，解题时应注意两个关键，一是变轨过程中两轨道相切点的特点，二是天体从低轨道变轨运动到高轨道时天体的机械能增加。 例题7. 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ ） A. 在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B. 在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C. 在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D. 在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 例题8. 探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比 A.轨道半径变小 B.向心加速度变小 C.线速度变小 D.角速度变小 五、天体运动中的星系问题 27 天体运动中的星系问题主要有“双星”系与“多星”系。“双星”系是两颗星相距较近，它们绕着连线上的共同“中心”以相同的周期做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供提供做圆周运动的向心力。分析“双星”问题时，一是要确定双星运动的中心，依据卫星做圆周运动的轨道平面，求出轨道半径；二是求出卫星做圆周运动的向心力，同时要注意双星运动的特点，即双星的运动周期相等，向心力大小相等。“多星”系有指“三星”或“四星”等几种情况，其特点是星系中某个卫星在其他星球的引力共同作用下绕中心作圆周运动，同一系统中各天体间的距离不变，各星受到的向心力不一定相等，但其运动周期一定相同。在星系问题中要注意区分两个半径，即由万有引力规律求向心力时的引力半径与卫星绕中心天体做圆周运动的轨道半径。 例题9. 如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。 1、求两星球做圆周运动的周期。 2、在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数） 例题10. 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。 （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。 （2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 六、卫星运动中的超失重问题 卫星的运动经常涉及卫星的发射、运行和回收三个过程，这三个过程中由于重力在不同的阶段起着不同的作用，卫星或其内部的物体会发生不同程度的超失重现象．卫星通过火箭发射升空过程中向上加速，出现超重现象；进入轨道运行后，万有引力全部用于提供向心力，出现完全失重现象；卫星在回收进入地面，减速下降，出现超重现象，在超失重现象中卫星所受重力不变。 例题11. 关于“神舟七号”飞船的运动，下列说法中正确的是( ) A．点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F(向后喷气获得)不变，则火箭做匀加速直线运动 B．入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态 C．入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力 D．返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭，这个阶段航天员处于失重状态 28 七．天体运动中的能量问题 天体运动中的能量问题主要涉及到天体的动能、所在轨道处引力势能及机械能，它们均与轨道半径有关。分析这类问题时要注意，当轨道半径大时，动能反而小，把卫星发射到高轨道过程中，克服引力做功多，所需的机械能也大，卫星在高轨道上的机械能比低轨道上机械能大，而卫星在同一轨道上运动时机械能认为是守恒的。 例题12. 我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比 ( ) A．卫星动能增大，引力势能减小 B．卫星动能增大，引力势能增大 C．卫星动能减小，引力势能减小 D．卫星动能减小，引力势能增大 八．天体运动中的综合信息问题 宇宙是一片广袤的天地，随着科学家们对宇宙空间探索与研究深入，以宇宙探索为信息题材的试题也应运而生，此类试题以万有引力定律和天体运动为基石，要求考生能从题材中提取有效信息，建立合理的物理模型，注重考查了学生的知识迁移能力和信息处理的能力。 例题13. 在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀学说”，宇宙是由一个大爆炸的火球开始形成的，大爆炸后各星球即以不同的速度向外运动。这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ） A． 公转半径r较大 B. 公转周期T较小 C． 公转速率v较大 D. 公转角速度w较小 v2?例题14：已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度） 2GMERE，其中G、ME、RE分别 ?11228G?6.67?10N?m/kg,c?2.9979?10m/s，求下列问题： 是引力常量、地球的质量和半径。已知 (1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞。设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030kg，求它的可 能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）。 (2)在目前天文观察范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物质都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？ 课后练习 1. 为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则 ( ) M?A. X星球的质量为 4?2r1GT1 2gX?B. X星球表面的重力加速度为 4?2r1T12 29 C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动是的速度大小之比为 v1m1r2?v2m2r1r2r133 D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为 T2?T1 2. 已知万有引力常量为G，地球半径为R，月球与地球之间的距离为r，同步卫星距离地面高度h,月球绕地球 运动的周期T1，地球自转周期T2，地球表面的重力加速度g，某学生根据以上条件， 24π2h3Mm4?22G2TGT22h=m提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地心作圆周运动，由h 得M= （1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法与结果。 （2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 3. 已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是( ) 3 A. 卫星距离地面的高度为 GMT24?2 MmR2 B. 卫星的运行速度小于第一宇宙速度 G C. 卫星运行时受到的向心力大小为 D. 卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 4. 同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R。则( ) ① a1:a2=r :R ② a1:a2=R2:r2 ③ v1：v2=R2:r2 ④ v1:v2?R:r A．①③ B。①④ C。②③ D。②④ 5. 2011年11月３日凌晨，中国自行研制的神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器在距地球３４３公里的轨道实现自动对接，为建设空间站迈出关键一步。神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器在同轨道上运动，若神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器对接，为了追上天宫一号目标飞行器，飞船可采取的办法有（ ） A. 飞船加速直到追上空间站完成对接 B. 飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站对接 C. 飞船从原轨道加速至一个较低轨道，再减速追上空间站对接 D. 无论飞船采取什么措施，均不能与空间站对接 [来源:GkStK.Com] 6. 2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆 轨道2 轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是( ) A．飞船变轨前后的机械能相等 轨道1 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 Q PC．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 地球 7. 不久前欧洲天文学就发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c”。该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍。设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星 30 Ek1EEE的动能为k1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的形同质量的人造卫星的动能为k2，则k2 为（ ） A、0.13 B、0.3 C、3.33 D、7.5 8. 假定地球、月亮都是静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器。假定探测器在地球表面附近脱离火箭。用W表示探测器从脱离火箭处飞到月球过程中克服地球引力做的功，用动能，若不计空气阻力，则（ ） A．B． Ek表示探测器脱离火箭时的 Ek必须大于或等于W，探测器才能到达月球 Ek小于W，探测器也可能到达月球 1EC．k=2W，探测器一定能到达月球 1ED．k=2W，探测器一定不能到达月球 第六讲 功和动能定理 一．解题方法 1. 做功的分析和计算方法：做好受力分析找出力和运动分析找出位移，并确定力和位移方向夹角，根据功的公式或动能定理判断某个力（或合力）做功的正负或计算功， 2. 动能定理的解题思路和方法 （1）明确研究对象、研究过程，找出初、末状态的速度情况． （2）要对物体进行正确受力分析（包括重力），明确各力的做功大小及正负情况．有些力在运动过程中不是始终存在，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态受力情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待． （3）明确物体在过程的起始状态的动能和末了状态的动能． （4）列出动能定理的方程 ??EkW合?Ek，及其它必要的解题方程进行求解． 二．例题分析 （一）正功、负功的判断方法 1．根据力和位移方向之间的夹角判断 2．根据力和瞬时速度方向的夹角判断 3．从能的转化角度来进行判断 31 此法常用于判断相互联系的两个物体之间的相互作用力做功的情况． 例如车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图中的位置无初速地释放，则可判断在球下摆过程中绳的拉力对车做正功．因为绳的拉力使车的动能增加了．又因为M和m构成的系统的机械能是守恒的，M增加的机械能等于m减少的机械能，所以绳的拉力一定对球m做负功． 例题1. 长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，其下方有一个倾角为θ的光滑斜面体，放在水平面上，开始时小球与斜面刚刚接触且细绳恰好竖直，如图所示，现在用水平推力F缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面体平行，则下列说法中正确的是( )． A．由于小球受到斜面的弹力始终与斜面垂直，故对小球不做功 B．细绳对小球的拉力始终与小球的运动方向垂直，故对小球不做功 C．小球受到的合外力对小球做功为零，故小球在该过程中机械能守恒 D．若水平面光滑，则推力做功为mgL(1－cos θ) 变式1. 如图所示，电梯与水平地面成θ角，一人站在电梯上，电梯从静止开始匀加速上升，到达一定速度后再匀速上升．若以N表示水平梯板对人的支持力，G为人受到的重力，f为电梯对人的静摩擦力，则下列结论正确的是( )． A．加速过程中f≠0，f、N、G都做功 B．加速过程中f≠0，N不做功 C．加速过程中f＝0，N、G都做功 D．匀速过程中f＝0，N、G都不做功 （二）功的计算 1．恒力的功： W＝Fscos α或动能定理． 2．变力做功： 11 (1)用动能定理：W＝mv22－mv12. 22 (2)若功率恒定，则用W＝Pt计算． 3．滑动摩擦力做的功有时可以用力和路程的乘积计算 4．多个力的合力做的功 (1)先求F合，再根据W＝F合scos α计算，一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况． (2)先求各个力做的功W1、W2?Wn，再根据W总＝W1＋W2＋?＋Wn计算总功，这是求合力做功常用的方法． 例题2. 起重机以1 m/s2的加速度将质量为1 000 kg的货物由静止开始匀加速向上提升，若g取10 m/s2，则在1 s内起重机对货物所做的功是( )． A．500 J B．4 500 J C．5 000 J D．5 500 J 变式2. 一物体在水平面上，受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45 J，在第1秒末撤去拉力，其v－t图象如图所示，g取10 m/s2，则 ( )． A．物体的质量为5 kg B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2 C．第1秒内摩擦力对物体做的功为60 J D．第1秒内拉力对物体做的功为60 J 例题3. 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为45°，BO边为竖直方向．求这一过程中：(g取10 m/s2) (1)拉力F做的功． (2)重力G做的功． (3)圆弧面对物体的支持力FN做的功． 32 (4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功． (二) 动能定理分析多过程问题 对多过程问题可采用分段法和整段法处理,解题时应活处理,通常用整段法解题往往比较简洁。用动能定理分析多过程问题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的示意图，通过示意图帮助我们理解物理过程和各量关系，有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意。 例题4. 以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小物块。假定物块所受的空气阻力f大小不变。已知重力加速度为g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（ ） A.2v02g(1?2v0f)mg和v0mg?fmg?f B.2v02g(1?f)mg和v0mgmg?f C.2g(1?2f)mg和v0mg?fmg?f D.2v02g(1?2f)mg和v0mgmg?f (三)动能定理分析变力功问题 用动能定理分析变力的功时要注意弄清物体始末两个状态的速度，以及在中间过程中其他力对物体做的功． 例题5. 如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小为F＝kv(k为常数，v为环的运动速度)，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(假设杆足够长)可能为( ) A. 1mv022B.0 例题6. 如图所示为汽车在水平路面上启动过程中的速度图象，oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，则下述说法正确的是( ) A. 0～t1时间内汽车做匀加速运动且功率恒定 B. t1～t2时间内汽车牵引力做功为(mv22－mv21)/2 C. t1～t2时间内的平均速度为(v1＋v2)/2 D. 在全过程中t1时刻的牵引力及其功率都是最大值， t2～t3时间内牵引力最小 33 C.1m3g21m3g222mv0?D.mv0?22k2 22k2 (四)动能定理分析连结体问题 在连结体问题中，若不涉及常系统内的相互作用时，常以整体为研究对象求解，对系统应用动能定理列式时要特别注意防止遗漏系统内物体的动能。这类问题也可以运用隔离法选择研究对象，运用牛顿运动定律求解，但解题过程一般比较复杂，而运用功能原理求解时则就显得简单多了. 例题6. 如图所示,mA=4kg,mB=1kg,A与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,B与地面间的距离s=0.8m,A、B间绳子足够长，A、B原来静止，求： （1）B落到地面时的速度为多大； （2）B落地后,A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。 （g取10m/s2） (五)动能定理分析相互作用问题 子弹打木块类问题: 分析这类问题常常分别以相互作用的两个物体为研究对象，对对象进行受力情况、运动情况，力作功情况的分析，然后分别对不同对象应用动能定理列式求解。 例题7. 如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s.若木块对子弹的阻力Ff视为恒定，则下列关系式中正确的是（ ） A. FfL=Mv2/2 B. Ffs=mv2/2 C. Ffs=mv02/2－（M＋m）v2/2 D. Ff（L＋s）=mv02/2－ mv2/2 例题8. 如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v匀速运动.现将质量为m的某物块无初速地放在传送带的左端，经过时间f物块保持与传送带相对静止.设物块与传送带间的动摩擦因数为 ?，对于这一过程，下列说法正确的是（ ） 12mv2A. 摩擦力对物块做的功为 12mv2B. 传送带克服摩擦力做的功为 12mv2C. 系统摩擦生热为 12mv2D. 电动机多做的功为 (六)动能定理与图象结合问题 动能定理与图象相结合的试题，综合信息强，这类题对考生的能力也相对较高。此类试题常常涉及v-t、F-t等图象，分析时应从图象中提取与速度，功，动能等相关的信息，然后用动能定理进行解题。 例题9. 质量为1kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10m/s2，则以下说法中正确的是（ ） A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5 34 B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2 C．物体滑行的总时间为4s D．物体滑行的总时间为2.5s 例题10. 如图为质量相等的两个质点A、B在同一直线上运动的v-t图像，由图可知（ ） A. 在t时刻两个质点在同一位置 B. 在t时刻两个质点速度相等 C. 在0-t时间内质点B比质点A位移大 D. 在0-t时间内合外力对两个质点做功相等 例题11. 质量为1kg的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力F的作用。力F与时间t的关系如图所示，则此物体 （ ） A．前2s内动能先增后减，2s末动能8J B．从t=0s开始，每经2s动能增加8J C．前10s内F力做功400J D．每个奇数秒内的F的平均功率比前一奇数秒内的平均功率多32W （七）动能定理与生活科技结合问题 以生活科技材料为背景，试题情景新颖，物理过程与规律隐蔽性强。分析时应从题中材料提取有效的物理信息，构建物理模型，弄清物理过程，选择合理的物理规律进行解题。 例题12. 民用航空客机的机舱，除了有正常的舱门和舷梯连接，供旅客上下飞机外，一般还设有紧急出口，发生意外情况的飞机在着地后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个电气囊构成的斜面，机舱的人可沿该斜面滑行到地面上来，若机舱离气囊底端的竖直高度为3.2m，气囊所构成斜面长度为4.0m，一个质量为60kg的人在气囊上滑下时所受到的阻力为240N，试求出人滑到气囊底端的速度大小。（g取10m/s2） 课后练习 1．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是 ( ) A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B．加速时做正功，匀速和减速时做负功 C．加速和匀速时做正功，减速时做负功 D．始终做正功 2. 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图3甲和乙所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是 ( ) A．W1＝W2＝W3 B．W1＜W2＜W3 C．W1＜W3＜W2 D．W1＝W2＜W3 35 3． 一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图所示．设该物体在t0和2t0时刻相对于出发点的位移分别是x1和x2，速度分别是v1和v2，合外力从开始至t0时刻做的功是W1，从t0至2t0时刻做的功是W2，则( )． A．x2＝5x1 v2＝3v1 B．x2＝9x1 v2＝5v1 C．x2＝9x1 W2＝9W1 D．v2＝3v1 W2＝9W1 4. 质量为1 kg的物体，放在动摩擦因数为0.2的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图所示，重力加速度取10 m/s2，则下列说法正确的是( ) A.x=3 m时速度大小为32 m/s B.x=9 m时速度大小为32 m/s C.OA段加速度大小为3 m/s2 D.AB段加速度大小为3 m/s2 5. 如图所示，一质量为M，长为L的木板，放在光滑的水平地面上，在木板的右端放一质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与m、M连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在M上，将m拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为 ( ) A. 2μmgL 1?B.2 mgL C. μ(M+m)gL D.μmgL 6. 低碳、环保是未来汽车的发展方向.某汽车研发机构在汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的.某次测试中，汽车以额定功率行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车动能Ek与位移x的关系图象如图，其中①是关闭储能装置时的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线.已知汽车的质量为1 000 kg,设汽车运动过程中所受地面阻力恒定，空气阻力不计.根据图象所给的信息可求出( ) A. 汽车行驶过程中所受地面的阻力为1 000 N B. 汽车的额定功率为80 kW C. 汽车加速运动的时间为22.5 s D. 汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105 J 7. 如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则在这个过程中，以下说法中正确的是( )． mv2 A．电梯地板对物体的支持力所做的功等于 2mv2 B．电梯地板对物体的支持力所做的功小于 2mv2 C．钢索的拉力所做的功等于＋MgH 2mv2 D．钢索的拉力所做的功大于＋MgH 2 8. 人通过滑轮将质量为m的物体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h，到达斜面顶端的速度为v，如图所示，则在此过程中 ( )． 1 A．物体所受的合外力做功为mgh＋mv2 2 36 1 B．物体所受的合外力做功为mv2 2 C．人对物体做的功为mgh D．以上说法都不对 9. 如图所示，用特定材料制作的细钢轨竖直放置，半圆形轨道光滑，半径分别为R、2R、3R和4R，R ＝0.5 m，水平部分长度L＝2 m，轨道最低点离水平地面高h＝1 m．中心有孔的钢球(孔径略大于细钢轨直径)，套在钢轨端点P处，质量为m＝0.5 kg，与钢轨水平部分的动摩擦因数为μ＝0.4.给钢球一初速度v0＝13 m/s.取g＝10 m/s2.求： (1)钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时对轨道的压力． (2)钢球落地点到抛出点的水平距离． 10. 如图所示，质量为2 kg的木块套在光滑的竖直杆上，用60 N的恒力F通过轻绳拉木块，木块在A 点的速度vA＝3 m/s则木块运动到B点的速度vB是多少？(木块可视为质点，g取10 m/s2) 11. 一滑块(可视为质点)经水平轨道AB进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道BC.已知滑块的质量m = 0.50 kg，滑块经过A点时的速度vA = 5.0 m/s, AB长x = 4.5 m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ = 0.10, 圆弧形轨道的半径R = 0.50 m，滑块离开C点后竖直上升的最大高度h = 0.10 m.取 g = 10 m/s2.求： (1)滑块第一次经过B点时速度的大小； (2)滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上B点压力的大小； (3)滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功. 12. 在如图所示的装置中，两个光滑的定滑轮的半径很小，表面粗糙的斜面固 定在地面上，斜面的倾角为θ=30°，用一根跨过定滑轮的细绳连接甲、乙两物体，把甲物体放在斜面上且连线与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使悬线拉直且偏离竖直方向α=60°.现同时释放甲、乙两物体，乙物体将在竖直平面内振动，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动.已知乙物体的质量为m=1 kg，若取重力加速度g=10 m/s2. 求: 甲物体的质量及斜面对甲物体的最大静摩擦力. 13. 如图所示，质量为m的物体静止于光滑圆弧轨道的最低点A，现以始终沿切线方向、大小不变的外力F作用于物体上使其沿圆周转过 π 到达B点，随即撤去外力F，要使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外2 力F至少为 多大？ 14. 如图所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h＝0.8 m，质量为m＝2 kg的小物块M从斜面顶端A由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g＝10 m/s2，下滑时逆着毛的生长方向．求： (1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)． 37 (2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？ (3)物块M在斜面上下滑过程中的总路程． 第七讲 机械能守恒定律 一．解题方法 1.机械能守恒定律的各种表达形式 从守恒的角度,系统的初、末两状态机械能守恒，即 mgh?11mv2?mgh??mv?2?E?Ek?E?p?Ek22，即p 从转化的角度 系统动能的增加等于势能的减少，即 ?EP??Ek?0 从转移的角度,系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即 ?E增??E减 ?E1??E2?0； 2. 对机械能守恒定律的理解： ① 机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。 ②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。 ③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。 二．例题分析 1.机械能守恒条件的判断 例题1. 图所示的四个选项中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的力F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ） 2.单个物体的机械能守恒定律问题 例题2. 上海高考)如图所示，ABC和ABD为两个光滑固定轨道，A、B、E在同一水平面上，C、D、E在同一竖直线上，D点距水平面的高度为h，C点的高度为2h，一滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出． (1)求滑块落到水平面时，落点与E点间的距离xC和xD； (2)为实现xC < xD，v0应满足什么条件？ 38 例题3. 如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的3/4圆弧轨道，两轨道相切于B点。在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力。已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g。求： （1）小球在AB段运动的加速度的大小； （2）小球从D点运动到A点所用的时间。 例题4. 如图所示、四分之一圆轨道OA与水平轨道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆轨道OA的半径R=0．45m，水平轨道AB长S1＝3m，OA与AB均光滑。一滑块从O点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在CD上的小车在F=1．6N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去F。当小车在CD上运动了S2＝3．28m时速度v=2．4m/s，此时滑块恰好落入小车中。已知小车质量M=0．2kg，与CD间的动摩擦因数（取g=10m/s）求 （1）恒力F的作用时间t． （2）AB与CD的高度差h。 例题5. 如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为g。求： （1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1; （2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep; （3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO’在90? 2?＝ 0.4。 39 2m3角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在 到m之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到 水面的最大面积S是多少？ 3.连接体的机械能守恒定律问题 连接体的机械能机械能是否守恒的判断： （1）根据机械能守恒的条件判断。分析物体系统所受的力，判断重力以外的力（不管是系统内部物体间的力还是系统外部其他物体施加给系统内物体的力）是否对物体做功，如果没有重力以外的力对物体系统做了功，则物体系统的机械能守恒，否则，机械能不守恒。 （2）根据能量的转化判断。对于一个物体系统，分析是否只存在动能和重力势能（或弹性势能）的相互转化。如果只存在动能和重力势能（或弹性势能）的相互转化，而不存在机械能和其他形式的能量的转化，机械能守恒，否则，机械能不守恒。 例题6. 如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球A、B，质量分 别 为 m和M，M>m，由细线挂着，今由静止开始自由释放，求小球A升至最 时A、B两球的速度？ 高点C 变式1. 如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为 R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是 （ ） A．2R [来源:Z#xx#k.Com B. 5R/3 C．4R/3 D. 2R/3 例题7. 如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1＋m2）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？（已知重力加速度为g） 40 时速度的最小值为_____，通过最低点时速度的最大值为______。 分析“在什么范围内??”这一类的问题时要注意分析两个临界状态 例题5. 如图所示，细绳一端系着质量m′＝0.6 kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体，m′的重心与圆孔距离为0.2 m，并知m′和水平面的最大静摩擦力为2 N．现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围，m 会处于静止状态．(取g＝10 m/s2) 例题6. 如图所示，质量为M=4kg的木板长L=1.4m，静止在光滑且足够长的水平地面上，其水平顶面右端静置一质量m=1kg的小滑块（可视为质点），其尺寸远小于L，小滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.4。求： （1）现用恒力F的作用于木板M上为使m能从M上滑落，F的大小范围是多少？ （2）其他条件不变，若恒力F=22.8N且始终作用于M上，最终使m能从M上滑落，m在M上滑动的时间是多少？（不计空气阻力，g=10m/s2） 课后练习 1. 两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t?0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的v?t图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆( ) ··········· A B C D 2. 如图所示，水平 面上两物体m1、m2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( ) A．零 B. F/2 C. F D. 大于F 3. 三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端固定。若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳（ ） A. 必定是OA B. 必定是OB C. 必定是OC D. 可能是OB，也可能是OC 4. 如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木 46 块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg。现用水平拉力F拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（ ） 3?mg3?mgA、5 B、4 3?mgC、2 D、3?mg 5. 不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M＝15kg的重物，重物静止于地面上，有一质量m＝10kg的猴子从绳的另一端沿绳上爬，如右图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，猴子向上爬的最大加速度为(g取10m/s2)( ） A．25m/s2 C. 5m/s2 C. 10m/s2 D. 15m/s2 6. 如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ） A、一定是拉力 B、一定是推力 C、一定等于0 D、可能是拉力，可能是推力，也可能等于0 7. 一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图所示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2） 8．如图所示，有A、B两个楔形木块，质量均为m，靠在一起放于水平面上，它们的接触面的倾角为θ。现对木块A施一水平推力F，若不计一切摩擦，要使A、B一起运动而不发生相对滑动，求水平推力F不得超过的最大值。 9. 如图所示，物体A的质量为M＝1 kg，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为m＝0.5 kg、长L＝1 m．某时刻A以v0＝4 m/s向右的初速度滑上平板车B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力．忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数为μ＝0.2，取重力加速度g＝10 m/s2.试求：如果要使A不至于从B上滑落，拉力F应满足的条件。 47 10. 在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远离B球处以速度 v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图所示，欲使两球不发生接触，v0必须 满足什么条件 A B V 0 L 第九讲：稳恒直流电路 稳恒电流这一章的基本特点是知识点多，实验多，联系实际的问题多。部分电路欧姆定律、电阻定律、闭合电路欧姆定律、电路中的能量守恒定律是本章的基本规律。从近年来高考的命题来看，有如下的内容或题型出现的频度较高，值得注意。（1）电路的简化：对于一个复杂的电路，画出等效电路图，是一项基本功，也是电路分析和计算的基础。（2）动态直流电路的分析：电路中某些元件（如滑线变阻器的阻值）的变化，会引起电流、电压、电阻、电功率等相关物理量的变化，解决这类问题涉及到的知识点多，同时还要掌握一定的思维方法。（3）非纯电阻电路的分析与计算。非纯电阻电路是指电路含有电动机、电解槽等装置，这些装置的共同特点是可以将电能转化为机械能、化学能等其他形式的能量。这是近几年高考命题的一个冷点。（4）稳态、动态阻容电路的分析与计算。此类问题往往较难，但却是高考考查的重点，几乎是年年必考。（5）故障电路的分析与判断。由于此类问题能够考查考生理论联系实际的能力，对灵活运用知识的能力要求较高。（6）非线性电路的分析与求解。非线性电路包括含二极管电路和白炽电灯电路，由于这类元件的伏安特性不再是线性的，所以求解这类问题难度更大。 一、夯实基础知识 （一）电流的形成、电流强度。 1．电流的形成：电荷定向移动形成电流(注意它和热运动的区别)。 2．形成电流条件：(1)存在自由电荷；(2)存在电势差(导体两端存在电热差)。 3．电流强度：I=q/t(如果是正、负离子同时定向移动形成电流，q应是两种电荷量和) 48 4．注意：I有大小，有方向，但属于标量(运算法则不符合平行四边形定则)，电流传导速率就是电场传导速率不等于电荷定向移动的速率(电场传导速率等于光速)。 （二）部分电路欧姆定律。 1．公式I=U/R,U=IR,R=U/I. 2．含义：R一定时，I∝U,I一定时，U∝R；U一定时，I∝l/R。(注意：R与U、I无关) 3．适用范围：纯电阻用电器(例如：适用于金属、液体导电，不适用于气体导电)。 4．图象表示：在R一定的情况下，I正比于U，所以I—U图线、U—I图线是过原点的直线，且R=U/I，所以在I—U图线中，R=cotθ=1/k斜率，斜率越大，R越小；在U—I图线中，R=tanθ=k斜率，斜率越大，R越大。 注意：(1)应用公式I=U/R时，各量的对应关系，公式中的I、U、R是表示同一部分电路的电流强度、电压和电阻，切不可将不同部分的电流强度、电压和电阻代入公式，(2)I、U、R各物理量的单位均取国际单位，I(A)、U(A)、R(Ω)；(3)当R一定时，I∝U；I一定时，U∝R；U一定时，I∝1/R，但R与I、U无关。 (三)电阻定律 1．公式：R=ρL/S(注意：对某一导体，L变化时S也变化，L·S=V恒定) 2．电阻率：ρ=RS/L，与物体的长度L、横截面积S无关，和物体的材料、温度有关，有些材料的电阻率随温度的升高而增大，有此材料的电阻率随温度的升高而减小，也有些材料的电阻率几乎不受温度的影响，如锰铜和康铜，常用来做标准电阻，当温度降低到绝对零度附近时，某些材料的电阻率突然减小到零，这种现象叫超导现象。 （四）电功、电功率、电热。 1．电功：电流做的总功或输送的总电能为W=qU=IUt，如果是纯电阻电路还可写成W=U2t/R=I2Rt； 2．电热：Q=I2Rt，如果是纯电阻电路还可写成Q=IUt=U2t/R 3．电功和电热关系： (1)纯电阻电路，电功等于电热；(2)非纯电阻电路，电功大于电热，即UIt=Q+E其它能。 4．电功率：P=W/t=IU，如果是纯电阻电路还可写成P=I2R=U2/R。 5．额定功率：即是用电器正常工作时的功率，当用电器两端电压达到额定电压Um时，电流达到额定电流Im，电功率也达到额定功率Pm，且Pm=ImUm，如果是纯电阻电器还可写成Pm=U2m/R=I2mR(Pm、Um、Im、R四个量中只要知两个量，其它两个量一定能计算出)。 （五）简单串、并、混联电路及滑线变阻器电路 1．串联电路 (1)两个基本特点：①U=U1=U2=U3=??，②I=I1+I2+I3?? (3)三个重要性质： ①R=R1+R2+R3+?②U/R=U1/R1=U2/R2=U3/R3；③P/R=P1/R1=P2/R2=??=Pn/Rn=I2. 2．并联电路 (1)两个基本特点：①U=U1=U2=U3=??②I=I1+I2+I3?? (2)三个重要性质：①1/R=1/R1+1/R2+1/R3+??，②IR=I1R1=I2R2=I3R3=??InRn=U ③P/R=P1/R1=P2/R2=P3/R3=??=Pn/Rn=U2。 其中应熟记：n个相同电阻R并联，总电阻R总＝R/n；两个电阻R1、R2并联，总电阻R总＝R1R2/(R1+R2)，并联电路总电阻小于任一支路电阻；某一支路电阻变大(其它支路电阻不变)，总电阻必变大，反之变小；并联支路增多，总电阻变小，反之增大。 (六)闭合电路欧姆定律 1．三种表达式：(1)I=E/(R+r)；(2)E=U外+U内；(3)U端＝E－Ir 2．路端电压U和外电阻R外关系：R外增大，U端变大，当R外＝∞(断路)时，U端＝E(最大)；R外减小时，U外变小，当R外＝0(短路)时，U端＝0(最小)。 3．总电流I和外电阻R外关系：R外增大，I变小，当R外＝∞时，I＝0；R外减小时，I变大，当R外＝0时，I＝E/r(最大)。(电源被短路，是不允许的) 4．几种功率：电源总功率P总＝E.I(消耗功率)； 输出功率P输出＝U端I(外电路功率)；电源损耗功率P内损＝I2r(内电路功率)；线路损耗功率P线损＝I2R线。 R2 A C 二、典型例题 49 R1 B R4 图1甲 R3 D S 题型1：电路简化。 对一个复杂的电路，画出等效电路图，是一项基本功，也是电路分析和计算的基础。在复杂电路中，当导体间串、并联的组合关系不很规则时，要进行电路的简化，简化电路方法较多，这里介绍两种常用的方法：（1）分支法；（2）等势法。 D （1）分支法：以图1(甲)为例： R3 R4 第一支线：以A经电阻R1到B(原则上以最简便直观的支路为第一支线)。 S 第二支线：以A经由电阻R2到C到B。 B A R2 C 第三支线：以A经电阻R3到D再经R1到B。 R1 以上三支线并联，且C、D间接有S，简化图如图1(乙)所示。 （2）等势法：以图2为例。 图1乙 C E F 设电势A高B低，由A点开始，与A点等势的点没有，由此向下到C点， E点与C点等势，再向下到D点，F、B点与D点等势，其关系依次由A R1 R2 D R3 R4 B 图3 R3 所示。 F 图2 （3）注意：○1对于复杂电路的简化可交替RR4 4 E E 用分支法和等势法；○2理想的电流表可视A作短D RR3 3 AA C C 路；○3理想的电压表和电容器可视作断路；○4R1 R2 R2 B R1 R1 两等势点间的电阻可省去或视作短路。 与A点等势 与D点等势 与C点等势 例1、如图所示电路中，电源两端电压恒为为 图3 3V， R1＝R2＝R3＝6Ω，求通过电源的电流？ 例2、电流表A1和A2的示数分别为1A和 2A，若将R3和R4两电阻互换位置，则两电流表的示数不变，试求通过电阻R1的电流强度多大？ 题型2：电路动态分析 电路中局部的变化会引起整个电路电流、电压、电功率的变化，“牵一发而动全身”是电路问题的一个特点。处理这类问题常规思维过程是：首先对电路进行分析，然后从阻值变化的部分入手，由串、并联规律判断电路总电阻变化情况（若只有有效工作的一个电阻阻值变化，则不管它处于哪一支路，电路总电阻一定跟随该电阻变化规律而变），再由全电路欧姆定律判断电路总电流、路端电压变化情况，最后再根据电路特点和电路中电压、电流分配原则判断各部分电流、电压、电功率的变化情况。 p b A B 特点： 为了快速而准确求解这类问题，同学们要熟记滑线变阻器常见三种接法的 第一种：如图4所示的限流式接法. RAB随pb间的电阻增大而增大。 P 1 图R4 a R2 b 第二种：如图5所示分压电路.电路总电阻RAB等于AP段并联电阻RaP与PB段电 阻RbP的串联。当P由a滑至b时，虽然Rap与Rpb变化相反，但电路的总电阻RAB B 持续减小；若P点反向移动，则RAB持续增大。 A 图5 第三种：如图6所示并联式电路。由于两并联支路的电阻之和为定值，则两支路电阻随两支路阻值之差的增大而减小；随两支路阻值之差的减小而增大，且支路 50 R1 R2 A 图6 R3 a p b B 的并联阻值相
