易拉罐形状和尺寸的最优设计
摘要
本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比R:H?1:2（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高R:H?1:6时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为R:H?2b。
在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当H?h?2R?4r(h为圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出H?h?4.5R，r?0时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，r?2.2,h?0.75,R?3.93,H?6.86时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。
关键词：易拉罐 最优设计 材料体积 lingo软件
文中符号注解
R:圆柱半径 r:圆台半径 H:圆柱高 h:圆台高
S:易拉罐表面积 V:易拉罐体积 MIN:最小化
为方便在LINGO软件中计算，定义： X1:在软件LINGO中的圆柱半径（R） X2:在软件LINGO中的圆柱高（H） X3:在软件LINGO中的圆台半径（r） X4:在软件LINGO中的圆台高(h)
第一问：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们以为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明：如果数据不是你们自己测
量得到的，那么你们必须注明出处。
表1：数据测量结果
D1(罐盖直径) D2（罐身直径） D3（罐底直径） X1（罐盖厚度） 1(mm) 57.84 65.70 47.56 0.314 2(mm) 58.30 65.56 47.62 0.302 3(mm) 58.04 65.51 47.18 0.315 4(mm) 58.60 65.58 47.74 0.310 平均（mm） 58.20 65.60 47.53 0.310
X2（罐身厚度） X3（罐底厚度） H1（罐盖高度） H2（罐身高度） H3（罐底高度） L（罐盖斜边长度） 拉环长度 0.108 0.327 10.30 5.62 0.193 0.110 0.320 10.98 5.30 0.204 0.114 0.339 10.42 5.12 0.210 0.110 0.344 9.96 4.86 0.201 0.111 0.333 10.42 102.08 5.23 0.202 42．50 101.98 102.06 102.36 101.92 42．53 42．48 42．48 42．51 注：数据由测量可口可乐355ml易拉罐所得。
本文测量以上数据是为了在以下建模中，提供数据和验证结果。重要的是，拉环长度与易拉罐项部直径相差约1.53厘米左右，正好是指头厚度。显然是使用方便设计的。
第二问 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
一 问题重述
一个饮料量为355毫升的易拉罐，找出易拉罐的最优设计。假设它是一个正圆柱体，在不考虑易拉罐受外界影响下，求在正圆柱体的表面积最小时，底半径r与高度h的比值。
二 问题分析
假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。在表面积为最小时，设圆柱形的体积V为常数，求底半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。在建立模型之前，必须考虑易拉罐的厚度，一种是在考虑节约材料前提下，另一种是在考虑材料受力的情况。
三 模型假设、建立与求解
（一）易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型 1、 假设：（1）易拉罐是正圆柱体
（2）易拉罐整体厚度均相同
2、 确定变量和参数：设易拉罐内半径为R，高为H，,厚度为a，体积为V，其中r和h是自变量，所用材料的面积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：
S?2??R?a??a???R?a??H??R2H
22?2?aR2?4?a2R?2?a3?2?HRa??Ha3
V??R2H， H?V ?R2 设g?R,H???R2H?V 3、 模型建立：
minS?r,h? R?0,H?0g?R,H??0
其中S是目标函数，g?R,H??0是约束条件，V是已知的，即要在体积一定的条件下求S的最小值时，r和h的取值是多少
4、模型求解
因为按照实际测量数据可知a?r，所以带a2，a3的项可以忽略，且H?有 S?R,H?R???2?aR2?2aV RV，则2?R求S?r,h?r??的最小值，令其导数为零，即S??R,H?R???0，解得临界点为
R?3V，则H?2?V?V???3?2???2?2?3V?2R 2?因为S???R??4a??
5.模型结论
?V?4aV3??S，则??3???12a??0，所以当R:H=1:2时，是S最优解 R2???
在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:h=1:2，此时，模型最优。
（二） 易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型
1、假设：（1）易拉罐是正圆柱体
（2）易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a
2、确定变量和参数：设饮料内半径为R，高为H，体积为V，易拉罐顶盖、 底盖厚度为a,其它部分厚度为b。其中r和h是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而a,b,c和V是固定参数。则S和V分别为：
S?2??R?a??3a???R?a??H??R2H
22?6a?R2?12a2?R?6a3??2?RaH??a2H
VV??R2H，H?
?R2设V???x1??x2?g?R,H???R2H?V
3、模型建立：
minS?R,H? R?0,H?02g?R,H??0
其中S是目标函数，g?R,H??0是约束条件，厚度比例与V是已知的，即要在体积V一定的条件下求r和h的取值是多少时体积S最小
4、模型求解
因为按照实际测量数据可知a?R，所以带a2，a3的项可以忽略，且H?S?6a?R2?2aV RV，则 2?R求S?r,h?r??的最小值，令其导数为零，即S??R,H?R???0，解得临界点为
R?3V，则H?6?V??3?V??6???2?6?3V?6R 2?因为S???R??12a??解
?V?4aV3??，则S??3???48a??0，因此当H=6R时，S为最优R6???观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似
乎有一定的联系，因此我们假设顶与底盖厚度为ab，壁的厚度为a，其中b为比例系数，则
S?2??R?a??ba???R?a??H??R2H
22?2?abR2?4?a2bR?2?a3b?2?HRa??Ha2
因为按照实际测量数据可知a?R，所以带a2，a3的项可以忽略，且H?有 S?2ab?R2?2aV RV，则?R2求S?r,h?r??的最小值，令其导数为零，即S??R,H?R???0，解得临界点为
R?3V，则H?2?bV?V???3?2?b??2?2b?3V?2bR 2?因为S???R??4ab??优解
?V?4aV3??，则S??3???12ab??0，因此当R:H=1:2b时，S为最R2?b??
5.模型结论
在假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六，R:H=1:6，此时，，观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为ab，壁的厚度为a，其中b为比例系数，则R:H=1:2b
四、模型评价
在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r是高度h的一半时，圆柱的表面积最小。考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度（因为此比例有利于罐身受力，便于开盖），高度h是底半径r的6倍时，圆柱的表面积最小。第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。所以，在不受力的情况下，假设易拉罐是一个正圆柱体，当底半径r是高度h的一半时，模型最优。不过，本文通过实际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素，由于能力有限暂时无法解释。
第三问：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理
地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
一、 问题描述
通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形。由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放时的压力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。
图1
二、问题分析
本文假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。然后，考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a，其余部分为b，且a:b=3：1，体积V=355ml时，同样利用lingo软件，计算出模型的最优解。
三 模型假设、建立与求解
（一）第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
1、假设：（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体 （2）易拉罐整体厚度均相同
2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖、底部半径为R，正圆柱体高为H，正圆台高为h,体积为V，其中R,r,H,h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：
S???R2?r2??2?RH???R?r?h2??R?r? 21V??R2H???R2?Rr?r2?h
3
1设g?R,r,H,h???R2H???R2?Rr?r2?h?V
3
3、模型建立：
minS?R,r,H,h? R?0,r?0,H?0,h?0g?R,r,H,h??0
其中S是目标函数，g?R,r,H,h??0是约束条件，V是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R，r，H，h的取值各是多少
4、模型求解
利用LINGO求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,则
S????x1???x3?22??2??x1??x2?????x1???x3???x4????x1???x3??22 12V???x1??x2???3??x1?2??x1??x3???x3?2??x4?
利用LINGO计算结果（见附表一），得 H+h=2R=4r时，S为最优解
5.模型结论
在易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体，且厚度均相同的前提下，当体积为固体参数，表面积最小时，利用软件（LINGO）计算，得到圆台的高与圆拄的高等于两倍圆拄的半径，同时也等于四倍的圆台的半径，H+h=2R=4r，模型最优。
（二） 第四种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
1、（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体 （2）易拉罐整体厚度 （3）V=355ml
2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖半径为，底盖半径为R，正圆柱体高为H，正圆台高为h,体积为V，其中R,r,H,h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：
S?a??R2?r2??2?RHb??b?R?r?h2??R?r? 21V??R2H???R2?Rr?r2?h
3
1设g?R,r,H,h???R2H???R2?Rr?r2?h?V
3
3、模型建立：
minS?R,r,H,h? R?0,r?0,H?0,h?0g?R,r,H,h??0
其中S是目标函数，g?R,r,H,h??0是约束条件，V是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R，r，H，h的取值各是多少
4、模型求解
利用LINGO求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,且a=0.333,b=0.111 则
S?0.333???x1???x3??2??x1??x2??0.111?0.111????x1???x3??22??x4????x1???x3??2212V???x1??x2???3??x1?2??x1??x3???x3?2??x4?
利用LINGO计算结果（见附表二），得 H?h?4.5R，r?0时，S为最优解
5.模型结论：
在假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆拄体，且厚度不同，顶盖、底部半径是罐身3倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过软件（LINGO）得到H+h约等于4.5R，r?0，模型最优。
四、模型评价
以材料节约、实用为基础，建立易拉罐的形状和尺寸最有设计的模型。第三个模型优点在于实用，第四个模型更为优化。因为，本文在建立模型时发现，模型四在制作过程中，所用材料更为节约，造价更低，所以，第四种模型更为优化。
第四问：利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的
关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
一、对现有易拉罐的解释
如果增加两个标准，考虑易拉罐的稳定性和使用的方便性。考虑稳定性时，只能采用模型二与模型四的设计。将厚度比例本题视为已知条件时，代入测量所得的数据，并利用LINGO求解模型二
目标：求minS?a??6r2?12ar?6a2?2rh?ah?
条件：V??r2h
设r=x1,h=x2,V=355,a=0.111,在LINGO求解（见附录三）。比较模型二与第三问中模型四的结果，易见模型四比较优化。但模型四脱离了实际，因为实际中需要在顶盖设计一个拉环，所以r必需大于零。
下面考虑r取不同值时，模型的优化程度。模型仍为：
minS?0.333???x1???x3??2??x1??x2??0.111?0.111????x1???x3??22??x4????x1???x3??2212 V???x1??x2???3??x1?2??x1??x3???x3?2??x4?
r分别取0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0，3.5，4.0，5.0，6.0时，利用LINGO计算模型中R，H，h，S的最优值（见表2）：
表2
r 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 2.6 2.7 R 3.113 3.115 3.121 3.133 3.161 3.170 3.180 H 10.70 10.61 10.49 10.35 10.21 10.19 10.16 h 2.43 2.19 1.96 1.70 1.36 1.28 1.18 S 38.13 38.61 39.46 40.73 42.49 42.91 43.36 表2（续）
r 2.8 2.9 3.0 3.5 0 4.0 0 5.0 6.0 0 R 3.192 3.206 2．394 1.942 1.401 0 H 10.14 10.12 0 5.93 4.48 h 1.08 0.96 15.47 14.86 14.38 13.56 9.42 S 43.83 44.33 44.53 45.11 46.32 51.35 61.02
由表2可见当r大于3时，图形已非最优，省去后面的结果。即当r小于3时，S的值都小于模型二的结果，因此可以得出结论：模型四比模型二的设计更优。 既然模型四比模型二省材料，那么是否可以把模型四的正圆柱底部也改成一个正圆台？
考虑上、下都为圆台的设计方案（模型五），材料体积S的方程如下：
minS?2a?r2?2?RHb?2?b?R?r?h2??R?r? 1V??R2H???R2?Rr?r2?h=355
32利用软件（LINGO）计算（见附录四），得S=30.20864
将上述S与模型四的结果比较， 易见上下都为圆台的设计方案更优。但考虑到存放方便时，，这样易拉罐“站”不稳，同时“易拉罐”一定需要有一个拉环，如果设计在项部（考虑使用方便），r必需大于零。
进一步考虑上下都为圆台时，r的合理取值。 因为 S?2a?r2?2?RHb?2?b?R?r?h2??R?r? 1V??R2H???R2?Rr?r2?h=355
32利用LINGO分析r分别取0.5，1.0，1.5，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0得出最优解时R，H，h，S的值（结果见表3）：
表3
r 0.5 1.0 1.5 2.0 2.1 R 3.913441 3.914476 3.917370 3.923457 3.925208 H 6.910628 6.894053 6.874774 6.859196 6.857093 h 1.226539 1.091285 0.9587582 0.8163935 0.7859263 S 30.54926 31.58040 33.31585 35.77072 36.34952
表3（续）
r 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 R 3.927176 3.929377 3.931830 3.934555 3.937572 H 6.855451 6.854324 6.853768 6.853836 6.854586 h 0.7546560 0.7225317 0.6895060 0.6555352 0.6205793 S 36.95794 37.59614 38.26429 38.96255 39.69110
表3（续）
r 2.7 2.8 2.9 3.0 3.5 R 3.940901 3.944566 3.948587 3.952987 3.981513 H 6.856072 6.858353 6.861485 6.865526 6.901350 h 0.5846014 0.5475681 0.5094494 0.4702186 0.2566850
S 40.45011 41.23977 42.06027 42.91179 47.64180 在现实中，拉环的测量值为4.25,手指的大小约为1.11，则最优设计就是拉环穿过直径，所以r=(4.25+1.11)/2=2.68,近似为r=2.7，此时H=6.85。
二、比现实更优的设计方案
因为上项半径越小，材料越省，我们尽量减小上底半径。一种可行方案是将设计旋转型的拉环（现实中的拉环不可旋转，是直的，导致上底半径大），拉环长度可减小半，即r=4.25/2=2.125,近似为r?2.2时，设计最优。设计方案为r?2.2,h?0.75,R?3.93,H?6.86时，此时S=36.96,材料更省，优于现实中的设计。
第五问：用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文（不超出1000字，你们的中心必须包括这篇短文），阐述什么是
数学建模、它的关键步骤，以及难点。
开始接触数学建模就让笔者感觉到困惑——不知道它是什么；有什么用。 经过一段时间的学习才对它有初步的了解，简单来说数学建模就是生活“数学化”。
在这3天时间里本文体会到原来生活的一切都离不开数学，一个看似和自然形成的东西，却要经过许多步骤才实现的，如本文研究的易拉罐，要经过力学，美学和工程学等等。自己将所学的数学知识活用到经济，管理，工程等各个领域，感受到体会不到的成就感。这个过程中，本文的软件应用水平，文章写作水平，特别是数学思维能力大幅度得到提高。
此次，我们在数学建模中得到有益得经验，在数学建模过程必须灵活应用，从简到繁、由易到难，不断扩展的研究方法，并且要充分发挥到数学软件在优化设计
中无可比拟地优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。
就拿着次数学建模为例，本文建立模型首先假设易拉罐是一个正圆柱体，然后考虑罐身厚度，其次假设易拉罐是上面部分是正圆台，下面部分是正圆柱体，之后再考虑厚度，最后建立我们认为最优化设计。在建立模型的过程中，利用数学软件，使我们能顺利完成。
数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：1、对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主要方面); 2、对实际问题进行必要的抽象、简化，作出合理的假设;3、确定要建立的模型中的变量和参数;4、根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型), 这可能是一个非常具有挑战性的数学问题;5、解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法;6、数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象, 或用某种方法 (例如，历史数据或现场测试数据等) 来验证结果是否正确, 这也是很不容易的;7、如果第 6 步的结果是肯定的，那么就可以付之试用; 如果是否定的，那就要回到第 1 – 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。
数学建模过程中难点是:1、怎样从实际情况出发做出合理的假设, 从而得到可以执行的合理的数学模型;2、怎样求解模型中出现的数学问题, 它可能是非常困难的问题;3、怎样验证模型是正确、可行的
参考文献
[1]叶其孝，对一些问题的思考。网址：
http://www.garden.sh.cn:85/~kjqk/bjlydxxb/bjly2003/0303pdf/030312.pdf [2] 王绵森、马知恩,《工科数学分析基础》(上册)，高等教育出版社，1998 [3] 吴英桦、俞加梁，《容器设计》，中国轻工业出版社，1995 [4] 解可新、韩立兴、林友联，《最优化方法》，天津大学出版社，1997 [5] 陈国桓，《机械基础》，化学工业出版社，2001 [6] 卢险峰，《最优化方法应用基础》，同济大学出版社，2003
附录一
LINGO最优化软件： 在LINGO输入
min=(x1^2+x3^2+2*x1*x2+(x1+x3)*(x4^2+(x1-x3)^2)^(1/2))*3.1415926; 3.14159*x1^2*x2+(1/3)*3.14159*(x1^2+x1*x3+x3^2)*x4=355; init: x1=2; x2=4; x3=2; x4=1; endinit
得
图2
附录二
LINGO最优化软件： 在LINGO输入
min=(0.333*x1^2+0.333*x3^2+2*x1*x2*0.111+0.111*(x1+x3)*(x4^2+(x1-x3)^2)^(1/2))*3.1415926;
3.14159*x1^2*x2+(1/3)*3.14159*(x1^2+x1*x3+x3^2)*x4=355; init: x1=3.3; x2=10.2; x3=2.9; x4=1; endinit
图3
附录三
LINGO最优化软件： 在LINGO输入
min=0.111*3.14159*(6*x1^2+12*0.111*x1+6*0.111^2+2*x1*x2+0.111*x2); 3.14159*x1^2*x2=355;
得
图4
附录四
利用LINGO求最优值 在LINGO输入：
min=(2*0.333*x3^2+2*x1*x2*0.111+2*0.111*(x1+x3)*(x4^2+(x1-x3)^2)^(1/2))*3.1415926;
3.14159*x1^2*x2+(1/3)*3.14159*(x1^2+x1*x3+x3^2)*x4=355;
图5
