开封市2018届高三年级第一次模拟考试
数学试题（文科）
注意事项：
150分，考试时间120分钟。
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率 是P，那么n次独立重复试验中恰好发 生k次的概率
kkpn(k)?Cnp(1?p)n?k
球的表面积公式S=4?R其中R表示球的半径 球的体积公式V=?R其中R表示球的半径
2433第 Ⅰ 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数f(x)?1的定义域为M，g(x)?ln(1?x)的定义域为N，则M?N? 1?xA．{x|x＞1} B．{x｜x＜1} C．{x｜-1＜x＜1} D．?
2．在下列各数中，与sin2018A.
1133 B. C.? D.?2222????3．已知P、A、B、C是平面内四点，且PA?PB?PC?AC那么一定有 ??A．PB?2CP?? B.CP?2PB???? C.AP?2PB D.PB?2AP
4．已知等差数列{an }的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2A．-4 B．-6 C．-8 D．-10
5．设(1?x?x2)2?a0?a1x?a2x2?????a2nx2n则a0?a2?a4?????a2n
1n1n3nA.3 B.(3?1) C． D．(3?1)
222n6．已知函数y?f(x)在定义域（-∞,0）内存在反函数，且f(x?1)?x2?2x则
1f?1(1?)?
4A. ?3322 B． C．? D． 22227．设实数x、y满足x2?(y?1)2?1,且x?y?d?0恒成立，则d的范围为
A．［2?1,??) B．(??,2?1］ C．［2?1 D．(??，2?1］ ，??）8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的
球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种 9．一束光线从点A（-1，1）发出，并经过x轴反射，到达圆（x?2)2?(y?3)2?1上一点的最短路程是
A．4 B．5 C．32?1 D．26
2210．如图是函数f(x)?x3?bx2?cx?d的大致图象，则x1等于 ?x2810 B． 991628 C． D．
99A．
11．已知不等式x?logm|x|?A．0＜m＜1 B．
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是线段A1B1B1C1上的不与端点重合的动点，如果
212x＜0，在x∈(0,)时恒成立，则m的取值范围是 42
11≤m＜1 C．m＞1 D．0＜m≤44A1E?B1F，下面四个结论：www.ks5u.com ①EF⊥AA1 ②EF∥AC ③EF与AC异面 ④EF∥平面ABCD，其中一定正确的是
A．①② B.②③ C D.①④
第 Ⅱ 卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷上）
?x?0?13．设x、y满足约束条件?x?y若目标函数为z=3x+2y，则z的最大值为_______
?2x?y?1????????14．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|?|b|?4,那么b(2a?b)的值为_______
15．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2?2y2?12有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆的方程为__________________________.
16．已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6,AC=213,AD=8,则B、C两点间的球面距离是____________
三、解答题（本大题有6小题；共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分)
已知函数f(x)?asinx?bcosx的图象经过点（（Ⅰ）求实数a和b的值；
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?,0)和（，1） 32?（Ⅱ）若x∈［0,π］,求f(x)的最大值及相应的x值.
18.(本题满分18分) 甲、乙二人进行羽毛球比赛，按“三局二胜制”的规则进行（即先胜两局者获胜，比赛结束），且设各局之间互不影响，根据两人以往的交战成绩知，甲在前两局的比赛每局获胜的概率是0.6，但乙在前两局战成1∶1的情况下，在第三局中凭借过硬的心理素质，获胜的概率为0.6.（Ⅰ）求乙以2∶1获胜的概率； （Ⅱ）求乙比赛失利的概率.
19.(本题满分12分)
直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1?3a.BC?2a，D是BC的中点，E是CC1上的点，且CE=2a.
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（Ⅰ）求证：B1E?平面ADE； （Ⅱ）求二面角D-AE-C的正弦值.
20.(本题满分12分)
已知递增数列{a22n中a1?2,an?an?1?2anan?1?16,
bn为等比数列，且a1?b1,b2(a2?a1)?b1,
（Ⅰ）求数列an和bn
（Ⅱ）设cann?b，求数列cn的前n项和Tn
n
21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?1312x?ax?ax?1(a?0) 32（Ⅰ）当a=4时，判断函数f(x)是否有极值，当0＜a＜4时，判断函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）设A（x1,f(x1)),B((x2,f(x2))是函数f(x)的两个不同的极值点，若直线AB的斜率不小于-2，求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)
x2y2如图，已知双曲线2?2 (a＞0，b＞0)其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，
ab过双曲线的右焦点F（c,0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：
?????2OD?OF?OP（O为原点）且AB??AD（λ≠0）
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若a＝2，过点B的直线l交双曲线于 M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使
??CM?CN为常数，若存在，求出C点的坐标，
若不存在，请说明理由.
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数学试题（文科）参考答案
一、选择题：
1-5 CCDBD 6-10 AAAAC 11-12 BD
4x2?y2?1 16.? 13. 5 14.-8 15.
32三、解答题：
asin?bcos?03317解：（Ⅰ）由已知得：{ 2分 即解得a=1 b=-3 5??asin?bcos?122?（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sinx?3cosx?2sin(x? ） 7
3??2?∵0≤x≤π ∴-?x?? 8
333??5??时，sin(x?)取得最大值1 9当x??,即x?
32635?∴f(x)在［0,π］上的最大值为2，此时x=x? 10分
618. 解：（Ⅰ）设乙以2∶1获胜的事件为A
乙2∶1获胜即前两局二人成1∶1 2分
概率为C2×0.4×0.6，且第三局乙获胜，
P(A)= C2×0.4×0.6×0.6＝0.288 6分
11??
Ⅱ）设乙失利的事件为B 乙比赛失利的情况为0∶2和1∶2，两种情况 8分
21
P(B)=0.6+C20.6×0.4×0.4＝0.36+0.192＝0.552
故乙比赛失利的概率为0.552. 12
19（Ⅰ）证明：∵AB=AC,D是BC的中点，∴AD⊥BC,又ABC-A1B1C1是直三棱柱， ∴面BCC1B1⊥面ABC ∴AD⊥面BCC1B1 2分 ∴AD⊥B1E，由Rt△DCE≌Rt△EC1B1
∴∠DEC+∠B1EC =90° 即B1E⊥DE 4分 ∴B1E⊥平面ADE 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC1B1∴平面ADE⊥平面BCC1B1 作CH⊥DE于H，则CH⊥平面ADE,作HF⊥AE于F，连CF 则CF⊥AE ∴∠CFH是二面角D-AE-C的平面角 8
在Rt△CDE中，CH=
CD?CE2DE?5a 10分，在Rt△ACE
CF=
AC?CEAE?613a，在Rt△CHF
sin∠CFH=
CH6565CF?15，即二面角D-AE-C的正弦值为15 12
20解（Ⅰ）（an?an?1)?16?an?an?1?4 4
又∵a
1=2∴an是以2为首项，公差为4
∴an的通项公式是an?4n?2 4
∵a1?b1,b2(a2?a1)?bb11?b1?2b2?a?1
2?a12∴等比数列b1n?1n的公比q=2·（4)
∴等比数列bn的通项公式是bn?2·（1)n?14 6
T=5?(6n?4)4n（Ⅱ）9
21解（Ⅰ）当a=4时，由f'(x)?x2?ax?a?(x?2)2?0得x??2
而当x∈(-∞,-2)或（-2，+∞）时，都有f（'x)＞0，所以当a=4时，f（x)无极值
因为当0＜a＜4时，△＝a
2-4a＜0，即f（'x)＞0
∴当0＜a＜4时，函数f（x)在R上为单调递增函数 6
（Ⅱ）依题意，方程f（'x) =0有两个不同的实数根，x1,x2 由△＝a2?4a?0.解得a＜0或a＞4，且x1?x2?a 8
分 3
f(x1)?f(x2)12??a2?a??2 10
x1?x263
解得-2≤a≤6 ∴实数a的取值范围是-2≤a＜0或4＜a≤6 12分
a2b2,0)易得P(c,)21（Ⅰ）∵B(0,-b)，A(ca
???∵2OD?OF?OP ∴D为线段FP的中点 1分
??b2),又AB??AD,即A、B、D共线 2分 ∴(c,2a??a2a2b2,)∴而AB?(?,?b),AD?(c?cc2a得a=2b∴e=
a2a2b2,∴(c?)?(?b)?(?)?
cc2acb15 4分 ?1?()2?1??aa42x252（Ⅱ）∵a=2而e=?b?1?双曲线方程为?y2?1①5分∴B(0,-1)
42??假设存在定点C(0,n)使CM?CN为常数u，
设MN的方程为y=kx-1 ② 6分 由②代入①得（1?4k)x?8kx?8?0 由题意得{221?4k2?0??64k2?32(1?4k2)?0得k?且k?21221 4 8分
设M(x1,y1),N(x2,y2),?x1?x2?8k8,xx?124k2?14k2?1??而CM?CN?(x1,y1?n)?(x2,y2?n)?x1x2?y1y2?n(y1?y2)?n2228(1?k2)8k2(n?1)??(n?1)2?u=(1?k)x1x2?k(n?1)(x1?x2)?(n?1)?224k?14k?122整理得：［4(n?1)?8n?4u］k?［8-(n?1)?u］=0 10分
2
对满足k?且k?21221的k恒成立， 4
（4n?1)2?8n?4u?0∴{解得n=4,u=1728?(n?1)?u?0
故存在y轴上的定点C(0,4),使CM?CN为常数17 12分
??
