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模块一 极限（计算）
Ⅰ经典习题
一．四则运算
cosx?x2cosx?11、lim?___
x?0sin(x2)1?2xarctanx?___ 2、limx??1?x3、已知lim[?(?a)ex]?1，则a?x?01x1x.
?1?xt2arctan?1???e?1dtx?0?4、lim
x?0?x?cosxx?sinx??????1x 5、limx?0?1?cosx?ln?1?x?3sinx?x2sin?x2?6、已知lim??ax?b??0，其中a,b是常数，则（）
x??x?1??(A) a?1,b?1 (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1
7、lim4x2?x?1?x?1x?sinx2x????
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8、lim?2x?1?x10?sinxlnx?2?2xx?12x????5x8??
9、limex???x?1xx2?x?1arctan?(x?1)(x?2)?1x2
10、limx?0e1000x1?
11、lim[f(x)?g(x)]存在，lim[f(x)?g(x)]不存在，则正确的是（ ）
x?x0x?x0 （A）limf(x) 不一定存在 (B）limg(x)不一定存在
x?x0x?x0（C）lim[f(x)?g(x)]必不存在 （D）limf(x)不存在
x?x0x?x02212、假设f(x)可导，g(x)有不可导点，则下列函数中一定有不可导点的有 个。
fx（1）e??g?x? （2）f?x?g?x?
（3）sinf?x??g?x? （4）f????x??1?g?x?
2二．洛必达法则
13、求下列极限
?（1）limx?0?x20arctan?1?t2?dtlncosxsinxx?? （2）limx??4tanx?2sinx cosx?lntanx（3）limx?0?0arcsin?ttant?dt?1?cosx?xln??2??lncos?x?1?1?sin （4）limx?0?1?2x00?tanx0ln?1?sin2t?dtcosxarctan4xedt2t2t2?
（5）limx?1?2 （6）
??limx???2
xf(x)在点
?3xedt14、设函数
x?0处有f(0)?0，f'(0)??2，则
?limx?0x0lncos(x?t)dt21?2f(x)?1?______.
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15、设函数f(x)在点x?0处具有连续的二阶导数，f''?0??1试求极限
lim2f?x??f??2x??3f?0?.
x?0x216、设函数f(x)在点x?0处二阶可导，f?0??0,f'?0??f''?0??1.试求极限
f?x??ln?1?x?lim. x?0e2x?1?2x17、设函数f(x)在点x?0处可导，f?0??0,f'?0??2.试求极限
?（1）limx?0x0f?t?dtx2?x?t?f?t?dt?；（2）lim.
?f?t?dt0x?0x20x三．泰勒公式
18、求下列极限
?1cos2arcsin2x?2sinx（1）lim （2）lim??2?2xx?01?cosxx?0x2???e?1??sinx??3??（3）lim?3x?x2ln?1??? （4）limx?0x???x???（5）limx??? ??1?x?1?x?2lncosxe?1?xx22?
arctan3x?sinx?2xsinx?xcosx. （6）limx?0x?0sin3xx?ln?1?x??x?ln?1?x2??2cosx?2sintanx?tanx（7）lim （8）lim
x?0tansinx?sinxx?0?x?tanx?ln?1?x?3x219、当x?0时，e(1?Bx?Cx)?1?Ax是比x高阶无穷小，则（ ）
21121,C? (B)A?,B??,C? 3633621121(C)A?1,B?,C? (D)A?,B?,C??
36336f(x)?2xf(x)?ln(1?2x)lim?（ ） 20、设lim则?4,x?0x?0xx2（A）A?1,B??(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8
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21、设f?x?点x?0处二阶可导，求limx?0f?2x??2f?x??f?0?.
x222、设f?x?三阶可导，且limx?0f?x??1，则下列说法错误的是（ ） 3x(A) f?0??0 (B) f'?0??0 (C) f''?0??0 (D) f'''?0??0 23、设
f?x?二阶可导，f''?x0??0，证明：当h?0时，
3f?x0?h??f?x0?3h??4f?x0?是h2的高阶无穷小.
24、设limx?arctanax?1，求a,b.
x?0ebx?1lncosx??四．幂指函数的处理
25、求下列极限 （1）lim?ntann????1??n?n2?n?1? （2）limn??n?1nnsin1 n
（3）lim?sin?x???21??1?cosx?lim （4）?cos???x?02?xx??1x1x?ln?1?x??arcsinx?x22（5）lim? （6）limx?1?x?x?0arctanxx???????
1x?1?x?（7）limx?01x?e?1xx （8）lime?1 ?x?0??x（9）limx????1?xx?1? （10）lim1xln??2?x?0x3??????cosx??1?
xf(x)?x2f(x)??e?2，求lim3. 26、设函数f(x)在0?|x|?1有定义，且满足lim?cosx??x?0x?0xx??1五．夹逼定理与定积分定义
27、设xn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,则?xn?,?yn?（）
n??中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
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（A）都收敛于a (B) 都收敛，但不一定收敛于a （C）可能收敛，也可能发散 (D) 都发散 28、求下列极限 （1）lim3?xx???5x?x20x1001?21?x ?sinx?cosx? （2）xlim1?1?2?x?1?ex?1?1sin?nn??29、设0?a?b，则lim(a?1?b)?（）
?11?nn（A）a (B)a (C)b (D)b
30、设ak?0(k?1,2,...,r),则limna1?a2?????ar?____
n??nnn31、求下列极限 （1）lim?n???12?n?1?1n2?2??????? 2n?n?1?? ??111（2）lim???????22n??n2?22n2?n2?n?1?n2n3nn2?（3）lim?3?3?3?...?3? n??n?1n?2n?3n?n??111??123n?2?222（4）lim????...?? n??1231?cos2cos2cos2cos?nnnn??（5）limn?n??11??1 ??…?22222?2?nn?n??1?n1n2（6）limlnn(1?)(1?)?(1?) n??2n2nn2六．单调有界收敛定理
32、设a0?0，an?1?ln?1?an?，求liman.
n??33、设0?a0?3，an?1?34、设a1?0，an?1?an?3?an?，求liman.
n??3(1?an)(n?1,2...),求liman?___
n???3?an中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
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Ⅱ参考答案
一．四则运算
1、【答案】：?3 2cosx?x2cosx?1cosx?113?lim?limcosx???1??【解析】：原式?lim
x?0x?0x?0x2x2222、【答案】：? 【解析】：
，
，
3、【答案】：. 【解析】：
.
4、【答案】：
.
，
【解析】：
5、【答案】：
.
【解析】：
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6、【答案】：(C) 【解析】：由
得：
，所以此时必有：
，
7、原式
，故
8、【答案】：. 【解析】：9、【答案】：. 【解析】：10、【答案】：.
【解析】：11、【答案】：（D） 【解析】：若 从而应得
存在，必得
.
存在，
存在，这与已知矛盾，故A、B不正确.
对于（C），只需取反例说明即可 例
存在，
不存在
但
12、【答案】：.
是存在的，故（C）必不正确.
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【解析】：（1）（3）（4）有不可导点.
二．洛必达法则
13、（1）【解析】：（2）【解析】：（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：原式（6）【解析】：原式14、【答案】：0 【解析】： 由
，
知，
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于是当
时，
.
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故15、【解析】： 16、【解析】： 17、（1）【解析】：
（2）【解析】：三．泰勒公式
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.
.
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18、（1）【解析】：（2）【解析】：原式
（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：
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（6）【解析】： （7）【解析】：（8）【解析】：
19、【答案】： (B) 【解析】：利用泰勒公式
由题设中公考研，让考研变得简单！
故
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20、【答案】： (C) 【解析】：利用泰勒公式
代入可得从而有，可知21、【解析】：由泰勒公式得
代入可得
22、【答案】： (D) 【解析】：利用泰勒公式
从而有
23、【解析】：由泰勒公式得
从而
24、【解析】：
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，也即.
(D).
(C).
，可知
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，故选，故选 点这里，看更多数学资料
可知.
四．幂指函数的处理
25、（1）【解析】：原式化为函数的极限问题，考虑极限=（2）【解析】：
（3）【解析】：令，则
故.
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，在此数列的极限可以转
，所以原式
.
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（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：故，
（7）【解析】：（8）【解析】：
（9）【解析】：
（10）【解析】：
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，
.
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26、【解析】：
由极限存在与无穷小量的关系知，上式可改写为
.
，
其中满足.由此解出 从而 五．夹逼定理
27、【答案】：（A） 【解析】：由
得
，因此
，由此得
28、（1）【解析】：.
（2）【解析】：，29、【答案】：(B) 【解析】：
，按极限的夹逼定理得中公考研，让考研变得简单！
.
.
又由
及夹逼定理得 ，故应选（A）
，有界，故
有界，故.
，由于
且
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30、【答案】： 【解析】：令
，则
故当，利用夹逼定理可得31、（1）【解析】：由于再由，则原式（2）【解析】：（3）【解析】：。
可知（4）【解析】：。
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，
，。
，
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，。
可知。
（5）【解析】：
（6）【解析】：
六．单调有界收敛定理
32、【解析】：易证令
，可得
，同时
，从而有
，同时
，可知
单调有界。
，可知。
单调有界。
33、【解析】：易证
令
34、【解析】：
，可得，从而有。 ，
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