注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ?棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
?特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（3）（各个侧面的等腰三角形不
A知是否全等） baii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. c简证：AB⊥CD，AC⊥BD? BC⊥AD. 令AB?a,AD?c,AC?b
BCDEF得BC?AC?AB?b?a,AD?c?BC?AD?bc?ac，已知a?c?b?0,b?a?c?0
A????DO'HBGC?ac?bc?0则BC?AD?0.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点O'，则oo??AC,BO??AC?AC?平面OO?B?AC?BO??FGH?90°易知EFGH为平行四边形?EFGH为长方形.若对角线等，则EF?FG?EFGH为正方形. 3. 球：?球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S?4?R2.
4O②球的体积公式：V??R3. r3?纬度、经度：
①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度. 附：①圆柱体积：V??r2h（r为半径，h为高）
1②圆锥体积：V??r2h（r为半径，h为高）
3③锥形体积：V?
4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h?32326a，S侧?a a，S底?3441Sh（S为底面积，h为高） 3RO 第 46 页 共 149 页
得
326321322426a?a?a?R??a?R?R?a/3?a?3?a. 43434434411V??S?R?3?S底?R?S底?h 注：球内切于四面体：B?ACD侧33②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（3） [当b?0时，不成立] ②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（3） [可能异面]
③若a∥b，则存在小任一实数?，使a??b.（3）[与b?0不成立] ④若a为非零向量，则0?a?0.（√）[这里用到?b(b?0)之积仍为向量]
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b?0)，a ∥b的充要条件是存在实数?（具有唯一性），使a??b.
（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?内，则a与?的关系是平行，记作a∥?.
（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使P?xa?yb.
②空间任一点、B、C，则OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是PABC四点共面的充要．．．O．和不共线三点．．．．．．A．．．．．条件.（简证：OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?P、A、B、C四点共面） 注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组．．．．a,b,c不共面．．．x、y、z，使p?xa?yb?zc.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使
OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含x+y+z≠1).
A注：设四面体ABCD的三条棱，AB?b,AC?c,AD?d,其
BM1中Q是△BCD的重心，则向量AQ?(a?b?c)用AQ?AM?MQ即证. 3GCD3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则
第 47 页 共 149 页
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3
a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a1a2a3 a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 ??b1b2b3a?a?a?a12?a22?a3????a?bcos?a,b?????|a|?|b|2(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2?a?a?a?a?a)
a1b1?a2b2?a3b32a12?a22?a3?b122?b22?b3
②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|. ②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即证毕，若
?,?不存在，则直线AB与平面相交）.
An▲BB??CA▲n1CDEn2??
II. 竞赛知识要点
一、四面体.
1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质： ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.
2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内
2
切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.
3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体
第 48 页 共 149 页
拼补成一个长方体.
（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，内B接球半径为r，高为h），则有
1b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2??①等腰四面体的体积可表示为V?； 3222AODC②等腰四面体的外接球半径可表示为R?24a2?b2?c2；
23a2?b2?c2；
③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为m?④h = 4r.
二、空间正余弦定理.
空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
立体几何知识要点
一、知识提纲
（一）空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ?三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ?斜二测画法． ⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线． ?公理四（平行线的传递性）．等角定理． ?异面直线的判定：判定定理、反证法． ?异面直线所成的角：定义（求法）、范围．
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直
?直线和平面垂直：定义、判定定理． ?三垂线定理及逆定理． 5.平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离
7.直线和平面所成的角与二面角
?平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角．
?二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8.距离
?点到平面的距离．
?直线到与它平行平面的距离．
?两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ?异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．
第 49 页 共 149 页
（四）简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 ?多面体．
?棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．
?平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．
?棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质． ?直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10.多面体欧拉定理的发现 ?简单多面体的欧拉公式． ?正多面体． 11.球
?球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ?球的体积公式和表面积公式． 二、常用结论、方法和公式
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE ? M，BF? N,∠EAB=?1,∠ABF=?2，异面直线AE与BF所成的角为?，则cos??cos?1cos?2;
3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是?1，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成?2，设∠ABC=?3,则cos?1cos?2=cos?3；
BDAA1C?4.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
6.二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos?,其中?为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 7.空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行
第 50 页 共 149 页
高中数学第一章-集合
榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com 考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （3）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（3）（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
第 1 页 共 149 页
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R
?二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ??x?y?3 解的集合{(2，1)}.
2x?3y?1?②点集与数集的交集是?. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =?）
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5. ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②x?1且y?2， x?y?3. 解：逆否：x + y =3
?x?1且y?2x = 1或y = 2.
x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2的既不是充分，又不是必要条件.
?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若x?5，?x?5或x?2. 4. 集合运算：交、并、补.
交：A?B?{x|x?A,且x?B}并：A?B?{x|x?A或x?B} 补：CUA?{x?U,且x?A}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：
A?A,??A,A?U,CUA?U,A?B,B?C?A?C;A?B?A,A?B?B;A?B?A,A?B?B.
（2） 等价关系：A?B?A?B?A?A?B?B?CUA?B?U （3） 集合的运算律：
交换律：A?B?B?A;A?B?B?A.
结合律:(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C) 分配律:.A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 0-1律：??A??,??A?A,U?A?A,U?A?U 等幂律：A?A?A,A?A?A.
求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ?CUU=φ ?CUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
第 2 页 共 149 页
基本公式：
(1)card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B)(2)card(A?B?C)?card(A)?card(B)?card(C)?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C)(3) card(?UA)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x1x2x3xm-3-xm-2xm-1+-xm+x
（自右向左正负相间） 则不等式a0x?a1xnn?1?a2xn?2???an?0(?0)(a0?0)的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论. ??0 ??0 二次函数 ??0 y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax?bx?c?02?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) b x1?x2??2a?b?xx???? 2a?? ? ?xx?x或x?x? 12 R ? ?xx1?x?x2?
2.分式不等式的解法
第 3 页 共 149 页
（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法
f(x)f(x)f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0???g(x)?0?g(x)g(x)（1）公式法：ax?b?c,与ax?b?c(c?0)型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布
2
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
互逆原命题逆命题（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； 若p则q若q则p互否（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其为逆互互他情况时为假； 否否逆为（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其否互逆否命题否命题他情况时为真．
若┐q则┐p若┐p则┐q互逆
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p?q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p?q且q?p,则称p是q的充要条件，记为p?q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理?)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
第 4 页 共 149 页
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02.
一、本章知识网络结构：
定义F:A?B反函数映射函数具体函数一般研究图像 性质 二次函数指数指数函数对数对数函数函数 知识要点
二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数
y?f(x)(x?A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=?(y).
若对于y在C中的任何一个值，通过x=?(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=?(y) (y?C)叫做函数函数，记作xy?f(x)(x?A)的反
?f?1(y),习惯上改写成y?f?1(x)
第 5 页 共 149 页
焦距 离心率 准线 2c （c=a?b） 222c （c=a?b） 22 e=1 e?c(0?e?1) ae?c(e?1) aa2x=? c a2x=? cy=±x?? p 2渐近线 焦半径 通径 bx ar?a?ex 2b2 aa2 cr??(ex?a) 2b2 aa2 cr?x? 2p P p 2焦参数 1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.
高中数学第九章-立体几何
考试内容
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离． 直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 考试要求
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．
（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理． （5）会用反证法证明简单的问题．
第 41 页 共 149 页
（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． （9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式． 9（B）．直线、平面、简单几何体 考试内容：
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影． 平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 考试要求：
（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．
（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．
（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念． （9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图． （11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式． （考生可在9（A）和9（B）中任选其一）
§09. 立体几何 知识要点
一、
平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向） 二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
第 42 页 共 149 页
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（3）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面?，b与?的关系是相交、平行、在平面?内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（3）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（3）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和．．斜线段）
⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若a?b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围???0?,180??） （直线与直线所成角???0?,90??）
1 2 1 （斜线与平面成角???0?,90??）
2 （直线与平面所成角???0?,90??）
方向相同方向不相同（向量与向量所成角??[0?,180?])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点P，过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，但与l1,l2距离相等的点在同一平面内. （L1或L2在这个做出的平面内不能叫L1与L2平行的平面） 三、
直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a与平面?内一条直线平行，则a∥?. （3）（平面外一条直线） ②直线a与平面?内一条直线相交，则a与平面?相交. （3）（平面外一条直线）
③若直线a与平面?平行，则?内必存在无数条直线与a平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （3）（可能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（3）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行.（3）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l与平面?、?所成角相等，则?∥?.（3）（?、?可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点
P有且只有一个平面和一条直线垂直.
? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理）， aO得不出?⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立.
A直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
第 43 页 共 149 页
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（3）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行） ．．．．．．．．．②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ?垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线．．段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（3）]
?射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面（.“线面垂直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个
P平面.
?推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. ?BMA证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2，
O因为PM??,OA??,PM??,OB??则PM?OA,PM?OB. θ6. 两异面直线任意两点间的距离公式：l?m2?n2?d2?2mncos?（?为锐角取加，?为钝取减，综上，
???都取加则必有???0,?）
2??7. ?最小角定理：cos??cos?1cos?2（?1为最小角，如图）
?最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
图1简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱.
θθ1θ2图21. 棱柱.
?①直棱柱侧面积：S?Ch（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：S?C1l（C1是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
?{四棱柱}?{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}. {直四棱柱}?{平行六面体}={直平行六面体}.
第 44 页 共 149 页
四棱柱底面是侧棱垂直底面是平行六面体直平行六面体底面矩形平行四边形长方体底面是正方形正四棱柱侧面与正方体底面边长相等
?棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面．．．．．．．．都是全等的矩形. ．．．．．
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ．．③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （3） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. ?平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. ．．．．．．．．．．．．．[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为?,?,?，则cos2??cos2??cos2??1. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为?,?,?，则cos2??cos2??cos2??2. [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（3）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（3）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） ．
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（3）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱?Sh?3V棱柱.
?①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：S?1Ch'（底面周长为C，斜高为h'） 2S底cos?（侧面与底面成的二面角为?）
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧?附： c 以知c⊥l，cos??a?b，?为二面角a?l?b.
a 则S1?lb11a?l①，S2?l?b②，cos??a?b③ ?①②③得22S侧?S底cos?.
第 45 页 共 149 页
○2
?f(x)?0?f(x)?0 ○3f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式
af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)
af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ○
g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?
g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?
注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?1124 ?2x(1?x)(1?x)?()3?2232722x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?2232792类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2
22xxx 第 31 页 共 149 页
高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
（3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0????180?(0????). 注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：xy??1. ab注：若y??222x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??x?2，但若y??x?2(x?0)则不是这条333线.
附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行：
l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2）
推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2.
?两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂
第 32 页 共 149 页
直的充要条件） 4. 直线的交角：
?直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?，它的范围是(0,?)，当??90?时tan??k2?k1.
1?k1k2?两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正
k2?k1????角?，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是?，当，则有. 0,tan????90?2?1?k1k2???l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?为参数，
l:Ax?By?C?022?225. 过两直线?A2x?B2y?C2?0不包括在内）
6. 点到直线的距离：
?点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?注：
1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.
特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|?Ax0?By0?CA?B22.
x2?y2 ????????2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段P1P2所成的比为?即P1P??PP,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 2x1??x2y??y2 ,y?11??1??特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan?
x?4. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k?当x1y2?y1.
x2?x1(x1?x2)
?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率 王新敞
?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它们之间的距离为d，则有d?C1?C2A?B22.
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
第 33 页 共 149 页
?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（y??x?b）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程. 1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)?0的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)?0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反过来，满足方程f(x,y)?0的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2.
注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?b2 [r?b,圆心(a,b)或(a,?b)] ②与y轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?a2 [r?a,圆心(a,b)或(?a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)2?(y?a)2?a2 [r?a,圆心(?a,?a)] 3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .
?DE?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F.
2当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 2??2当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）.
?x?a?rcos?注：①圆的参数方程：?（?为参数）.
y?b?rsin??②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0. ③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.
①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2
（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上? 第 34 页 共 149 页
③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d?①d?r时，l与C相切；
22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为公切线方程. 附：若两圆相切，则?22??x?y?D2x?E2y?F2?0Aa?Bb?CA?B22.
②d?r时，l与C相交；
C1: x2?y2?D1x?E1y?F1?0附：公共弦方程：设
C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0
有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0.
③d?r时，l与C相离.
22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为圆心O1O2的连线的中与线方程. 附：若两圆相离，则?22??x?y?D2x?E2y?F2?0??(x?a)2?(y?b)2?r2 由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式
??Ax?Bx?C?0为?，则：
??0?l与C相切； ??0?l与C相交； ??0?l与C相离.
注：若两圆为同心圆则x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆x2?y2?r2的斜率为k的切线方程是y?kx?1?k2r过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0 上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0. 22①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)A的切线方程为x0x?y0y?r2.
?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. B②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??R2?1?CD(a,b)7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…② (xA?a)2?(yA?b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?42 第 35 页 共 149 页
三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.
第 36 页 共 149 页
高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． §08.
圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,
PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段?①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa2222?y2b2?1(a?b?0). ii.
中心在原点，焦点在y轴上：ya22?x2b2?1(a?b?0).
②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：
x2a2?y2b2?x?acos?（一象?1的参数方程为??y?bsin?限?应是属于0???）. 2?①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2焦点半径： i. 设P(x0,y0)为椭圆
x2a2?ca2a2?2c,c?a?b.⑤准线：x??或y??.⑥离心率：e?(0?e?1).⑦
cca22?y2b2PF1?a ?ex0,PF2?a?ex0??1(a?b?0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆
x2b2?y2a2PF1? a?ey0,PF2?a?ey0??1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：pF1?e(x0?a)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为―左加右减‖.
cc22注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d?x2y22b2a2b2b2(?c,)和(c,)
aax2y2c22?共离心率的椭圆系的方程：椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率是e?(c?a?b)，方程2?2?t(taabab是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e?c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a 第 37 页 共 149 页
?若P是椭圆：
x2a2?y2b2?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为b2tan?2（用余弦
定理与PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹?2.
▲y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nx
N的轨迹是椭圆PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线?①双曲线标准方程：
x2a2?y2b2?1(a,b?0),y2a2?x2b2?1(a,b?0). 一般方程：Ax2?Cy2?1(AC?0).
?①i. 焦点在x轴上：
x2y2a2xy顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x?? 渐近线方程：??0或2?2?0
cababyxa2ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??. 渐近线方程：??0cab或
y2a2??x?asec??x?btan?，参数方程：或 . ?0??2y?btan?y?asec?b??x22a2c②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距（两准线的距
cax2y22b2c222离）；通径. ⑤参数关系c?a?b,e?. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程2?2?1（F1,F2分
aaab别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
MF1?ex0?aMF2?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a
▲M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计
算，而双曲线不带符号）
MF1?ey0?aMF2?ey0?aM?F1??ey0?a?M?F2??ey0?a?M'y▲yF1MM
xF1F2M'F2x?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲
x2y2x2y2x2y2线.2?2??与2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0.
ababab?共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
2x2a2?y2b2?0如果双曲线的渐近线为
▲x2yxy??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0). ababy4321F2x例如：若双曲线一条渐近线为y?11x且过p(3,?)，求双曲线的方程？ 22F1533 第 38 页 共 149 页
x21x2y22解：令双曲线的方程为：?y??(??0)，代入(3,?)得??1.
8242?直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根“?”之和与两根之积同号. ?若P在双曲线
x2a2?y2b2?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
PF1简证：
d1m. ?e =
d2nPF2e常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py y▲x2??2py ▲yyyxOxOxOOx 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 PF?2 F(?x?p,0) 2p 2F(0,y??p) 2p 2 F(0,?y? p) 2F(p,0) 2p 2x??p 2x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 24ac?b2b注：①ay?by?c?x顶点(?).
4a2a 第 39 页 共 149 页
②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线； 当e?0时，轨迹为圆（e?c，当c?0,a?b时）. a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 定义 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
