新课标数学选修4-5柯西不等式教学题库大全 一、二维形式的柯西不等式
(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2(a,b,c,d?R,当且仅当ad?bc时,等号成立.)
二、二维形式的柯西不等式的变式
(1)a2?b2?c2?d2?ac?bd(a,b,c,d?R,当且仅当ad?bc时,等号成立.) (2)a2?b2?c2?d2?ac?bd(a,b,c,d?R,当且仅当ad?bc时,等号成立.)
(3)(a?b)(c?d)?(ac?bd)2(a,b,c,d?0,当且仅当ad?bc时，等号成立.)
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
??????.(当且仅当?是零向量,或存在实数k,使??k?时,等号成立.)
借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法
（1）巧拆常数：
例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：
?例2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2?R求证：(ax1?bx2)(bx1?ax2)?x1x2
2229??? a?bb?cc?aa?b?c（3）改变结构：
例3、若a>b>c 求证：（4）添项：
114?? a?bb?ca?cabc3??? b?cc?aa?b2?????【1】、设a?(?2,1,2), b?6，则a?b之最小值为________；此时b?________。
????????a?b?aba?b?18答案：?18; (4,?2,?4) 解析： ∴ ∴?18?a?b?18 ????a?b之最小值为?18，此时b??2a?(4,?2,?4)
????222
【2】 设a? (1，0，? 2)，b? (x，y，z)，若x ? y ? z ? 16，则ab的最大值为 。
例4：a,b,c?R求证：
?【解】
????aa∵ ? (1，0，? 2)，b? (x，y，z) ∴ ．b? x ? 2z
由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x2 ? y2 ? z2) ? (x ? 0 ? 2z)2
? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 45? x ? 45
????? ? 45? a．b ? 45，故a．b的最大值为45
?????【3】空间二向量a?(1,2,3)，b?(x,y,z)，已知b?56，则(1)a?b的最大值为多少？
?(2)此时b?？
Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)
【4】设a、b、c为正数，求(a?b?c)(?4a936?)的最小值。Ans：121 bc【5】. 设x，y，z ? R，且满足x2 ? y2 ? z2 ? 5，则x ? 2y ? 3z之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)(12 ? 22 ? 32) ? 5．14 ? 70 ∴ x ? 2y ? 3z最大值为
70
【6】 设x，y，z ? R，若x2 ? y2 ? z2 ? 4，则x ? 2y ? 2z之最小值为 时，(x，y，z) ?
解(x ? 2y ? 2z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)[12 ? ( ? 2) 2 ? 22] ? 4．9 ? 36 ∴ x ? 2y ? 2z最小值为 ? 6，公式法求 (x，y，z) 此时
xyz?6?2 ???2?1?222?(?2)2?223∴ x??24?4，y?，z? 333222【7】设x,y,z?R，x?y?z?25，试求x?2y?2z的最大值M与最小值m。 Ans：M?15;m??15
【8】、设x, y, z?R, x2?y2?z2?25，试求x?2y?2z的最大值与最小值。
答：根据柯西不等式
(1?x?2?y?2?z)2?[12?(?2)2?22](x2?y2?z2)
2 即(x?2y?2z)?9?25 而有?15?x?2y?2z?15
故x?2y?2z的最大值为15，最小值为–15。 【9】、设x, y, z?R, 2x?y?2z?6，试求x2?y2?z2之最小值。
答案：考虑以下两组向量
2 u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式(u?v)?u?v，就有
?????2?2 [2x?(?1)y?(?2)z]?[2?(?1)?(?2)](x?y?z)即
2222 (2x?y?2z)?9(x?y?z) 将2x?y?2z?6代入其中，得
222222236?9(x2?y2?z2) 而有 222222 x?y?z?4 故x?y?z之最小值为4。
【10】设x,y,z?R，2x?y?2z?6，求x2?y2?z2的最小值m，并求此时x、y、z之值。
Ans：m?4;(x,y,z)?(,?4324,?) 33【11】 设x，y，z ? R，2x ? 2y ? z ? 8 ? 0，则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2之最小值为
解： 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 ? 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9，
考虑以下两组向量
2 u = ( , , ) ，v =( , , ) (u?v)?u?v
?????2?2
[2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]2 ? [(x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2]．(22 ? 22 ? 12) ? (x ? 1) ? (y ? 2) ? (z ? 3) ?
2
2
2
(?9)29? 9
【12】设x, y, z?R，若2x?3y?z?3，则x2?(y?1)2?z2之最小值为________，又此
时y?________。
解： 2x?3y?z?3 ? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( )， 考虑以下两组向量 ?? u = ( , , ) ，v =( , , )
[x?(y?1)?z][2?(?3)?1]?(2x?3y?3?z)[x?(y?1)?z]?解析：
∴最小值
222222222236 1418 7?3y?z?3,?2t(2?)t?3(? 3t?1)?3xy?1z??t?, ?2x?31 232 ∴t? ∴y??
77【13】 设a，b，c均为正数且a ? b ? c ? 9，则
4916??之最小值为 abc
解：考虑以下两组向量
?? u = ( , , ) ，v =( , , )
4916234???2?2(u?v)2?u?v (?a??b??c)2 ? (??)(a ? b ? c)
abcabc4916? (??)．9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81
abc491681??? ? 9 ?
abc9
【14】、设a, b, c均为正数，且a?2b?3c?2，则
123??之最小值为________，此时abca?________。
解：考虑以下两组向量
?? u = ( , , ) ，v =( , , )
???2?2(u?v)2?u?v
1223)?()2?()2]?(1?2?3)2 abc123a2b3c?? ∴(??)?18，最小值为18 等号发生于 u//v 故 ??abc123abc1 ∴a?b?c 又a?2b?3c?2 ∴a?
3[(a)2?(2b)2?(3c)2][(
?【15】. 设空间向量a的方向为?，?，?，0 ? ?，?，? ? ?，csc2? ? 9 csc2? ? 25 csc2? 的最小值为 。
解∵ sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2由柯西不等式 ∴ (sin2? ? sin2? ? sin2?)[(25csc2?) ? 81
∴ csc2? ? 9csc2? ? 25csc2? ?
123252)?()?()] ? (1 ? 3 ? 5)2 2(csc2? ? 9csc2? ? sin?sin?sin?8181 ∴ 故最小值为 22【注】本题亦可求tan2? ? 9 tan2? ? 25tan2? 与cot2? ? 9cot2? ? 25cot2? 之最小值，请自行练习。
【16】. 空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为?，?，?（?，?，? 均非象限角），求
?149??的最小值。 222sin?sin?sin?解 : 由柯西不等式
[(122232)?()?()](sin2??sin2??sin2?)sin?sin?sin? ?
(123?sin???sin???sin?)2 sin?sin?sin?149)?()?()](sin2??sin2??sin2?)?(1?2?3)2 222sin?sin?sin?
sin2?
?
sin2?
?
sin2?
?
2
∴
?(∵2(149149??)?36?(??)?18
sin2?sin2?sin2?sin2?sin2?sin2?
∴
149的最小值 ? 18 ??222sin?sin?sin?92516的最小值。 ??sin2?sin2?sin2??【17】.空间中一向量a的方向角分别为?,?,?，求
答72利用柯西不等式解之
【18】、设x, y, z?R，若(x?1)2?(y?2)2?z2?4，则3x?y?2z之范围为何？又
3x?y?2z发生最小值时，x?？
答案：[(x?1)2?(y?2)2?z2][32?(?1)2?(?2)2]?(3x?3?y?2?2z)2
4(14)?(3x?y?2z?5)2 ?214?3x?y?2z?5?214
5?214?3x?y?2z?5?214若
3x?y?2z?5?214又
x?1y?2z???t3?1?2∴
3(3t?1)?(?t?2)?2(?2t)?5?214
∴t??31414 ∴x???1
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【19】 设?ABC之三边长x，y，z满足x ? 2y + z = 0及3x + y ? 2z = 0，则?ABC之最大角是多少度？ 【解】??21111?2?x?2y?z?0? x：y：z =：：= 3：5：7
1?2?2331?3x?y?2z?01(3k)2?(5k)2?(7k)2设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cos? == ?，∴? =
22(3k)(5k)120?
(x?1)2(y?2)2(z?3)2???1，求x ? y ? z之最大值，最小【20】. 设x，y，z ? R且
1654值。
Ans 最大值7；最小值 ? 3
【解】
(x?1)2(y?2)2(z?3)2???1 ∵
1654由柯西不等式知 [42
?
(
5)2
?
22]
?x?12y?22z?32()?()?()?425????? ?
x?1y?2?4．()?5．()?2． ?45?z?3?()? ? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2 ? 5 ? |x ? y ? z ? 2| 2?? ? 5 ? x ? y ? z ? 2 ? 5 ∴ ? 3 ? x ? y ? z ? 7 故x ? y ? z之最大值为7，最小值为 ? 3
【21】. 求2sin? ?3cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。
答. 最大值为22，最小值为 ?22
【详解】
2??令向量a ? (2sin?，3cos?，? cos?)，b? (1，sin?，cos?) ????由柯西不等式 |a．b| ? |a||b|得
| 2sin? ?3cos? sin? ? cos? cos? | ?4sin2??3cos2??cos2?，
1?sin2??cos2??4(sin2??cos2?)(1?sin2??cos2?)?22
所求最大值为22，最小值为 ?22
【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
(a2?b2?c2)(111??)?36R2证明：由三角形中的正弦定理得 222sinAsinBsinC14R214R214R2asinA??2，同理?2，?2于是左边= ，所以
2Rsin2Aasin2Bbsin2Cc4R24R24R22R2R2R2(a?b?c)(2?2?2)?(a??a??a?)?36R2。
abcabc222【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=
|Ax0?By0?C|A?B22.
证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西
不等式得
(A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］2=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥
|Ax0?By0?C|A?B22.
当
x?x0y?y0Ax?By?C|Ax0?By0?C|???0202时,取等号,由垂线段最短得d=.
22ABA?BA?B【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得
111≤λ恒成立,求λ的范围. ??x?yy?zz?x111??x?yy?zz?x12xy?12yz?12zx?1z(?2x?y?zx?x?y?zy)
x?y?z≤
?31zxy3故λ的取值范围是［,+∞). (12?12?12)(??)?22x?y?zx?y?zx?y?z2温馨提示
本题主要应用了最值法,即不等式
111??≤λ恒成立,等价于x?yy?zz?x(
111111????)max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值. x?yy?zz?xx?yy?zz?xa?b?c的
x?y?z【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求值.
解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式. 由柯西不等式等号成立的条件,知
abca?b?c??=λ,再由等比定理,得=λ.因此只需求λxyzx?y?z的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当
abc??=λ时,上式等号成立. xyz于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±
5abc5(舍负),即???. 6xyz6竞赛欣赏
1 （1987年CMO集训队试题）设a,b,c?R，求证：
?a5?b5?c5?a3bc?b3ca?c3ab （2-10）
证明：因a2?b2?c2?ab?bc?ca，由定理1有
a4b4c4(a2?b2?c2)2????a2?b2?c2 此即（2-10）式。 bccaabbc?ca?abb2c2a2???3(a2?b2?c2) 2 设a,b,c?R，求证：
abc?证明：由均值不等式得a3?c2a?2a2c,b3?a2b?2ab,c3?b2c?2bc2，故 a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?2(ab2?bc2?ca2) 即 (a2?b2?c2)(a?b?c)?3(ab2?bc2?ca2).
222又由柯西不等式知3(a2?b2?c2)?(a?b?c)2，故3(a?b?c)?a?b?c
又由定理1，得
a4b4c4(a2?b2?c2)23(a2?b2?c2)2原式左＝2?2?2?2?222?原式右 22acbacbbc?ca?ab(a?b?c)(a?b?c)
