专题23 圆的有关位置关系
?解读考点 知 识 点 名师点晴 理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d 【2015年题组】 1．（2015贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B． 考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹． 2．（2015湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选B． 考点：点与圆的位置关系． 3．（2015泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ） A．65° B．130° C．50° D．100° 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C． 考点：切线的性质． 4．（2015宜昌）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ） A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形 C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2 【答案】C． 考点：1．切线的性质；2．正方形的判定与性质；3．弧长的计算；4．扇形面积的计算；5．应用题；6．综合题． 5．（2015襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ） A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 【答案】C． 【解析】 试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C． 考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论． 6．（2015齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ） A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 【答案】A． 考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理． 7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y?kx?43与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l 相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A． 【解析】 43）试题分析：∵直线l：y?kx?43与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，，∴OB=43， 在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=3?43=12，∵⊙P与l相切，设切点为 1M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=2PA，设P（x，0），∴PA=12﹣x，∴⊙P的半径116?x2，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，共6个数，PM=2PA= ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A． 考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综 合题． 8．（2015贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长 1线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：①AD=DC；②AB=BD；③AB=2BC；④BD=CD， 其中正确的个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B． 故选B． 考点：切线的性质． 9．（2015南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ） 139413323A． B． C． D．25 【答案】A． 考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．综合题． 10．（2015天水）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是 ． 【答案】2或8． 【解析】 试题分析：若两圆内切，圆心距为5﹣3=2；若两圆外切，圆心距为5+3=8，故答案为：2或8． 考点：1．圆与圆的位置关系；2．分类讨论??． 11．（2015上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于 ．（只需写出一个符合要求的数） 【答案】14（答案不唯一）． 考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型． 12．（2015盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ． 【答案】3＜r＜5． 【解析】 试题分析：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD=3?4=5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5． 考点：点与圆的位置关系． 13．（2015上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于 ．（只需写出一个符合要求的数） 【答案】14（答案不唯一）． 【解析】 22试题分析：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）． 考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型． 14．（2015义乌）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为 ． 【答案】3或73． 考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理；4．分类讨论． 15．（2015徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °． 【答案】125． 【解析】 1试题分析：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=2∠COD=35°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，故答案为：125． 考点：切线的性质． 16．（2015镇江）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=2?1，则∠ACD= °． 【答案】112.5． 考点：切线的性质． 17．（2015贵阳）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是 ． 43【答案】3． 考点：1．切线的性质；2．轨迹；3．应用题；4．综合题． 18．（2015泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ． 【答案】50°． 【解析】 试题分析：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AC?AD，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°， 故答案为：50°． 考点：切线的性质． 19．（2015鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=2，连接PB，则PB= ． 【答案】1或5． 考点：1．切线的性质；2．分类讨论；3．综合题． 20．（2015广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心． 其中正确结论是________ （只需填写序号）． 【答案】②③． 则正确的选项序号有②③．故答案为：②③． 考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题． 21．（2015荆州）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上， y?AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数的图象经过圆心P，则k= ． kx（k?0） 【答案】﹣5． 考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数图象上点的坐标特征；4．综合题；5．压轴题． 22．（2015杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”． 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长． 2 【答案】23． 【解析】 考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．新定义． 23．（2015北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 10【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）如图，连接OE，证明OE⊥PE即可得出PE是⊙O的切线； （2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，进而得到∠3=∠4，结合已知条件证得结论； （3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理求出EF的长，进而求得BE，CF的长，在RT△AEB中，根据勾股定理求出AE的长，然后根据△AEB∽△EFP，求出PF的长，即可求得PD的长． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质；3．圆的综合题；4．压轴题． 24．（2015南宁）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线． OF2?（2）若FD3，求∠E的度数． （3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=3，求AD的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）30°；（3）13． 【解析】 试题解析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴AC?CG，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线； OCOF2??BDDF3，∴（2）∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴ OCOE21??BDBE3，∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=2OE，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°； 1（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°，∴∠EBD=60°，∴∠CBD=2∠EBD=30°，1∵CD=3，∴BD=3，DE=33，BE=6，∴AE=3BE=2，∴AH=1，∴EH=3，∴DH=23， 22221?(23)AH?DH在Rt△DAH中，AD===13． 考点：1．圆的综合题；2．切线的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题． 25．（2015桂林）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点． （1）如图1，求⊙O的半径； （2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度； （3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN． 【答案】（1）22；（2）25；（3）证明见试题解析． （2）如图1，连接EO，OP，∵点E是BC的中点，∴OE⊥BC，∠OCE=45°，则∠E0P=90°， 22OE?OP2∴EO=EC=2，OP=CO=4，∴PE==25； （3）如图2，在AB上截取BF=BM，∵AB=BC，BF=BM，∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°， ∵∠AMN=90°，∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，∴∠FAM=∠NMC，∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，∴∠DCP=45°，∴∠MCN=135°，∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM和△CMN中，∵∠FAM=∠CMN，AF=MC，∠AFM=∠MCN，∴△AFM≌△CMN（ASA），∴AM=MN． 考点：1．圆的综合题；2．切线的性质；3．正方形的判定与性质；4．全等三角形的判定与性质； 5．压轴题． 1y??(x2?7x?6)226．（2015柳州）如图，已知抛物线的顶点坐标为M，与x轴相交于 A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C． 2y?a(x?h)?k（a?0）（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：，并指出顶点M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标； （3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线． 172572575y??(x?)2??228，M（2，8）【答案】（1）；（2）35，（2，4）；（3）证明 见试题解析． 11725y??(x2?7x?6)?(x?)2?228，∴抛物线的解析式化为顶点式试题解析：（1）∵=21725725y??(x?)2?228，顶点M的坐标是（2，8）为：； 11y??(x2?7x?6)?(x2?7x?6)?02（2）∵，∴当y=0时，2，解得x=1或6，∴A（1， 70），B（6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．连接BC，则BC与对称轴x=2的交点 为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为 BC= 62?32=35．设直线 BC的解析式为 考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．切线的判定；4．压轴题． 【2014年题组】 1．（2014·扬州）如图，圆与圆的位置关系没有（ ） A．相交 B． 相切 C．内含 D．外离[ 【答案】A． 考点：圆与圆的位置关系． 2．（2014· 山东省淄博市）如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上 5的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为2，CD=4，则弦EF的长为（ ） A． 4 B． 25 C． 5 D． 6 【答案】B． 【解析】 试题分析：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点A， 115∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH=2CD=2×4=2，∵⊙O的半径为2，5∴OA=OC=2，∴OH= ∴AC= OC2?CH2?3532，∴AH=OA+OH=2+2=4， AH2?CH2?25．∵∠CDE=∠ADF，∴CE?AF，∴EF?AC， ∴EF=AC=25．故选B． 考点：切线的性质． 3．（2014·四川省广安市）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A． 3次 B．4次 C．5次 【答案】B． D．6次 考点：直线与圆的位置关系． 4．（2014·泸州）如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm， O1O2?8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时 刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ） A．外切 B．相交 C．内含 D．内切 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵O1O2=8cm，⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动， ∴7s后两圆的圆心距为：1cm． 根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）． 因此，∵⊙O1 考点：直线与圆的位置关系． 归纳 3：圆和圆的位置关系 基础知识归纳： 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种． 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种． 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交． 基本方法归纳：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离 d>R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r 【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（ ） A． 12 B． 8 C． 5 D． 3 【答案】D． 【解析】 试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3． 故选D． 考点：圆与圆的位置关系． ?1年模拟 1．（2015届广东省湛江第二中学校级模拟）已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离PO=1，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 【答案】C． 考点：直线与圆的位置关系． 2．（2015届江苏省盐城校级模拟）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙ A的半径为2，下列说 法中不正确的是（ ） A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 【答案】A． 【解析】 试题分析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上； 当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内； 当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外． 由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误． 故选A． 考点：点与圆的位置关系． 3．（2015届四川省广安市校级模拟）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是 【答案】76°． 考点：1三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理；3．切线的性质． 4．（2015届湖南省长沙麓山国际等四校联考）Rt?ABC中，?C?90,AC?6,BC?8．则 ?ABC的内切圆半径r?______． 【答案】2． 【解析】 试题分析：利用面积分割法可得出直角三角形内切圆的半径r与三角形的三边之间的关系为： r?aba?b?c 其中：a，b是直角三角形的两条直角边，c是直角三角形的斜边 由勾股定理可求出斜边AB=10 r?所以内切圆半径 6?8?26?8?10 考点：直角三角形的内切圆和内心． 5．（2015届北京市怀柔区一模）已知两圆的半径分别为2cm和4cm，它们的圆心距为6cm，则这两个圆的位置关系是 ． 【答案】外切． 【解析】 试题分析：圆心距6=两个半径之和，所以这两个圆相外切． 考点：圆有关的位置关系． 6．（2015届河南省三门峡市一模）两圆的圆心距d=6，两圆的半径长分别是方程 x2?7x?12?0的两根，则这两个圆的位置关系是 ． 【答案】内切． 考点：1．圆与圆的位置关系；2．解一元二次方程-因式分解法． 7．（2015届江西省南昌市一模）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=2n，则图中阴影部分的面积是（ ）． A．n2π B.2n2π C.4n2π D.8n2π 【答案】A． 【解析】 试题分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB． 11∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=2AB=2×2n=n ∵圆环（阴影）的面积=π?OB2-π?OC2=π（OB2-OC2） 又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2 ∴圆环（阴影）的面积=π?OB2-π?OC2=π（OB2-OC2）=π?BC2=n2π． 故选A． 考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质． 8．（2015届四川中江县校级模拟）如图所示，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为；图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为；…．依此规律，当正方形边长为2时， = ____________． 【答案】10100π． 考点：1．相切两圆的性质；2．规律型：图形的变化类． 9．（2015届山东省滕州市校级模拟）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA＝6，则PB＝ ． 【答案】6． 【解析】 试题分析：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点，∴PA=PB，即PB=6． 考点：切线长定理． 10．（2015届江苏省如皋市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 度． 【答案】40°． 考点：1．切线的性质；2．圆周角定理．
