江苏省泰州中学2016--2017学年度高二第一学期月考试题
数学试卷
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.命题“?x?R,x2?2?0”的否定是_____________．
y2?1的两条渐近线方程为___________． 2.双曲线x?223.抛物线y?12x的焦点坐标是____________． 424.若命题“?x?R，使得x??a?1?x?1?0”为假命题，则实数a的范围__________． 5.已知p:a?4?x?a?4,q:?x?2??x?3??0，若?p是?q的充分条件，则实数a的取值范围是__________．
6.不等式x?3?x?1?a?3a对任意x?R恒成立，则实数a的取值范围是____________． 7.抛物线y?2px?p?0?上的点M?4,y?到焦点F的距离为5，O为坐标原点，则
22OM?___________．
x2y2??1的两个焦点是F1,F2，点P在该椭圆上，若PF1?PF2=2，则?PF1F28.已知椭圆42的面积是____________． 9.若点P是方程?x?5?2?y2??x?5?2?y2?6所表示的曲线上的点，点P又是直线
y?4上的点则点P的横坐标为____________．
x2y26??1，若椭圆C的离心率e?10.已知椭圆C的方程为，则k的所有取值构成9?kk?17的集合为___________．
11.已知函数f?x??4ax?2a?1，若命题：“?x0??0,1?,f?x0??0”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
x2212.在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?y?1?a?1?的右顶点为A，直线y?x与椭圆交
a于B,C两点，若?ABC的面积为
45，则椭圆的离心率为____________． 5- 1 -
x2y213.已知直线y??x?1与椭圆2?2?1?a?b?0?相交于A,B两点，且OA?OB（O为
ab?13?坐标原点），若椭圆的离心率e??,?，则a的最大值为___________．
22???1?1?,x?0,??4x???2????14.设函数f?x???,g?x??asin?x??a?1,a?0工，若存在
?6???x?1,x??1,1?????2??x1,x2??0,1?，使f?x1??g?x2?成立，则实数a的取值范围为____________．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
x2y2x2y2??1表示双曲线，??115.（本小题满分14分）已知命题p:命题q:m?1m?4m?24?m表示椭圆．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围及双曲线的焦距长；
（2）判断命题p为真命题是命题q为真命题的什么条件（请用简要过程说明 是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）．
x2y216.（本小题满分14分）抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆2?2?1?a?b?0?的一
ab个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是M??226??3,3??，求抛物线与椭圆的标准方程． ??217.（本小题满分15分）已知命题：“?x??x|?1?x?1?，使等式x?x?m?0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式取值范围．
18.（本小题满分15分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为87m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长为2.5km，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状．
x?a?2?0的解集为N，若x?N是x?M的必要不充分条件，求实数a的
x?a
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（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使隧道的土方工程量最小？ （注： 1.半个椭圆的面积公式为S??4lh；2.隧道的土方工程量=截面面积?隧道长）
x2?y2?1，直线19.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2l:x??2，过右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C．
（1）求弦长AB的最小值；
（2）在直线AB上任取一点D，当AB的斜率k?1时，求PDPC的值．
x2y2??1，过点P?1,1?作直线l与椭圆交于M,N两点．20.（本小题满分16分）已知椭圆 84（1）若点P平分线段MN，试求直线l的方程；
（2）设与满足（1）中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A,B两点，AP与椭圆交于点C，
BP与椭圆交于点D，求证：CD//AB．
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参考答案
一、填空题
1. ?x?R,x2?2?0 2. y??2x 3．?0,1? 4. ??1,3? 5. ??1,6? 6. ??1,4? 7.
42 8. 2 9. ?32 10. ?2,8? 11. a?二、解答题
1310 12. 13. 14. ?0,2? 222x2y2??1表示双曲线为真命题，则?m?1??m?4??0， 15.解：（1）∵命题p:m?1m?4∴1?m?4，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴双曲线的焦距长为23．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴p是q的必要不充分条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 16.解：由题意可设抛物线方程为y?2px?p?0?，
2?226??26?2∵点M?,在抛物线上，∴， ?2p?????33??3?3????2∴p?2，∴抛物线的标准方程为y?4x．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
2∴抛物线的焦点为F??1,0?，从而椭圆的一个焦点为F??1,0?，∴c?1，．．．．．．．．．．．．．．．8分
?226?x2y2?1，∵点M?∴椭圆方程为2?2?3,3??在椭圆上， aa?1??∴
142422a?a?4，解之得或（舍去）．．．．．．．．．．．．．13分 ??12299a9?a?1?
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x2y2??1．∴椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 4317.解：（1）由题意知，方程x?x?m?0在??1,1?上有解，即m的取值范围就是函数
21??．．．．．．．．．．．．．．5分 y?x2?x在??1,1?上的值域，易得M??m|??m?2?．
4??（2）因为x?N是x?M的必要不充分条件，所以M?N且M?N．．．．．．．．．．．．6分 若M?N，分以下几种情形研究；
①当a?1时，解集N为空集，不满足题意，．…………………7分 ②当a?1时，a?2?a，此时集合N??x|2?a?x?a?，
1?2?a??999?M?Na?a?a?则?解得，且时，，故满足题意，．．．．．．．．．．．．．．．．114444??a?2分
③当a?1时，a?2?a，此时集合N??x|a?x?2?a?，
1?1?a??则?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 4，解得a??．
4??2?a?2综上，a?91或a??时x?N是x?M的必要不充分条件．．．．．．．．．．．．．．15分 4418.解：（1）以车道中点为原点，建立直角坐标系，则P47,4.5，
??b?6???a?16xy2设椭圆的方程为2?2?1，则?47解之得：，．．．．．．．．．．．．5分 ?4.5b2abb?6???2?1b?a22??此时l?2a?32．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
47??（2）由
474.54.522?47?4.5?2?1，可知1??2?， 22ababab??故ab?367，所以S?lh?ab?187?，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
4222??2当且仅当l?814,h?92?6时取等号，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 2
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答：当拱高为92，拱宽为814时，土方工程量最小．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 219.解：（1）①当AB?x轴时，AB?2；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y?k?x?1?,A?x1,y1?,B?x2,y2?，将AB的
2222方程代入椭圆方程，得1?2kx?4kx?2k?1?0，
????则x1,2?2k2?2?1?k2?1?2k22?2k2?k?,C的坐标为?， ,22??1?2k1?2k?2且AB?分
?x2?x1???y2?y1???1?k??x22?x1??222?1?k2?1?2k2．．．．．．．．．．．7?2．综合①、②知，弦长AB的最小值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）若k?1，则C的坐标为??21?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ,??，
33??7??P点的坐标为??2,?，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
3??∴PC?82．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 3∴PDPC?PC?CDPC?PC???2128．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 92222xNyNxMyM??1，①??1，② 20.解：（1）设M?xM,yM?,N?xN,yN?，则84842222xM?xNyM?yN??0，①-②得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 84即
?xM?xN??xM?xN???yM?yN??yM?yN??0，
84又xM?xN?2,yM?yN?2，∴故直线l的方程为y?1??yM?yN1??，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
xM?xN21．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ?x?1?，即x?2y?3?0．
2（2）设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?,D?x4,y4?，且AP??1PC,BP??2PD，
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则有1?x1??1?x3?1?,1?y1??1?y3?1?，即x3?将点A,C的坐标分别代入椭圆方程：
1??1?x1?1,y3?1??1?y2?1，
?1??1?x1???1??1?y1??1x12y12??1，①，② 228?14?184②??12-①得
22?1??1??1??1?2x1???1??1??1??1?2y1???2?1，
8411??1?2x11??1?2y1???1?1，③．．．．．．．．．．．．．．．．10分 841??2?2x21??2?2y2???2?1，④ 同理有
84易知?1?0，故约去1??1得由④-③得
?2??1?2?x1?x2??2??1?2?y1?y2?8?4??2??1，
由已知AB斜率为?2?x1?x2?2?y1?y2?1??0， ，有
284??2??1，即
5．．．．．．．．．16??2??1??0，即?1??2，所以CD//AB．
8得
?2??18??2??14分
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