《期末备考 综合测试二》（B卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|3x?1}，则 A．AC．AB?{x|x?0}
B?{x|x?1}
B．AB?R
D．AB??
【答案】A 【解析】
由3x?1可得3x?30，则x?0，即B?{x|x?0}，所以
AB?{x|x?1}{x|x?0}?{x|x?0}，AB?{x|x?1}{x|x?0}?{x|x?1}，故选A.
2. 【2017课标1，理5】函数f(x)在(??,??)单调递减，且为奇函数．若f(1)??1，则满足
?1?f(x?2)?1的x的取值范围是（ ）
A．[?2,2] 【答案】D
B．[?1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
3.平面向量a与b的夹角为60°，a??2,0?,b?1，则a?2b等于（ ） A．22 B．23 C．12 D．10 【答案】B
【解析】a?2b?(a?2b)?a?4ab?4b?12?23，故选B. 4.将函数y?sin(2x?A.x??22?6)图象向左平移?4个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ）
?12 B.x??6 C.x??3 D.x??12
【答案】D
【解析】函数y?sin(2x??6)图象向左平移?4个单位后得y?sin(2x??3)?对称轴为
2x??3??2?k??x??12?k?,k??，故选D. 25.已知函数f?x??Asin??x???（其中A?0,??0,???）的部分图象如图所示，则f?x?的解析
2式为（ ）
A．f?x??2sin?????x?3?? B．f?x??2sin?????2x?6?? C．f?x??2sin?????2x?6?? D．f?x??2sin???4x???6?? 【答案】B
【解析】由图象可知A=2，3T?11?12??6?34??T??,??2，代入点????4?6,2??得sin???2???????6?????1???6?f?x??2sin??2x?6??
.6.已知向量a与b满足|a|?|b|?2，且b??2a?b?，则向量a与b的夹角为（ ）
A. ?6 B. ?3 C. 2?5?3 D. 6
【答案】C
【解析】
b??2a?b?得b??2a?b??0，即2a?b?b2?0，解得cos???，向量a与b的夹角为
122?，故选C. 37.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝（ ）
1111AB?AD B.AB?AD 23421112C.AB?AD C.AB?AD 3223A.【答案】D
8.【2018河南省洛阳市高三期中】向量a,b均为非零向量， a?2b?a,b?2a?b，则a,b的夹角为（ ） A.
??????25 B. C. ? D. ? 3236【答案】A
22a?0?a?2a?b，b?0?b?2a?b，【解析】a?2b? b?2a?所以a?b，即a?b，设a,b??2??2a2a·b1?的夹角为?， cos???22?，又???0,??，所以a,b的夹角为，故选A.
32aba9.已知定义在R 上的函数f?x??2x?m?1 （m为实数）为偶函数，记
a?f(log0.53),b?f?log25?,c?f?2m? ，则a,b,c 的大小关系为( )
（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a 【答案】C
【解析】因为函数f?x??2x?m?1为偶函数，所以m?0，即f?x??2?1，所以
x1log21??a?f(log0.53)?f?log2??23?1?2log23?1?3?1?2,
3??b?f?log25??2log25?1?4,c?f?2m??f(0)?20?1?0
所以c?a?b，故选C.
10. 存在函数f(x)满足，对任意x?R都有（ ）
2A. f(sin2x)?sinx B. f(sin2x)?x2?x C. f(x?1)?x?1 D.
f(x2?2x)?x?1
【答案】D.
11.【2017山东，理10】已知当x??0,1?时，函数y??mx?1?的图象与y?2x?m的图象有且只有一
个交点，则正实数m的取值范围是 （A）?0,1??23,?? （B）?0,1?????3,??? ?3,???
（C）0,2?【答案】B
??23,?? （D）0,2?????【解析】题分析：当0?m?1时，
1?1 ，y?(mx?1)2 单调递减，且y?(mx?1)2?[(m?1)2,1]，m1y?x?m单调递增，且y?x?m?[m,1?m] ，此时有且仅有一个交点；当m?1时，0??1 ，
m1
y?(mx?1)2在[,1] 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m?1)2?1?m?m?3 选B.
m
??2?x,x?2,12. 已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R，若函数2???x?2?,x?2,y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则b的取值范围是( )
（A）?7??7??7???7?,??? （B）???,? （C）?0,? （D）?,2?
4??4??4???4?【答案】D
???2?2?x,x?0?2?x,x?2,【解析】由f?x???得f(2?x)??， 22x?0??x,???x?2?,x?2,?2?x?x2,x?0?所以y?f(x)?f(2?x)??4?x?2?x,0?x?2，
?22?2?x?(x?2),x?2??x2?x?2,x?0?0?x?2 即y?f(x)?f(2?x)??2,?x2?5x?8,x?2?y?f(x)?g(x)?f(x)?f(2?x)?b,所以y?f?x??g?x?恰有4个零点等价于方程
f(x)?f(2?x)?b?0有4个不同的解，即函数y?b与函数y?f(x)?f(2?x)的图象的4个公共
点，由图象可知
7?b?2. 4864215105246851015 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 设函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,??2????2,x?R)的部分图象如图所示.则
A????=
y 2 O ?3 5?6 x
【答案】3??6
14.【2018届浙江省温州市9月一模】设向量，，且最小值是__________． 【答案】 9 1 【解析】设
的夹角为，由
，化简得
大值是 ，最小值是 ，故答案为
.
，可得
，可得
，即
的最
，
，则
的最大值是__________；
??x?6,x?2,15.若函数f?x??? （a?0 且a?1 ）的值域是?4,??? ，则实数a 的取值范围
?3?logax,x?2,是 ． 【答案】(1,2]
【解析】当x?2，故?x?6?4，要使得函数f(x)的值域为?4,???，只需f1(x)?3?logax（x?2）的值域包含于?4,???，故a?1，所以f1(x)?3?loga2，所以3?loga2?4，解得1?a?2，所以实数a的取值范围是(1,2]．
?2x?a?x?1??16.设函数f?x???
4x?ax?2a?x≥1.??????①若a?1，则f?x?的最小值为
；
②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是
．
【答案】(1)1，(2)
1?a?1或a?2. 2?2x?1?x?1??【解析】①a?1时，f?x???，函数f(x)在(??,1)上为增函数，函数值大于
4x?1x?2?x≥1.??????1，在[1,]为减函数，在[,??)为增函数，当x?x32323时，f(x)取得最小值为1； 2（2）①若函数g(x)?2?a在x?1时与x轴有一个交点，则a?0，并且当x?1时，
g(1)?2?a
>0，则0?a?2，函数h(x)?4(x?a)(x?2a)与x轴有一个交点，所以
2a?1且a?1?x1?a?1； 2②若函数g(x)?2?a与x轴有无交点，则函数h(x)?4(x?a)(x?2a)与x轴有两个交点，当
a?0时g(x)与x轴有无交点，h(x)?4(x?a)(x?2a)在x?1与x轴有无交点，不合题意；
当h(1)?2?a?0时，a?2，h(x)与x轴有两个交点，x?a和x?2a，由于a?2，两交
点横坐标均满足x?1；综上所述a的取值范围
1?a?1或a?2. 2三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）【2018届江西省六校高三上第五次联考】已知向量a,b满足a?3， b?1， a与
b的夹角为
?. 3(1)求a?3b；
(2)若向量a?2b与ta?2b垂直，求实数t的值. 【答案】(Ⅰ) 33；(Ⅱ) ?7. 12【解析】试题分析：（1）由平面向量的性质知|a?3b|＝ b?1， a与b的夹角为a?3，
?a?3b?2＝a2?6a?b?9b2，再由向量
?，利用向量的数量积公式能够求出结果；（2）由向量a?2b与ta?2b3垂直，知(a?2b)·(ta?2b)＝0，由此利用平面向量的数量积能够求出结果.
18．（本小题12分）【2018届北京市海淀区上期中】已知函数f?x??22cosxsin?x???????1． 4?（Ⅰ）求f?????的值； ?4????上的最大值和最小值． ?2??（Ⅱ）求f?x?在区间?0,【答案】(1)1（2）x??8时， f?x?有最大值2， x??2时， f?x?有最小值?1
【解析】试题分析：（Ⅰ）直接将x??4 代入函数解析式可得f???????22cossin?1 ?442???22?出2x?2???（Ⅱ）根据两角和的正弦公式及二倍角公式可得f?x??2sin?2x??，求?1?1 ?1；
24??的范围，结合正弦函数的单调性求解即可.
?4试题解析：（Ⅰ）因为 f???????22cossin?1 ?442???22?2?1?1 ?1 2??（Ⅱ）f?x??22cosxsin?x?????1 4??2?2?22cosx??sinx+cosx?1 ??2?2???2sinxcosx?2cos2x?1
?sin2x?cos2x
????2sin?2x?? 4??因为0?x??2， 所以?4?2x??4?5? 4所以 ?当2x?2???????sin?2x???1 故 ?1?2sin?2x???2 4?24?????4?28?5??,即x?时， f?x?有最小值?1 当2x??44219．（本小题12分）已知函数f(x)?,即x??时， f?x?有最大值2 a?b?1，其中向量a?(3,2sin?x2)，
b?(sin?x,?sin（1） 求?的值；
?x2)，??0，且f(x)的最小正周期为?．
（2） 求f(x)的最小值，并求出相应的x的取值集合；
（3） 将f(x)的图象向左平移?个单位，所得图象关于点(?,0)对称，求?的最小正值. 3【答案】（1）?=2；（2）f(x)最小值为-2，x的取值集合为{x【解析】
x???3?k?,k?Z}；（3）
?. 12
（2）因为f(x)?2sin(2x??6)，所以f(x)最小值为-2，此时满足2x??6???2?2k?,
则x???3?k?,k?Z,
因此x的取值集合为{xx???3?k?,k?Z} ……8分
（3）f(x??)?2sin(2(x??)??3?6)?2sin(2x?2???6)，
由题意得2??2???6?k?，??k?2?5?,k?Z， 12所以?得最小值
?. ……12分 1220.（本小题12分）定义在R上函数f(x)，且f(x)?f(?x)?0，当x?0时，
11f(x)?()x?8?()x?1．
42（1）求f(x)的解析式；
（2）当x??1,3?时，求f(x)的最大值和最小值．
1x?1x()?8?()?1?42?0【答案】（1）f(x)????4x?8?2x?1??【解析】
x?0x?0；（2）f(x)max?17，f(x)min?1． x?0（1）f(x)?f(?x)?0，则函数f(x)是奇函数 则f(0)?0．
?x?x当x?0时，?x?0，则f(?x)?()?8?()?1
14121?1?f(x)??f(?x)???()?x?8?()?x?1???4x?8?2x?1
2?4?1x?1x()?8?()?1?42?f(x)??0所以
??4x?8?2x?1??xx?0x?0x?0．
（2）令t?2，则t??2,8?，y??t?8t?1 t??2,8?2
对称轴为t?4??2,8?
当t?4，即x?2，f(x)max??16?32?1?17
当t?8，即x?3，f(x)min??64?64?1?1.
21.（本小题12分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB?1,BC?2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN?BC.
（1）设?MOD?300，求三角形铁皮PMN的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值. 【答案】（1）【解析】
（1）设MN交AD于Q点，∵?MOQ?300，∴MQ?6?333?22；（2）. 8413， ,OQ?22S?PMN?11336?33. MN?AQ???(1?)?22228
22.（本小题12分）若函数y?f(x)对任意的x,y?R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).当x?0时，恒有
f(x)?0.
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
（2）判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论； （3）若f(2)?1，解不等式f(?x2)?2f(x)?4?0.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在(??,??)是减函数，证明见解析；（3）{x|?2?x?4}. 【解析】
（1）令x?y?0，可知f(0?0)?f(0)?f(0)，解得f(0)?0
又0?f(0)?f(?x?x)?f(?x)?f(x)，移项，f(?x)=?f(x)，所以f(x)为奇函数； （2）设x1,x2?R，且x1?x2，则x2?x1?0，由已知条件知f(x2?x1)?0，从而
即f(x2)?f(x1)，对照定义知：f(x)为(??,??)上f(x2?x1)?f(x2)?f(?x1)?f(x2)?f(x1)?0，的减函数；
（3）由已知条件知f(?x2)?2f(x)?4?f(?x2)?2f(x)?4f(2)?f(?x2?2x?8)，又f(0)?0，所以原不等式f(?x2)?2f(x)?4?0可化为f(?x2?2x?8)?f(0)，又因为f(x)为(??,??)上的减
2函数，所以?x?2x?8?0，解得?2?x?4，即原不等式的解集为：{x|?2?x?4}.
