2015-2016学年江西省吉安一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题p：?x∈R，x﹣3x+2=0，则?p为( ) A．?x?R，x﹣3x+2=0 B．?x∈R，x﹣3x+2≠0 C．?x∈R，x﹣3x+2=0
22
2
2
D．?x∈R，x﹣3x+2≠0
2
2．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是( ) A．
B．2
C．
D．
a
b
3．已知实数a，b，则“2＞2”是“log2a＞log2b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β C．若m⊥α，α⊥β，则m⊥β
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
5．在空间直角坐标系中，点M的坐标是（4，7，6），则点M关于y轴的对称点坐标为( ) A．（4，0，6） B．（﹣4，7，﹣6） C．（﹣4，0，﹣6） D．（﹣4，7，0） 6．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )
A．a B．a
22
C．2a
2
D．2a
2
7．下列说法正确的是( )
A．命题“若x＜1，则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若x≥1，则x＜﹣1或x≥1” B．命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0”
C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件 D．已知命题p：?x∈R，lnx＜lgx；命题q：?x0∈R，x03=1﹣x02，则“（￢p）∨（￢q）为真命题”．
8．三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是( ) A．2
π
2
2
B．4π C．π D．8π
9．圆x+y﹣2x+4y=0与2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 10．设F1，F2是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点，过点F1，F2作x轴的垂线交椭圆四点
构成一个正方形，则椭圆的离心率e为( ) A．
B．
C．
D．
11．直线l：y=kx﹣1与圆x2+y2=1相交于A、B两点，则△OAB的面积最大值为( ) A．
B．
C．1
D．
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是( )
A．8 B． C．12 D．16
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为__________．
14．已知光线通过点M（﹣3，4），被直线l：x﹣y+3=0反射，反射光线通过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程是__________．
15．已知圆C：x+y﹣2x﹣5y+4=0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为__________． 16．如图，椭圆C：
+
=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，
2
2
F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|?|PF2|=6，则|PM|?|PN|的值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知圆C经过点（2，﹣1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上，求圆C的标准方程．
18．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2． （Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：PB⊥AD； （Ⅱ）若PB=
，求点C到平面PBD的距离．
20．已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．
21．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=四边形，DC⊥平面ABC，
，四边形DCBE为平行
（1）求三棱锥C﹣ABE的体积； （2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．
22．已知椭圆C的方程是（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，
左焦点坐标为（﹣4，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C的方程；
．
（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．
2015-2016学年江西省吉安一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题p：?x∈R，x﹣3x+2=0，则?p为( ) A．?x?R，x﹣3x+2=0 B．?x∈R，x﹣3x+2≠0 C．?x∈R，x2﹣3x+2=0
D．?x∈R，x2﹣3x+2≠0
2
2
2
【考点】四种命题；命题的否定． 【专题】常规题型．
【分析】根据命题p：“?x∈R，x2﹣3x+2=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“=“改为“≠”即可得答案．
【解答】解：∵命题p：“?x∈R，x﹣3x+2=0”是特称命题 ∴?p：?x∈R，x﹣3x+2≠0 故选D．
【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题，属基础题． 2．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是( ) A．
B．2
C．
D．
2
2
【考点】两条平行直线间的距离． 【专题】直线与圆．
【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案． 【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8． ∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0． ∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是故选：B．
【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式，利用两平行线间的距离公式求距离时，一定要化为同系数的方程，是基础的计算题．
3．已知实数a，b，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )
．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．
【分析】分别解出2＞2，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件． 【解答】解：2a＞2b?a＞b，
当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b， 反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立． 故选：B．
【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．
4．设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β C．若m⊥α，α⊥β，则m⊥β
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
a
b
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择． 【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或者异面；故A错误； 对于B，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或者m?β；故B错误；
对于C，若m⊥α，α⊥β，则m与β平行或者在平面β内；故C错误；
对于D，若m⊥α，m∥β，则利用线面垂直的性质和线面平行的性质可以判断α⊥β；故D正确； 故选：D．
【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理；注意定理成立的条件． 5．在空间直角坐标系中，点M的坐标是（4，7，6），则点M关于y轴的对称点坐标为( ) A．（4，0，6） B．（﹣4，7，﹣6） C．（﹣4，0，﹣6） D．（﹣4，7，0） 【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标． 【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点M（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z）， ∴点M（4，7，6）关于y轴的对称点的坐标为：Q（﹣4，7，﹣6）． 故选：B．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
6．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )
A．a2 B．a2 C．2a2 D．2a2
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为
a，故在平面图中，其长度为2
a，且其在平面图中的y
轴上，由此可以求得原平面图形的面积．
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上， 可求得其长度为
a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2
=
a，
∴原平面图形的面积为故选：C．
【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化． 7．下列说法正确的是( )
A．命题“若x＜1，则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若x≥1，则x＜﹣1或x≥1”
B．命题“?x∈R，e＞0”的否定是“?x∈R，e≤0”
C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件 D．已知命题p：?x∈R，lnx＜lgx；命题q：?x0∈R，x03=1﹣x02，则“（￢p）∨（￢q）为真命题”．
【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据复合命题以及函数的单调性分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可． 【解答】解：命题“若x＜1，则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x≥1，则x≥1”，故A错误；
命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0，故B错误；
函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件是：a≥0，故C错误； 已知命题p：?x∈R，lnx＜lgx；由lnx﹣lgx=lnx﹣∵1﹣真命题；
故不论命题￢q真假，则“（￢p）∨（￢q）总为真命题，故D正确； 故选：D．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数的单调性问题，是一道综合题．
8．三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是( ) A．2
π
B．4
π
C．
π D．8
π
=lnx（1﹣
），
xx
＞0，∴x＞1时，lnx＞lgx，0＜x＜1时，lnx＜lgx，故命题p是假命题，￢p是
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．
【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图 则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球． ∵长方体的对角线长为2∴球直径为2
，半径R=
， ，
因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR=π×（故选：B．
3
）=4
3
π
【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．
9．圆x+y﹣2x+4y=0与2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）可知直线恒过点（1，﹣2），然后判定点（1，﹣2）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系． 【解答】解：直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过（1，﹣2） 而1+（﹣2）﹣2×1+4×（﹣2）=﹣5＜0 ∴点（1，﹣2）在圆x2+y2﹣2x+4y=0内
则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x+y﹣2x+4y=0相交 故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，解题的关键找出直线恒过的定点，属于基础题． 10．设F1，F2是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点，过点F1，F2作x轴的垂线交椭圆四点
2
2
2
2
2
2
构成一个正方形，则椭圆的离心率e为( ) A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意推出椭圆上的点的坐标，代入椭圆方程，得到abc的关系，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点，过点F1，F2作x轴的垂线交椭
圆四点构成一个正方形，所以（c，c）是椭圆上的点，可得：，
即，
a2c2﹣c4+a2c2=a4﹣a2c2， 可得e﹣3e+1=0．解得e=故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率的求法，考查计算能力． 11．直线l：y=kx﹣1与圆x+y=1相交于A、B两点，则△OAB的面积最大值为( ) A．
B．
C．1
D．
2
2
4
2
=．
【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆．
【分析】由题意可得，△OAB的面积为sin∠AOB，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值． 【解答】解：由题意可得OA=OB=1，△OAB的面积为OA?OB?sin∠AOB=sin∠AOB≤， 故△OAB的面积最大值为， 故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，正弦函数的值域，属于基础题．
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是( )
A．8 B． C．12 D．16
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．
【解答】解：根据题意，得；
该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD， 且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中， 所以，在三棱锥A﹣BCD中，BD=4S△ABC=×4×4=8．S△ADC=连结DE，则CE=S△ABD=故选：C．
=
，DE==12．
，AC=AB==4
=
，AD=
=6，
E，
，S△DBC=×4×4=8，在三角形ABC中，作CE⊥
=
，
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．
．
【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π， 又
，
， ．
∴圆锥的母线为2，则圆锥的高所以圆锥的体积×故答案为
．
×π=
【点评】本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力． 14．已知光线通过点M（﹣3，4），被直线l：x﹣y+3=0反射，反射光线通过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程是y=6x﹣6． 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【专题】直线与圆．
【分析】求出M关于x﹣y+3=0的对称点的坐标，利用两点式方程求出反射光线所在的直线方程．
【解答】解：∵光线通过点M（﹣3，4），直线l：x﹣y+3=0的对称点（x，y），
∴即，K（1，0），
∵N（2，6）， ∴MK的斜率为6，
∴反射光线所在直线的方程是 y=6x﹣6， 故答案为：y=6x﹣6，
【点评】对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力．
15．已知圆C：x+y﹣2x﹣5y+4=0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为y﹣【考点】双曲线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意求得双曲线的顶点、焦点的坐标，可得b的值，再根据双曲线的标准方程的特征求出双曲线的标准方程．
【解答】解：根据圆C：x+y﹣2x﹣5y+4=0，可得它与坐标轴的交点分别为A（0，1），B（0，4），
故要求的双曲线的顶点为A（0，1），焦点为B（0，4）， 故a=1，c=4 且焦点在y轴上，∴b=故要求的双曲线的标准方程为 y2﹣故答案为：y2﹣
=1．
=1，
=
，
2
2
2
2
2
=1．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
16．如图，椭圆C：
+
=1（a＞2），圆O：x+y=a+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，
2
2
2
F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|?|PF2|=6，则|PM|?|PN|的值为6．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】数形结合；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及|PF1|?|PF2|=6，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到|PM|?|PN|=a+4﹣|OM|=a+4﹣x0﹣y0，代入横纵坐标的平方和后整理得答案． 【解答】解：设P（x0，y0）， ∵P在椭圆上，∴
+
=1，则y0=4（1﹣
2
2
2
2
2
2
），
∵|PF1|?|PF2|=6，∴（a+ex0）（a﹣ex0）=6，e2=，
即x02=，
2
2
2
2
2
由对称性得|PM|?|PN|=a+4﹣|OP|=a+4﹣x0﹣y0 =a2+4﹣故答案为：6．
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
﹣4+=6．
17．已知圆C经过点（2，﹣1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上，求圆C的标准方程．
【考点】圆的标准方程． 【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设出圆心C的坐标为（a，﹣2a），利用圆经过A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：因为圆心C在直线y=﹣2x上，可设圆心为C（a，﹣2a）． 则点C到直线x+y=1的距离d=据题意，d=|AC|，则（∴a﹣2a+1=0 ∴a=1．
∴圆心为C（1，﹣2），半径r=d=
2
2
2
2
2
）=（a﹣2）+（﹣2a+1），
，
2
∴所求圆的方程是（x﹣1）+（ y+2）=2．
【点评】本题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，考查点到直线的距离公式及两点间的距离公式，充分运用圆的性质是关键． 18．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2． （Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可． （Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．
【解答】解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10， 由x2+2x+1﹣m2≤0得≤0， q：1﹣m2≤x≤1+m2． （Ⅰ）若p是q的必要条件，
则解得
≤m≤
，即，
，即m2≤3，
即m的取值范围是．
（Ⅱ）∵￢p是￢q的必要不充分条件， ∴q是p的必要不充分条件． 即
，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3．
即m的取值范围是m≥3或m≤﹣3．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，是解决本题的关键．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：PB⊥AD； （Ⅱ）若PB=
，求点C到平面PBD的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）取AD的中点O，连接OP，OB，证明AD⊥平面OPB，即可证明PB⊥AD； （Ⅱ）证明OP⊥平面CBD，利用等体积求点C到平面PBD的距离． 【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接OP，OB，则
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA，∠BAD=60°， ∴OP⊥AD，OB⊥AD， ∵OP∩OB=O， ∴AD⊥平面OPB， ∵PB?平面OPB， ∴PB⊥AD；
（Ⅱ）解：∵PA=PD=DA=2，
∴OP=OB=∵PB=
，
，
∴OP2+OB2=PB2， ∴OP⊥OB，
∵OP⊥AD，AD∩OB=O， ∴OP⊥平面CBD， △PBD中，PD=BD=2，PB=
，∴S△PBD=
=
=
=
．
设点C到平面PBD的距离为h，则
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．
20．已知抛物线y=2px（p＞0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．
2
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）确定抛物线上横坐标为的点的坐标为（，
），利用抛物线上横坐标
为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+6，代入y=4x得，y﹣4my﹣24=0，利用以AB为直径的圆过点F，可得FA⊥FB，即
=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求直线l的方程．
），到抛物线顶点的距离
22
【解答】解：（Ⅰ）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，的平方为
，
∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等， ∴∴p=2
抛物线的方程为：y=4x．?
（Ⅱ）由题意可知，直线l不垂直于y轴
可设直线l：x=my+6，代入y=4x得，y﹣4my﹣24=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24， ∵以AB为直径的圆过点F，∴FA⊥FB，即可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0 ∴（1+m）y1y2+5m（y1+y2）+25=0 ∴﹣24（1+m）+20m+25=0， 解得：m=±，
∴直线l：x=±y+6，即l：2x±y﹣12=0．?
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=四边形，DC⊥平面ABC， （1）求三棱锥C﹣ABE的体积； （2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．
，四边形DCBE为平行
2
2
2
2
2
2
=（+）2，
=0
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据图形可看出，三棱锥C﹣ABE的体积等于三棱锥E﹣ABC，容易得出BE⊥平面ABC，即BE是三棱锥E﹣ABC的高．并且容易知道底面△ABC是直角三角形，根据已知的边的长度即可求△ABC的面积，高BE=
，所以根据三棱锥的体积公式即可求出三棱锥E﹣ABC
的体积，也就求出了三棱锥C﹣ABE的体积；
（2）根据已知条件容易证明BC⊥平面ACD，又DE∥BC，所以DE⊥平面ACD，DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE；
（3）要找M点使MO∥平面ADE，只要找OM所在平面，使这个平面和平面ADE平行，容易发现这个平面是：分别取DC，EB中点M，N，连接OM，MN．ON，则平面MON便是所找平面，容易证明该平面与平面ADE平行，所以MO∥平面ADE．
【解答】解：（1）如图，根据图形知道，三棱锥C﹣ABE的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积； ∵四边形DCBE为平行四边形，∴EB∥DC，又DC⊥平面ABC，∴EB⊥平面ABC； AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，AC=∴
，BE==；
；
（2）DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC，⊥即BC⊥DC，又BC⊥AC，DC∩AC=C； ∴BC⊥平面ACD，DE∥BC； ∴DE⊥平面ACD，DE?平面ADE；
∴平面ADE⊥平面ACD，即平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上存在一点M，是CD的中点，使得MO∥平面ADE，下面给出证明；
证明：取DC中点M，EB中点N，连接OM，MN，ON，∵O，M，N三点是中点，∴MN∥DE，ON∥AE； ∵AE，DE?平面ADE，ON，MN?平面ADE； ∴MN∥平面ADE，ON∥平面ADE，MN∩ON=N；
∴平面MON∥平面ADE，MO?平面MON； ∴MO∥平面ADE；
【点评】考查三棱锥的体积公式，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，中位线的性质，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质． 22．已知椭圆C的方程是
（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，
左焦点坐标为（﹣4，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C的方程；
．
（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程． 【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）由题设知a2=b2+16，即椭圆的方程为
，由点
在椭圆上，知，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由A（﹣6，0），F（4，0），
，所以
，知，
，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点
能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为
，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，
即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，
∴
2
2
，
2
解得b=20或b=﹣15（舍），由此得a=36， 所以，所求椭圆C的标准方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），（4，F0），又
所以
，则得，
，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，
过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，
而，所以PQ的斜率为，
因此，过P点引圆M的切线方程为：
令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0）， 所以
MPF
，即
，
．
因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形
=
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
