yxB xA D ox 2（2）曲线G:x?2ax?y?4y?a?即圆E：(x?a)?(y?2)?222251?0， 25749，其圆心坐标为E(a,2)，半径r?
52551222?0与点D有公共点； 由图可知，当0?a?2时，曲线G:x?2ax?y?4y?a?2522251?0与点D有公共点，只需圆心E到直线当a?0时，要使曲线G:x?2ax?y?4y?a?25l:x?y?2?0的距离d?|a?2?2|2?|a|2?77272，得?. ?a?0，则a的最小值为?55550.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）
?x2y2点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，x0?acos?,y0?bsin?,0???.直线l2与直线
2abl1:x0y0x?y?1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?. a2b2x2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；
ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列.
解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
x0y0x2y2b22证明 （I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,
ababay01b2x0222b2x0b2得(2?42)x?2x?(2?1)?0.
aay0ay0y0将??x0?acos?222代入上式,得x?2acos??x?acos??0,从而x?acos?.
?y0?bsin? 46
?x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.
?y?y0?x0x?y0y?1?b2?a2(方法二)显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos?1,bsin?1),0??1?2?是椭圆与l1的交点，代入l1的方程
cos?sin?x?y?1，得cos?cos?1?sin?sin?1?1, ab即cos(???1)?1,???1,故P与Q重合。
b2b2x2y2a?x2,y0?a?x02, （方法三）在第一象限内，由2?2?1可得y?aaab椭圆在点P处的切线斜率k?y?(x0)??bx0aa2?x02b2x0??2,
ay0xxyyb2x0切线方程为y??2(x?x0)?y0,即02?02?1。
abay0因此，l1就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点。
y0bx0b2y0a2a（II）tan???tan?,l1的斜率为?,l2的斜率为tan???tan?,
x0ay0a2x0b2b由此得tan?tan??tan2??0,tan?,tan?,tan?构成等比数列。
51.（2009江西卷文）（本小题满分14分）
x2?y2?1的内接△ABC的内切圆, 其中A为椭圆的左顶点. 如图，已知圆G:(x?2)?y?r是椭圆16y222（1）求圆G的半径r;
（2）过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，
证明：直线EF与圆G相切．
MABF0E． G Cx
（1）解 设B（2?r,y0），过圆心G作GD?AB于D,BC交长轴于H
47
由
GDHByr?得?0, ADAH36?r26?r即 y0?r6?r (1) 6?r(2?r)212?4r?r2(r?2)(r?6)???而点B（2?r,y0）在椭圆上,y0?1? (2) 2161616由(1)、 (2)式得15r2?8r?12?0,解得r?23或r??65（舍去） (2) 证明设过点M(0,1)与圆(x?2)2?y2?49相切的直线方程为:
y?1?kx 则
22k?13?,即1?k232k2?36k?5?0 解得k?9?41?9?411?16,k2?16 将(3)代入x216?y2?1得(16k2?1)x2?32kx?0,则异于零的解为x??32k16k2?1
设F(x1,k1x1?1),E(x2,k2x2?1)，则x1??32k116k2?1,x2??32k216k2 12?1则直线FE的斜率为：kk2x2?k1x1EF?x?k1?k23x?
2?11?16k1k2432k2于是直线FE的方程为:y?116k2?1?3(x?32k12) 1?1416k1?1即y?374x?3 3?7则圆心(2,0)到直线FE的距离d?23?2
1?9316故结论成立.
52.（2009江西卷理）（本小题满分12分）
48
(3)
(4)
x2y2??1（b为正常数）上任一已知点P1(x0,y0)为双曲线
8b2b2点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接
PyP2AF2A并延长交y轴于P2.
P1F1OPEF2x(1) 求线段P1P2的中点
的轨迹的方程; (2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点
Q（x1,y1）(y1?0),直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.
求证:以MN为直径的圆过两定点.
(1) 解 由已知得F（83y023b，0），（A3b，y0）,则直线F2A的方程为:y??b(x?3b), 令x?0得y?9y0,即P2(0,9y0),
?x?x0 ?x0?2设P（x，y）,则??x?2,即?x220y04x2y2?1, ??y代入2?2?1得:2?y?y0?9y0y?0?8bb8b25b2?2?5y0??5即P的轨迹E的方程为x2y22b2?25b2?1. (2) 证明 在x2y22b2?25b2?1中令y?0得x2?2b2,则不妨设B（-2b，0），（D2b，0）, 于是直线QB的方程为:y?y1x2b(x?2b),
1?直线QD的方程为:y?y1x(x-2b),
1-2b则M（0，2by1-2byx?2b），N（0，1x）, 11-2b则以MN为直径的圆的方程为: x2?（y-2by1x）（y?2by1x）?0,
1?2b1-2b令y?0得:x2?2b2y21x2y222x22,而Q（x1,y1）在2??1上,则x21?2b2?y1, 1?2b2b25b225 49
于是x??5b,即以MN为直径的圆过两定点(?5b,0),(5b,0). 53.（2009天津卷文）（本小题满分14分）
x2y2a2,0)的直线已知椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，过点E(cab与椭圆相交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B| （Ⅰ求椭圆的离心率； （Ⅱ）直线AB的斜率；
（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m?0)在?AF1C的外接圆上，求的值。
解 （1）由F1A//F2B,|F1A|?|F2B|，得
nm|EF2||F2B|1??,从而
|EF1||F1A|2a2?c1c322c?a?3c，整理得，故离心率 e??22aa3?cc222（2）由（1）知，b?a?c?2c，所以椭圆的方程可以写为2x?3y?6c
2222a2)即y?k(x?3c) 设直线AB的方程为y?k(x?c?y?k(x?3c)由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组?2 22?2x?3y?6c消去y整理，得(2?3k)x?18kcx?27kc?6c?0
22222222依题意，??48c(1?3k)?0,?33?k? 3318k227k2c2?6c2,x1x2?而x1?x2?，有题设知，点B为线段AE的中点， 222?3k2?3k所以x1?3c?2x2
9k2c?2c9k2c2?2c22,x?k??联立三式，解得x1?，将结果代入韦达定理中解得 23.2?3k22?3k2
50
一、选择题
1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 A.(x?1)2?(y?1)2?2 B. (x?1)2?(y?1)2?2 C.(x?1)2?(y?1)2?2 D. (x?1)2?(y?1)2?2
【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径可. 【答案】B
2.（重庆理，1）直线y?x?1与圆x2?y2?1的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 【解析】圆心(0,0)为到直线y?x?1，即x?y?1?0的距离d?
D．相离
2即
212，而0??1，选B。 ?222【答案】B
3.（重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A．x?(y?2)?1 B．x?(y?2)?1 C．(x?1)?(y?3)?1
222222
D．x?(y?3)?1
222解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b)，则由题意知(o?1)?(b?2)?1，解得b?2，故圆的方程
为x?(y?2)?1。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为
22x2?(y?2)2?1
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。 【答案】A
4.（上海文，17）点P（4，－2）与圆x?y?4上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.(x?2)?(y?1)?1 B.(x?2)?(y?1)?4
1
222222
C.(x?4)2?(y?2)2?4 D.(x?2)2?(y?1)2?1
4?s?x???s?2x?4?2【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则?，解得：?，代
?2?t?t?2y?2?y??2?入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：(x?2)2?(y?1)2?1 【答案】A
5. （上海文，15）已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l2:2(k?3)x?2y?3?0,平行，则k得值是（ ）
A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：5，故选C。 【答案】C
6. (上海文，18)过圆C：(x?1)2?(y?1)2?1的圆心，作直线分 别交x、y正半轴于点A、B，?AOB被圆分成四部分（如图）， 若这四部分图形面积满足S??S￥?S??S|||,则直线AB有（ ） （A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 【解析】由已知，得：SIV?SII?SIII?SI,，第II，IV部分的面 积是定值，所以，SIV?SII为定值，即SIII?SI,为定值，当直线
3?k＝k－3，解得：k＝4?kAB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB只有一条，故选B。
【答案】B
7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为60?的直线被圆x?y?4y?0所截得的弦长为
学科网22A.3 B.2 C.6 D.23
2
2解析：x2?y2?4y?0?x2?（y?2）?4，?A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,?ON=3?弦长23【答案】D 二、填空题
8. （广东文，13）以点（2，?1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是 . 【解析】将直线x?y?6化为x?y?6?0,圆的半径r?22|2?1?6|5?, 1?12所以圆的方程为(x?2)?(y?1)?【答案】(x?2)?(y?1)?2225 225 29.（天津理，13）设直线l1的参数方程为?离为_______
?x?1?t（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距
?y?1?3t【解析】由题直线l1的普通方程为3x?y?2?0，故它与与l2的距离为
|4?2|10?310。 5【答案】
310 5222210. （天津文，14）若圆x?y?4与圆x?y?2ay?6?0(a?0)的公共弦长为23，则a=________. 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y?1 ， a1|22a利用圆心（0，0）到直线的距离d?为2?3?1，解得a=1. 1|【答案】1
11.（全国Ⅰ文16）若直线m被两平行线l1:x?y?1?0与l2:x?y?3?0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是
①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75
?????其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
3
【解析】解：两平行线间的距离为d?o0|3?1|1?10o由图知直线m与l1的夹角为30，l1的倾斜角为45o，?2，
所以直线m的倾斜角等于30?45?75或45?30?15。 【答案】①⑤
12.（全国Ⅱ理16）已知AC、BD为圆O:x2?y2?4的两条相互垂直的弦，垂足为M1,2,则四边形
o00??ABCD的面积的最大值为 。
【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22?OM2?3. 四边形ABCD的面积S?【答案】5
13.（全国Ⅱ文15）已知圆O：x2?y2?5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=?1|AB|?|CD|?2(4?d12)(4-d22)?8?(d12?d22)?5 21(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是215255，所以所求面积为??5?。
224225【答案】
45和
14.（湖北文14）过原点O作圆x2+y2-－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q， 则线段PQ的长为 。
【解析】可得圆方程是(x?3)2?(y?4)2?5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ?4. 【答案】4
15.（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题： A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
4
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为xcos??(y?2)sin??1所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d?1cos??sin?22?1
即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,
故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C 三、解答题
16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆
C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足
条件的点P的坐标。 解 (1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离d?42?(232)?1， 2结合点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|k?17 242?1,
化简得：24k?7k?0,k?0,or,k??2 5
因为4k?21?4?8所以0?k211?, 14k2?2?48k所以
32321?[1?]?12,
1334k2?2?4k426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. 32所以② 当k?0时,|AB|?46. 326262626,?)或(?,?), 3333③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(所以此时|AB|?46, 3446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33综上, |AB |的取值范围为【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
47. (2009山东卷文)（本小题满分14分）
????设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动点M(x,y)的轨迹为
E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知m?1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且4OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知m?1222,设直线l与圆C:x?y?R(1 ????解（1）因为a?b,a?(mx,y?1),b?(x,y?1), ??22所以a?b?mx2?y2?1?0, 即mx?y?1. 41 当m=0时,方程表示两直线,方程为y??1; 当m?1时, 方程表示的是圆 当m?0且m?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线. 1x2?y2?1,设圆心在原点的圆的一条切线为y?kx?t,解方程组(2).当m?时, 轨迹E的方程为 44?y?kx?t?222222得,即x?4(kx?t)?4(1?4k)x?8ktx?4t?4?0, ?x2??y?1?4要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 8kt?x?x??12??1?4k22222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且? 2?xx?4t?4?121?4k2?k2(4t2?4)8k2t2t2?4k22, y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t???t?2221?4k1?4k1?4k22????????4t2?4t2?4k25t2?4k2?4???0, 要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即2221?4k1?4k1?4k所以5t?4k?4?0, 即5t?4k?4且t?4k?1, 即4k?4?20k?5恒成立. 所以又因为直线y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线, 2222222242(1?k)t4t42225x?y?所以圆的半径为r?,r?, 所求的圆为. ??22251?k1?k51?k222222x25,与?y2?1交于点(5,?5)或(?5,?5)也满当切线的斜率不存在时,切线为x??555554足OA?OB. 综上, 存在圆心在原点的圆x?y?224，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且5????????OA?OB. 42 1x2?y2?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线l与圆(3)当m?时,轨迹E的方程为 44C:x2?y2?R2(1 t1?k2, 即t2?R2(1?k2) ①, ?y?kx?t?22由（2）知?x2得x?4(kx?t)?4, 2??y?1?4即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0有唯一解 则△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 即4k?t?1?0, ② 22?23R2t???4?R2由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2?k2?R?1??4?R28kt?x?x??12?4t2?416R2?16?1?4k22?由? 中x1?x2,所以,x1?, 2221?4k3R?xx?4t?412?1?4k2?4124?R2222|OB|?x?y?5?B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y?1?x1?,所以, 11122R43R21在直角三角形OA1B1中,|A1B1|?|OB1|?|OA1|?5?2当R?2?(1,2)时取等号,所以|A1B1|?5?4?1,即 222444222?R?4当且仅?R?5?(?R)因为222RRR当R?2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 48.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分） 3x2y2??1(a?b?0)已知椭圆C: a 2 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B b2 3 2两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 22 2 43 （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。 解（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为 OP?OA?OB??? 0?0?c2?c2， 故 c2?2， c?1 2 由 e?c3?，得 a?3，b?a2?c2=2 a3（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。 由 （Ⅰ）知C的方程为2x+3y=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1) C 上的点P使OP?OA?OB成立的充要条件是P点的坐标为（， x1?x2,y1?y2）且2(x1?x2)?3(y1?y2)?6 整理得 2x1?3y1?2x2?3y2?4x1x2?6y1y2?6 22222222又A、B在C上，即2x1?3y122?6,2x2?3y2?6 22故 2x1x2?3y1y2?3?0 ① 将 y?k(x?1)代入2x?3y?6,并化简得 22(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 6k23k2?6于是 x1?x2?, x1x2=, 222?3k2?3k?4k2 y1y2?k(x1?1)(x2?2)? 2?3k22 44 2代入①解得，k?2，此时x1?x2?3 2于是y1?y2?k(x1?x2?2)=? 因此， 当k??2时，P(,k3k， 即P(,?) 222322)， l的方程为2x?y?2?0； 2 当k?322时，P(,?)， l的方程为2x?y?2?0。 22（ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使OP?OA?OB成立。 综上，C上存在点P(,?322)使OP?OA?OB成立， 2此时l的方程为2x?y?2?0. 49.（2009广东卷理）（本小题满分14分） 已知曲线C:y?x2与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合． （1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； 51?0与D有公共点，试求a的最小值． 2515解（1）联立y?x2与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)， 2215?s?t15设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则x?2，即s?2x?,t?2y?，又点P在曲线,y?22222（2）若曲线G:x?2ax?y?4y?a?222C上， 5111?(2x?)2化简可得y?x2?x?，又点P是L上的任一点， 228115且不与点A和点B重合，则?1?2x??2，即??x?， 24411152∴中点M的轨迹方程为y?x?x?（??x?）. 844∴2y? 45 x2y2??1 【答案】 36933.（2009四川卷文）抛物线y2?4x的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点F（1，0），准线方程x??1，∴焦点到准线的距离是2. 【答案】2 x2y234.（2009湖南卷文）过双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点作圆x2?y2?a2的两条切线， ab切点分别为A，B，若?AOB?120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 . 【解析】??AOB?120??AOF?60??AFO?30?c?2a, ?e?【答案】2 35.（2009福建卷理）过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点， ?????c?2.a 若线段AB的长为8，则p?________________ ?y2?2pxpp2?2【解析】由题意可知过焦点的直线方程为y?x?，联立有??0，又p?x?3px?24?y?x??2p2AB?(1?1)(3p)?4??8?p?2。 422【答案】 2 x2y2??1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则36.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线 412PF?PA的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 31 【答案】9 37.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A， B两点，若P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 。 【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y， 得：x2－kx＝0，x1?x2＝k＝2×2，故y2?4x. 【答案】y2?4x 38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 . 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得 ?ob?tan30?，所以c?3b，所以a?2b，离心率ce?c36??a2. 26 2【答案】x2y239.（2009年上海卷理）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上 ab一点，且PF1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF?|PF1|?|PF2|?2a?【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9， ?222?|PF1|?|PF2|?4c故有b＝3。 【答案】3 三、解答题 32 40.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和2F2的距离之和为12.圆Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程 (2)求?AkF1F2的面积 (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由. x2y2解（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c; ab?2a?12??a?6?222 则?c , ?b?a?c?36?27?9 3 , 解得???c?33??2?ax2y2??1. 所求椭圆G的方程为： 369(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2?11?F1F2?2??63?2?63 2222（3）若k?0，由6?0?12??0?21?15?12??0可知点（6，0）在圆Ck外， 若k?0，由(?6)2?02?12??0?21?15?12??0可知点（-6，0）在圆Ck外； ?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G. 41.（2009浙江理）（本题满分15分） y2x2已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1． ab （I）求椭圆C1的方程； （II）设点P在抛物线C2：y?x?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N．当线段AP的 中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值． 2 33 ?b?1?a?2y2?2解（I）由题意得?b,??,所求的椭圆方程为?x2?1， 4?2??1?b?1?a（II）不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2?h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y?x?t?2t，直线MN 的方程为y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2?(2tx?t2?h)2?4?0，即 24?1?t2?x2?4t(t2?h)x?(2t?h)?4?，0因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有422?1?16??t?2(h?2)t?h??4?，0 ??x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?， ?222(1?t)设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?t?12，由题意得x3?x4，即有t?(1?h)t?1?0，其中的2?2?(1?h)2?4?0,?h?1或h??3； 4222??t?2(h?2)t?h?4当h??3时有h?2?0,4?h?0，因此不等式?1?16?不成立；因此???0h?1，当h?1时代入方程t2?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1t,??1代入不等式 422?1?16??t?2(h?2)t?h?4????0成立，因此h的最小值为1． 42.（2009浙江文）（本题满分15分） 已知抛物线C：x2?2py(p?0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为（I）求p与m的值； （II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t?0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作 17． 4PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值． 解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y??p，根据抛物线定义 2p171?，解得p? 242点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4??抛物线方程为：x2?y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m??2 （Ⅱ）由题意知，过点P(t,t)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。 2?t2?kt?t2?kt, 则M(,0)。 则lPQ:y?t?k(x?t)，当y?0,x?kk2 34 ?y?t2?k(x?t)2联立方程?，整理得：x?kx?t(k?t)?0 2x?y?即：(x?t)[x?(k?t)]?0，解得x?t,或x?k?t ?Q(k?t,(k?t)2)，而QN?QP，?直线NQ斜率为?1 k?lNQ1?21y?(k?t)??[x?(k?t)]?:y?(k?t)2??[x?(k?t)]，联立方程? kk2?x?y?2整理得：x?11x?(k?t)?(k?t)2?0，即：kx2?x?(k?t)[k(k?t)?1]?0 kkk(k?t)?1，或x?k?t k [kx?k(k?t)?1][x?(k?t)]?0，解得：x??k(k?t)?1[k(k?t)?1]2?N(?,)，?KNM2kk[k(k?t)?1]22(k2?kt?1)2k?? 222k(k?t)?1?t?ktk(t?k?1)??kkk(k?t)?1k而抛物线在点N处切线斜率：k切?y?x????2k(k?t)?2 k22(k?kt?1)?2k(k?t)?2? MN是抛物线的切线，?， ?22kk(t?k?1)? 整理得k2?tk?1?2t2?0 222，或t?，?tmin? ???t2?4(1?2t2)?0，解得t??（舍去） 33343.（2009北京文）（本小题共14分） x2y23已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?。 ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）已知直线x?y?m?0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x?y?5上，求m的值. 22【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． 35 ?a23???3，解得a?1,c?3， 解（Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?22222（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，线段AB的中点为M?x0,y0?， ?2y2?1?x?22 由?得x?2mx?m?2?0（判别式??0）, 2?x?y?m?0?∴x0?x1?x2?m,y0?x0?m?2m, 2∵点M?x0,y0?在圆x2?y2?5上， 2∴m??2m??5，∴m??1. 244.（2009北京理）（本小题共14分） x2y23已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x? ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点 A,B，证明?AOB的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． ?a23???3，解得a?1,c?3， （Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?22222（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上， 22 36 圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??化简得x0x?y0y?2. x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?2222?4?x2?4x0x?8?2x0?0， 由?及x0?y0?2得?3x02?xx?yy?20?02∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2222?43x0?48?2x0?0， ∴3x0?4?0，且??16x0????设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， 24x08?2x0则x1?x2?2， ,x1x2?23x0?43x0?4????????OA?OB∵cos?AOB?????????，且 OA?OB????????1OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?2?2?x0x1??2?x0x2?， y0?x1x2?12??4?2xx?x?x??0120x1x2? 2?2?x02222?x08?2x0??8?2x08x01??4?2? ?2??223x0?42?x0?3x0?43x0?4???228?2x08?2x0??2?2?0. 3x0?43x0?4?∴ ?AOB的大小为90. 【解法2】（Ⅰ）同解法1. （Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上， 22圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?22化简得x0x?y0y?2.由?及x0?y0?2得 2?xx?yy?20?0 37 ?3x20202?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ① 2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ② ?3x2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2∴3x0?4?0，设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， 228?2x02x0?8则x1x2?2， ,y1y2?23x0?43x0?4?????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0，∴ ?AOB的大小为90. 22222（∵x0?y0?2且x0y0?0，∴0?x0?2,0?y0?2，从而当3x0?4?0时，方程①和方程②的判别式 均大于零）. 45.（2009江苏卷）（本题满分10分） 在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。 （1）求抛物线C的标准方程； （2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； （3）设过点M(m,0)(m?0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM， 记D和 E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式。 38 46.(2009山东卷理)（本小题满分14分） x2y2设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N (6,1)两点，O为坐标原点， ab（I）求椭圆E的方程； ????????（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？若 存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N (6,1)两点, ab2?4?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为 611184?b?4???1?????a2b2?b24????????（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB,设该 ?y?kx?m?22解方程组?x2y2得x?2(kx?m)?8,即 ?1??4?8圆的切线方程为 y?k?x(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0, 222222则△=16km?4(1?2k)(2m?8)?8(8k?m?4)?0,即8k?m?4?0 22 39 4km?x?x??12??1?2k2?2?xx?2m?8?121?2k2?, k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?221?2k1?2k1?2k222要使 ????????OA?O,需使x1x2?22m2?8m2?8k2??0,所以3m2?8k2?8?0,所以y1?y20,即221?2k1?2k?m2?283m2?82626222k??0又8k?m?4?0,所以?2,所以m?,即m?或m??,因为直线 3833?3m?8y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为8m2m282622x?y???,r?,,所求的圆为,此时圆的切线y?kx?mr?r?2223m?831?k331?k1?82mx2y2262626??1的两个交都满足m?或m??,而当切线的斜率不存在时切线为x??与椭圆84333????????826262626点为(,?)或(?,?)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?，使得该 33333????????圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB. 4km?x?x??12??1?2k2因为?, 2?xx?2m?812?1?2k2?4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )?4??1?2k21?2k2(1?2k2)222|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4)?(1?k)(x1?x2)?(1?k) 22(1?2k)222324k4?5k2?132k2??4?[1?4], 2234k?4k?134k?4k?1①当k?0时|AB|?321[1?] 1324k?2?4k40
